数学奥林匹克初中练习题16.pdf

2中等数学 r 一 一 i 模拟训练 一 j 羧孥块淋蜃巍劫睁铡缎澄 1 6 第一试 一 选择题 每小题7 分 共4 2 分 1 满足方程 I 戈一1l 一2 I 戈一2 I 3 Ix 一3 I 4 的有理数戈有 个 A 1 B 2 c 3 D 无数 2 若2 戈2 6 y 2 x y 十 6 能分解为两 个一次因式的积 则整数k 的值有 个 A 1 B 2 c 3 D 4 3 一名学生在用某自然数代人下面的某 个二次函数 z k l 2 3 4 时 得到了 一个完全平方数 则他用的函数是 A J j 戈 戈2 5 戈 7 B 戈 2 7 戈 1 0 C T f 戈2 9 戈 1 8 D f 4 z 石2 1 1z 2 4 若正六边形丁 内接于o O 正六边形 咒外切于oO 则E 与r 的面积比为 A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 5 设血 b c d e 为互异正奇数 若方程 x n x b z c x d x e 20 0 9 有整数根x 则o b c d e 的末位数字 是 A 1 B 3 C 7 D 9 6 若直角三角形的三条边长为正整数 并且其周长与面积的数值相等 则称为是 标 准直角三角形 那么 标准直角三角形的个 数为 A 0 B l C 2 D 无数 二 填空题 每小题7 分 共2 8 分 1 当石 掣时 代数式 二 戈 并 1 戈 2 x 3 戈 4 戈 5 的值为 2 若 A B C 的三条边长为 2 3 5 则其内切圆半径r 3 在图1 所示的奥运五环图中 每个圆 的半径皆为l 且对于相交的任一对圆来说 每个圆各有五分之一的圆弧含于另一圆内 证明 D M D N 1 刊2 三 2 5 分 将1 2 9 分成三组 每组 三个数 使得每组中的三数之和皆为质数 1 证明 其中必有两组数的和相等 2 求出所有不同分法的种数 万方数据 2 0 0 9 年第1 期3 参考答案 第一试 一 1 D 点l 2 3 分数轴为四个区问 一 1 1 2 2 3 3 在每种情况下去掉绝对值符号 共得到解 1 髫 2 戈 5 其中的有理数有无数多个 2 B 利用判别式或待定系数法得k 4 7 3 D 当z 为自然数时 有 X 2 2 戈2 5 戈 7 戈 3 2 戈 3 2 x 2 7 菇 1 0 戈 4 2 菇 4 2 石2 9 石 1 8 菇 5 2 也就是当菇取自然数时 函数 厂I 戈 五 戈 也 省 都介于两个相邻的平方数之问 故不可能是平方数 因此 可能取值平方数的 只有色是 z x 2 l1 x 2 另外 当艽 2 3 时 2 3 7 8 4 2 8 2 4 B 如图3 将丁 砭分 别看成由顶角为1 2 0 的 等腰三角形拼组而成 则7 中含有1 8 个等腰 三角形 乃中含有2 4 个 等腰三角形 故其面积 比为1 8 2 4 3 4 5 D 对任 整数戈 戈一o 戈一b 石一c 石一 d 戈一e 为互异整数 而将20 0 9 表为五个互 异整数的积只有唯一形式 20 0 9 l 一1 X7X 一7 X4 1 因此 戈为偶数 记菇 2 m 则 2 m n 2 m b 2 m c 2 m d 2 m e 一l 1 一7 7 4 1 于是 由元素和 l o r e 一 b c d e 4 1 得o b c d e I O m 一4 1 其末位数字 是9 6 C 设R t A B C 的三条边长分别为菇 Y z 0 戈 Y z 则 戈 Y z 掣 戈2 Y 2 z 2 戈 z 罾 戈 z 因此 2 詈一戈一y 2 l f 羔4 V 2 石 I l J 戈一4 y 一4 8 故x 一4 1 y 一4 8 或石一4 2 Y 一4 4 于是 戈 Y z 5 1 2 1 3 或 6 8 1 0 共两个标准直角三角形 二 1 一1 5 由2 戈 5 2 l 平方后整理得 戈2 5 戈 1 0 于是 戈 艽 5 一1 又 戈 1 戈 4 艽2 5 石 4 3 戈 2 戈 3 髫2 5 戈 6 5 故以上三式相乘得所求的值为一1 5 4 3 4 3 2 易知 压 2 以 2 以 2 故 A B C 为随角三角形 两直角边长为拒 历 其面积 S 孥 又 半 哮 得 压 以一朽 一一一r 一 3 挚 每个网的面积为丌 圆位于五边形一边 之外的弓形面积为娶 而图形重叠部分含 有8 个弓形 则所求面积为 5 兀一 8 粤竽 4 6 4 称此类年号为 特殊年号 至今为止 首 位为2 的特殊年号只有20 0 9 对于首位为1 万方数据 4 中等数学 的年号 另三位数码和为1 0 其中至多一位 为0 若其中一位为0 且另两位的和为1 0 有 9 种情况 若考虑0 的位置 共得3 9 2 7 种 情况 若后三位都不为0 其填法种数等于 戈 Y z 1 0 的正整数解的组数 按戈取值 由1 到8 讨论得3 6 组解 故连同20 0 9 本身 共计解数1 2 7 3 6 6 4 个 第二试 一 将方程看作关于 的一元二次方 程 整理得 0 2 一 2 石2 6 石 n 戈4 6 戈3 9 戈2 4 0 争口2 一 2 x 2 6 z 口 菇2 3 戈 2 4 0 争口2 一 戈2 3 x 2 戈2 3 戈一2 口 戈2 3 戈 2 戈2 3 戈一2 0 j 口 石2 3 茄 2 和o 石2 3 一2 分别解得 一3 而一3 芤而 石1 22 1 厂 3 42 r 一 二 如图4 设内 心为J 联结伪 腰 I F B M C N 则A E 四点共圆 有 L I E F L I A F 掣 B E M 吾 掣 B I C BDC 图4 所以 曰 E M 四点共圆 于是 么B M I 么B E I 9 0 0 同理 么B N C 9 0 0 故D M D N 分别是R t B M C R t B N C 斜边B C 上的中线 1 因此 D M D N i 1B C 二 三 1 由于在1 2 9 中 三个不同的 数之和介于6 和2 4 之间 其中的质数只有7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 这六个 现将这六个数按被 3 除的余数情况分为两类 A 7 1 3 1 9 其中每个数被3 除余1 B 1 1 1 7 2 3 其中每个数被3 除余2 假若所分成的A B C 三组数对应的和 P P P 为互异质数 因P P 6 P 1 2 9 4 5 能被 3 整除 故三个和数P P P 必为同一类 数 注意到4 类三数的和7 1 3 1 9 3 9 d 5 矛 盾 故三个和数中必有两个相等 2 据 1 知 将4 5 表成7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 中的三数和 其中有两数相等 只有四种 情况 1 9 1 9 7 1 7 1 7 1 1 1 3 1 3 1 9 1 1 1 1 2 3 由于在1 2 9 中有5 个奇数 故分成 的三组中必有一组三数全为奇数 另两组各 有一个奇数 对于情形 和为7 的组只有 1 2 4 将剩下的六个数3 5 6 7 8 9 分为和为1 9 的两组 且其中一组全为奇数 只有唯一的分 法 3 7 9 与 5 6 8 对于情形 若三奇数的组为 1 7 9 则另两组为 4 5 8 2 3 6 或 3 6 8 2 4 5 若三奇数的组为 3 5 9 则另两组为 2 8 7 1 4 6 或 4 6 7 1 2 8 若三奇数的组为 1 3 7 则另两组为 2 6 9 4 5 8 共得5 种分法 对于情形 若三奇数的组为 3 7 9 则另两组为 1 4 8 2 5 6 若三奇数的组为 1 3 9 则另两组为 2 4 7 5 6 8 或 2 5 6 4 7 8 若三奇数的组为 1 5 7 则另两组为 3 4 6 2 8 9 或 2 3 8 4 6 9 共得5 种分法 对于情形 和为2 3 的组只有 6 8 9 则另两组为 1 3 7 2 4 5 综上 共计1 5 5 1 1 2 种分法 陶平生江西科技师范学院数学与计 算机科学系 3