穿针引线联珠合璧——对一道课本习题的探究.pdf

数学通报2 0 0 8 年第4 7 卷第2 期 穿针引线联珠合璧 对一道课本习题的探究 王忠 江苏省海安高级中学 苏教版普通高中课程标准实验教科书选修 2 2 6 6 0 0 解设圆的半径为 Z a a 0 连接 P F 则 2 一1 数学第 29 页习题 2 2 1 中第 7 题 探究 拓展 操作题 准备一张圆形 纸片 在圆内任取不同于圆心 的一点 F 将纸片折起 使圆 周过点 F 如图 1 然后将纸 片展开 就得到一条折痕 1 这样继续折下去 得到若干折 痕 观察这些折痕围成的轮 廓 它们形成了什么曲线 田 1 这道题几何背景深刻 耐人寻味 笔者在教 完本章内容后与学生一起开展了一次数学探究活 动 通过探究 不仅沟通了教材中的另外两个操 作题 教材第 42 页第 12 题 第 48 页第 n 题 还 衔接了教材中的两篇阅读材料 教材 2 一1 第 52 页至 53 页 以及教材 2 一2第 38 页的阅读材料 圆锥曲线的光学性质 更为重要的是通过探 究 师生共同提出并解决了一系列相关的数学问 题 体验了数学的发现和创造的过程 1 探究 问题 1 如图2 已知一定圆 圆心为 0 F为 圆内一定点 M 为圆周上任意一点 直线 1 为线段 MF垂直平分线 交圆0于C D两点 设 C D与 线段O M交于尸点 求点 P的轨迹 M p F 尸 M 又尸 M 尸 0 气Za 则尸 F 尸 0 Za F O 所以点 尸的轨迹为以点F 0为焦点 以Za 为实轴长的椭圆 问题 2 已知一定圆 圆心为 0 F为圆内一 定点 M为圆周上任意一点 直线 1 为线段MF垂 直平分线 交圆0于C D两点 设 C D与线段 八 度 F交于N 点 求点 N 的轨迹 解法 1 以直线 F 为x轴 以线段 F O的中 垂线为y 轴建立直角坐标系 图 3 设圆的半径 为 Z a a 0 设 F 一 0 0 c 0 M x y N x y 则 x 一 c y 急 二 Z a 又x Z x y Z y 代人得 扩 少 矿 所以点 N的轨迹是 以原点为圆心 半径为 a的圆 圈 2 图 3 解法2 连结A N A为坐标原点 如图3 A N分别为F O F M 的中点 则 A N O M A N 一 喜 oM一 所 以 点N的 轨 迹 是 以 原 点 为 圆 心 2一 一 声 v 声 一 甲 一 v 一 子 甘 半径为 a的圆 特别地 当M在工轴上时 也满 足 2 拓展 改变 F点的位置 相对于圆 重新思考原间 题 得到结论 当F点与0点重合时 折痕所形成的轮廓线 万方数据 2 0 0 8年第 4 7 卷第 2 期数学通报 为圆 当F点在圆上时 所有的折痕都过圆心 当F点在圆外时 折痕所形成的轮廓线为双 曲线 教材第4 2 页第 12题 问题3 如图4 已知一定圆 圆心为0 F为 圆外一定点 M为圆周上任意一点 直线1 为线段 MF垂直平分线 交直线 O M于尸点 求点 尸的 轨迹 二 问题4 如图4 已知一定圆 圆心为0 F为 圆外一定点 M为圆周上任意一点 直线1 为线段 MF垂直平分线 设直线2 与线段MF交于N点 求点 N的轨迹 图 一一 尹 夕 十 扩 矿 证明1 如图7 设椭圆的方程为 a b 0 M x 夕 x 共一c 刁 并0 在以 F Z 为圆心 Za 为半径的圆上 则 x 一 2 端 Z a 得 N X 一 C加 二一 1 气二 邢 1 乙 一左 F I M x c 则1 的 方 程为y 一 粤二 一 自 x c 二 X 一 C x 一 Z a 50 y Z as i n 夕 代人得1 的方程为 c ac o s 夕 y一 a s l n 夕一 一 一 一 丁 二一 下 一 一叹 工一 ac os口 少 林 py 一 一 吕I n口 旦 半 婴 鸣 丝 毕 酬 与 其 奚 一 1 联 立 方 程 a sl n 口sl n 口a一口 圈 4 类似于问 题1 问 题2 1 易得 解略 问题 5 圆锥曲线既有统一的定义 又有相 似的性质 那么该如何类似地折出抛物线呢 如果把抛物线看成有一个焦点在无穷远处 那么抛物线就可以看成椭圆 因此 我把图 1中 的圆看成很大 圆心在无穷远处 那么圆就可以看 成直线1 然后 把点 F F不在直线1 上 折到该 直线上 如此反复 折痕所围成区域的轮廓就是抛 物线 MI 组 消去 y 又 梦 矿一 2 化简得到关于 x的一 元二次方程 a c o s o x 艺 一Z a a 十 c o s 6 c a c o s 口 x a Z c a c o s 口 0 显然只有一解 从 而 直线 1 与椭圆只有一个交点 所以直线 1 与椭 圆相切 当x 一 y 时 结论仍然成立 圈 5 事实上 如图5 尸 N是线段MF的垂直平分 线 尸 M上1 P N 与尸 M 相交于点 尸 则 尸 M 尸 F 所以尸点的轨迹是以F为焦点 1 为准线的抛物 线 因此 折 抛物线 也不一定要用矩形纸片 且 教材上 第 48 页第 n题 的折法只能得到抛物线 上的一部分 问题6 如图6 在问题 1 的条件下 求证 直 线C D与所求的轨迹相切 且 尸为切点 圈 7 证明2 如图8 设点P 为直线C D上异于尸 的任一点 P M P F 则 P O十P F P O P M O M Za 所以点 P 不在椭圆上 由于P 点的任意性 知直线 C D与椭圆只有一个交点 从 而 直线C D与所求的椭圆相切 而且 当点 P 与尸重合时尸 0 P F值最小为Z a 问题7 在问题 1 的条件下 求证 点 尸是直 线C D上到点0 F的距离之和最小的点 万方数据 数学通报2 0 0 8 年第4 7 卷第2 期 图 8 由问题 6 的证明二易知 可以证明问题 6 问题 7对双曲线与抛物线 而 言 有 类 似 的 结 论二 在图7 中 又由于M F 关于直线 1 对称 过 尸点作直线1 垂线 得法线 因匕F 尸 N 匕M尸 N 艺F Z P Q 得 a l 今a 从而有圆锥曲线的光学性 质 图9 图1 0 图1 1 从椭圆一个焦点发出的光线 经过椭圆反射 后 反射光线交于椭圆另一个焦点上 个焦点射出的一样 从抛物线焦点发出的光线 经过抛物线上任 一点反射后 反射光线平行于抛物线的对称轴 圆锥曲线的光学性质有着广泛的应用 阅读 教材 2 一1 第 52 页 以及教材 2 一2 第 38 页的阅 读材料 圆锥曲线的光学性质 就能了解古希腊的 刁尼秀斯之耳 的奥秘 以及圆锥曲线的光学性 质在现代生活中的应用 问 题 点 尸 x 为 椭 圆 尝 碧 一 1 J 一J 一 一 v 萨 甲 a z b 乙一 一 b 双 曲 线 其 一 其 一 1 抛 物 线 2 2 二 上 任 一 犷 a zb 乙一 J J一 厂 一 一 一 一点 则椭圆过该点 P的切线方程为圣 毕 掣 口 口 x o x y o y 1 性 丁 a b 证明 1 一 1 一 二 x 设切线方程为 y 一y k x 一x k 一 竺夕 存在时 代人方程1 得 b a k x Z 一 Z a Z k k x 一少 x a Z k x 一少 2 一a Z 吞 0 由 4 a k k x 一夕 2 一4 b Z a Z k Z a Z k x 一 所以切线方程为 X一y 口一a 夕 一a Z b Z 二0 得 k 一 bzx y一 一 下 厄 甲 yo 二 一 xo yo 即 器十 锣 1 当k 不 圈 存在时 也满足 证明 2 1 上任取一点 Q xo 乞 在 椭 圆 示 十 箭 x 么 x 2 a 2 1 扩 x y 十 y 则 夕 么 夕 一一一一代 燕厂 一 一一 口 展开得亘 土 多 三 些 全全 兰 二 立里 兰 身 2 土 全 竺 gU 1 x 2x x a 2 些 些 塾 生 全 丝 b 得 一一 端 犷 端 矿 由 一八 服I l y U J 夕奋 卜 一人 X b Z Z x 十 x a Z 2 夕 少 即椭圆上过这 一一 y X 一 尸 Q 两 点 的 割 线 斜 率 为 kl b Z Z x x a Z 2 少 夕 而当Q越靠近点尸时 x y越 图 1 1 从双曲线一个焦点发出的光线 经过双曲线 反射后 反射光线是散开的 它们就好像是从另一 靠近于0 所以当 x 0 这时 y 0 尸 Q两点 的割线就成为切线 而割线斜率就成为切线的斜 率 所以切线的斜率k 一 b Z x 矿yo 椭圆在该点的 万方数据 2 0 0 8 年第 4 7卷第 2 期数学通报 一 犷 扩 切线方程为y 竺 亚 a Z 夕 二 一 x yo 即 箫 4 F I 为 双 曲 线 若 1 a 0 b 0 的 yo y b 2 3 1 双曲线 抛物线同理推证 左 右焦点 尸为双曲线上的一点 0为坐标原点 求证 F 尸 F 的内心在一定直线上 少 护 尹 护 课后延续 课后 学生还进行了进一步的探究和拓展 提 提示 同上题 出了不少的新问题 挑选几题如下 适当整理过 1 F 为 椭 圆 霉 十 其 一 1 的 左 一 一且 一 a 扩一 一 一 右焦点 尸为椭圆上的一点 0为坐标原点 过点 凡 作匕F I P 凡 的角平分线的垂线 垂足为 N 求 线段 O N长的范围 5 F F Z 为椭圆1 a b 0 的左 1 二 L 刃 遥 不 1 口I VI 子L I 厂厂1 1 一 l r厂 1 少 今 乙 合 eX 一 二 e X 2 F 凡 为双曲线 l ex 1 任 0 1 a 0 b 0 的 一一 少 夕 一 尹 矿 左 右焦点 P为双曲线上的一点 0为坐标原点 过点F Z 作艺F I P F 的外角的角平分线所在直线 的垂线 垂足为N 求线段 O N长的范围 提示 O N 1 代 二 1 亡 工n 州 卜e州 卜气 一 到 乙 合 p F I p F Z e x 任 co 1 a b 0 的左 右焦点 0为坐标原点 弦A B过点F 求证 过 点A B的切线与相应的准线交于一点 双曲 线 抛物线也有同样的结论 提示 根据问题 8的结论 易得 4 几点体会 1 在新的课程理念下 教师不是 教教材 而是 用教材 教师的作用就是要挖掘教材的内 涵 使之更为丰满 生动 更具联系性 2 教学中应把 探索作为教学的生命线 布 鲁纳 通过创设恰当的问题情境 促进学生在活 动中感悟并获得数学知识与思想方法 在知识的 发生 发展与运用的过程 中 培养学生的思维能 力 创新意识和应用意识 3 促进课堂互动 创建宽松和谐的学习环 境 教学中 充分发挥教师的主导作用 以问题为 中心 在重视技术与应用层面的数学的同时 更重 视精神与文化层面的数学 既要促进学生的个体 活动 观察 操作 归纳 猜想 验证 推理 建立模 型 提出方法等 也要促进小组活动 讨论 合作 交流 互动等 使学生得到丰富的情感体验 一 犷一护 3 F 为 椭 圆 若 右焦点 P为椭圆上的一点 0为坐标原点 求证 艺F 尸 凡 外角的角平分线与乙尸 凡X的角平分线 的交点 三角形的旁心 在一定直线上 提示 设右顶点为 A 圆与 x轴的切点为 A 因过圆外一点向圆引切线 切线长相等 再结 合椭圆的定义可得 F A F Z A Z a 以及 F A卜 F Z AI 2 解得 F A a I F Z AI a 一 而 F I A a 凡A a 一 所以点 A与A 重合 得证 今考文欲 1 普通高中数学课程标准 实验 南京 江苏教育出版社 2 0 0 4 4 2