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第一章函数 极限与连续第一章函数 极限与连续 习题课习题课 数学科学学院 汪小平数学科学学院 汪小平 wxiaoping325 2 44 第一章知识框图第一章知识框图 反 函 数 反 函 数 复 合 函 数 复 合 函 数 四 种 性 态 四 种 性 态 无穷小的运算与比较无穷小的运算与比较 无穷小 大 量无穷小 大 量 定 义定 义 两个重要极限两个重要极限 单调有界准则单调有界准则 夹逼准则夹逼准则 间断点的分类间断点的分类 映 射 映 射 函 数 函 数 极 限 极 限 数 列 的 极 限 数 列 的 极 限 函 数 的 极 限 函 数 的 极 限 连 续 连 续 初 等 函 数 连 续 性 初 等 函 数 连 续 性 基 本 初 等 函 数 基 本 初 等 函 数 分 段 函 数 分 段 函 数 极 限 的 性 质极 限 的 性 质 初等 函数 初等 函数 局 部 保 号 性 局 部 保 号 性 复 合 运 算 复 合 运 算 四 则 运 算 四 则 运 算 闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质 最值定理最值定理 介值定理介值定理有界性定理有界性定理 零点定理零点定理 定 义定 义 局 部 有 界 性 局 部 有 界 性 3 44 部分典型习题讲解部分典型习题讲解 1 1 lim2 2 x x x 例 证明 例 证明 11 0 2 3 22 xx xx 解 解 1x 注意到邻域半径 的形式应为 因此上式中 注意到邻域半径 的形式应为 因此上式中 1 x 应保留 其余部分应适当放大 应保留 其余部分应适当放大 11 1 2 1 1 22 xxx 限制 则 限制 则 11 36 1 min 22 6 x x x 只须 取 只须 取 1 1 2 2 x x x 则当时 有 则当时 有 4 44 P51 习题习题1 3 00 0 00 0 6 1 lim lim 0 lim 0 2 lim0 lim 0 lim 0 xxxx xx xxxx xx f x Ag x g x f x f x Af x g x g x 已知常数 且 已知常数 且 证明 已知常数 且 证明 已知常数 且 证明 证明 0 1 lim xx f x A g x 证明 证明 f x Ax g x f xAg xx g x f x由常数乘无穷小和两个无穷小相乘的性质知 也是无穷小 由常数乘无穷小和两个无穷小相乘的性质知 也是无穷小 5 44 P88 习题习题1 6 4 2 1 3 1 2 2 1 1 xaxb xx f xxx x a bf xx 当 设 当 问 为何值时 在处连续 当 设 当 问 为何值时 在处连续 4 1 lim2 1 2 x xaxb xx 解 由连续有 解 由连续有1ab 利用多项式除法有 利用多项式除法有 432 1 1 xaxbxxxxa 432 11 1 limlim 1 2 2 xx xaxbxxxa xxx 4 2 3 a 2 3ab 6 44 121212 0 8 0 0 0 f xx xf xxf xf x f xxff x x 设对一切满足 设对一切满足 且在处连续 证明在任意点 处连续 且在处连续 证明在任意点 处连续 0 f 证明 证明 00 f 0 0 ff 0 0 1 0ff 0 0 0 1ff 舍去 或 舍去 或 0 lim xx f x 0 0 lim x f xx 0 0 lim x f xfx 0 0 lim x f xfx 0 0 f xf 0 f x 7 44 12 1 limlim n n nn xxx xaa n 设 证明 设 证明 证 证 12n xxx a n 1 n xaxa n 1 n xaxa n 11 0 0 NnN 当时当时 2 n xa 则上式则上式 1 1 N xaxa n 1 1 Nn xaxa n 1 1 1 2 N xaxa nN nn 极限证明极限证明 8 44 12 lim n n xxx a n 所以所以 1 1 N xaxa 由于为定值 由于为定值 22 NnN 所以当 时 所以当 时 1 1 2 N xaxa n 12 max NNN 取则 取则 nN 当时当时 121 22 n xxxnN a nn 1 1 1 2 N xaxa nN nn 12 lim0lim0 n n nn xxx x n 注意 若 则有 注意 若 则有 1 lim 0 lim0 n n nn xx x n 又易得 则又有又易得 则又有 9 44 11 2 lim lim lim nn nn nnn x yx y xaybab n 设证明 设证明 证 证 lim n n xa nn xa 0 n 其中其中 lim n n yb 同理同理 0 nnn yb 其中其中 由此由此 11nn x yx y ab n 11 nn x yabx yab n 11 nn abababab n 1111 nnnn ab n 10 44 1111 nnnn ab n 1n a n 1n b n 11nn n 11nn nn 由上题知 和为无穷小由上题知 和为无穷小 而而 lim0 n n n 所以有界所以有界0 n MM 即 即 则则 11nn n 1 n M n 0 所以所以 11 0 nn x yx y ab n 11 lim nn n x yx y ab n 即 即 11 nn n 11 44 0 1 0 型的求解方法 型的求解方法 极限的求法极限的求法 1 0 通过因式分解或根式有理化 消去因子通过因式分解或根式有理化 消去因子 极限运算法则或连续函数性质极限运算法则或连续函数性质再用求出极限 再用求出极限 2 无穷小运算性质 等价无无穷小运算性质 等价无利用利用穷小替换穷小替换 3 换元法 换元法 0 11 lim n x x x 如 如 o 2 型的求解方法 利用无穷小 型的求解方法 利用无穷小 12 44 0 3 0 型的求解或 型的求解或 3 0 12cos 1 lim1 3 x x x x 例 例 ln f xf xg x g xe 提示 提示 0 40 0 型的求解或 型的求解或 5 和式极限 无穷小乘有有界等等 和式极限 无穷小乘有有界等等 通分 根式有理化通分 根式有理化 分析 分析 10 类型 类型 21 x e 13 44 11 2 lim cossin x x xx 例 例 2 sin 1 2 2 2 sin 22 lim 1sinlim1sin x x x x xx xx 2 lim sin 2x x x e 2 2 11 limcossin x x xx 解 原式 解 原式 2 lim 2x x x ee 1 14 44 22 1 lim xa xaxa xa xaxa 解 原式 解 原式 1 limlim xaxa xa xa xaxa 22 lim0 xa xaxa a xa 例3 求 例3 求 1 2a 0 0 15 44 1 11 lim 11 nm mn x mxnx xx 解 原式解 原式 0 1111 lim 1111 nm mn t mtnt tt 原式 原式 1 lim 11 mn x mn xx 例4 求例4 求 11 1 0txxtxt 令则当时令则当时 0 1111 lim mn t ntmt mt nt 0 0 16 44 2222 2 0 1 lim 2 t nmmn to t mnt 2 mn 2222 2 0 11 22 lim t m mn n n mtto tm ntto t mnt 2 2 0 1 lim 2 t o t mn mn t mn 0 1111 lim mn t ntmt mt nt 17 44 lim x xx xxxx 解 原式 解 原式 1 2 lim x xxxx 例5 求例5 求 3 1 1 lim 11 11 x x xx 18 44 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 11 6 03 31 2 lim nnn n n xxxxn x 例证明 数列存在 并求极限 例证明 数列存在 并求极限 111 03 3 xxx 证明 由知均为正数 故证明 由知均为正数 故 3 01 2 k xk 设则设则 1n 由数学归纳法知 对任意的正整数均有由数学归纳法知 对任意的正整数均有 21111 13 033 22 xxxxx 1 13 033 22 kkkkk xxxxx 3 0 2 nn xx 因而数列有界因而数列有界 19 44 1nn xx 1 lim 3 3 nnnn n xaxxx aaa 设 在边取极限 得 设 在边取极限 得 3 nnn xxx 32 0 3 nn nnn xx xxx lim n n n x x 所以数列单调增加 由单调有界定理知 存在 所以数列单调增加 由单调有界定理知 存在 33 0 lim 22 n n aax 或故或故 20 44 证 用归纳法证 用归纳法 2 01 x 2006研研 sinaa 则则 0 a 1 x 1 01 n x 1 sin nnn xxx 21 sinxx 1 0 x 1 0 sin nnn xxxxnN 1 1 例7 设满足例7 设满足 lim n n xa 令 令 1 分析 1 分析 故需证单调递减有下界故需证单调递减有下界 0 si nxxx 0 n x 设设 2 1 1 1 lim 2 lim n x n n nn n x x x 证明存在 并求极限 计算 证明存在 并求极限 计算 21 44 2 1 1 lim n x n n n x x 2 1 sin lim n x n n n x x n xx 2 1 lim0 n n x 由得 由得 1 6 e 2 1 0 sin lim x x x x 2 1 0 sin lim 1 x x xx x 1 3 0 sin lim x xx x e 2 0 cos1 lim 3 x x x e 22 44 用单调有界准则证明数列极限存在的基本方法 用单调有界准则证明数列极限存在的基本方法 1 分析数列的变化趋势分析数列的变化趋势 1 1 2 n nn n x xx x 证明单调性 用归纳法 考察 或 等 证明单调性 用归纳法 考察 或 等 3 证明有界性 用归纳法 用常见的不等式 例如证明有界性 用归纳法 用常见的不等式 例如 111 sin ln 1 21 ab abxx nnn 等 等 4 有时用已证的单调性证有界性或 有时用已证的有界性证单调性 有时用已证的单调性证有界性或 有时用已证的有界性证单调性 ln 1 0 1 x xxx x 23 44 思考题思考题 11 1 2 2 1 lim nn n n xxnx x 设求 设求 注注 这道题不能按照上题那样做这道题不能按照上题那样做 原因是原因是 2 000000000000000 2 500000000000000 2 400000000000000 2 416666666666667 2 413793103448276 2 414285714285714 2 414201183431953 2 414215686274510 2 414213197969543 2 414213624894870 2 414213551646055 2 414213564213564 2 414213562057320 2 414213562427273 2 414213562363800 2 414213562374690 2 414213562372821 2 414213562373142 2 414213562373087 2 414213562373096 2 414213562373095 2 414213562373095 2 414213562373095 2 414213562373095 24 44 11 1 2 2 1 lim nn n n xxnx x 设求设求 lim n n xl 解 令 解 令 0 对对 n xl 1 11 22 n xl 1 11 n xl 1 1 n n xl lx 1 11 limlim2 212 n nn n xll xl 则即则即 2212lim nn n xllx 故下证存在 故下证存在 25 44 1 4 n xl 1 21 4n lim0 lim12 nn nn xlxl 由极限的定义知 故 由极限的定义知 故 2 2 4 n xl 1 1 4n xl 26 44 1 12 12 0 1 lim xxx x n n x aaa a aa n 求其中均为正数 求其中均为正数 综合题综合题 1 lim 1 lim lim g xf xg xf x 若求 若求 1 0 lim 1 x x xe 法一法一 利用利用 1 1 1 lim 1 lim1 g xf x g f x x ffxx lim 1g xf x e ln g xg xf x f xe 法法利用利用二 二 ln lim ln lim lim g xg xf xg xf x f xee lim ln 1 1 g xf x e lim 1 g xf x e 27 44 1 12 12 0 1 lim xxx x n n x aaa a aa n 求其中均为正数 求其中均为正数 1 12 0 lim 1 xxx x n x aaan n 解 原式 解 原式 12 0 1 lim xxx n x aaan xn e 12 1 ln 1 0 lim xxx n aaan xn x e 1 1 ln n i i a n e 0 1 11 lim n x i x i a xn e 0 1 ln1 lim n i x i xa xn e 1 2 1ln n a aa n e 12 n n a aa 练习练习 lim 2 n nn n ab 28 44 1 2 0 lim xxnx x x eee n 练习 求 练习 求 1 2 0 lim 11 xxnx x x eee n 解 原式 解 原式 2 0 1 lim xxnx x eeen xn e 1 12 n n e 1 2 n e 2 0 1 1 1 1 lim xxnx x eee nx e 2 000 1111 limlimlim xxnx xxx eee nxxx e 1991研研 1 29 44 2 2 limsin1 n n 求 求 2 limsin1 n n 解 解 2 lim1sin1 n n nn 2 1 lim1sin 1 n n nn 2 limsin1 n nnn 30 44 22 sin 0 11 n nnnn 当时 当时 2 11 limsin10 n n n 又又 2 1 lim1sin 1 n n nn 31 44 极限式中常数的确定极限式中常数的确定 求常数求常数a b 2 1 lim3 1 x x axb x 3 已知 3 已知 2 1 1 lim3 1 x a xba xb x 解 原极限知 解 原极限知 101 34 aa bab 32 44 2 2 0 11 1 4 lim 0 2arctan b x f x x a bxf xax x 已知 求使 已知 求使 解解 2 0 lim0 x f x x 22 1 11 0 2 f xf x x xx 11 0 xxx 2 0 limarctan0 x x 4 0 lim11 4 x f x ab x 2 0 lim 110 x f x x 2 2 224 000 1 11 1 2 limlimlim arctan22 xxx f xf x f x xx xxx 33 44 0 limmax nnnn n a bcabca bc 2 5 lim 1 0 2 n n n n x f xxx f x 求 的显式表达式 求 的显式表达式 12 lim nnn n m n aaa 12 max 0 mi a aaaiN 34 44 2 lim 1 2 n n n n x f xx 1 01x 12xx 2 2 2 x x y O 1y x yx 21 2 2 x y 1 2 35 44 2 1 0 ln 1 6 lim2 ln 1 x x x e xxx e 表示不超过 的最大整数 表示不超过 的最大整数 2 1 0 ln 1 0 lim2 ln 1 x x x e x e 原式原式 2 2 1 1 00 lim2lim22 x x xx x e e e 2 1 0 ln 1 0 lim0 ln 1 x x x e x e 原 式原 式 2 1 0 2 ln 1 lim 1 ln 1 x x x e x e x 22 11 0 ln 1 lim ln 1 xx x xx ee ee 2 1 0 2ln 1 lim 1ln 1 x x x xe xe 解 1 0ln xxx 36 44 3 2 0 7 coscos lim sin x xx x 3 2 0 cos11cos lim x xx x 解1 原式解1 原式 3 22 00 1cos1cos limlim xx xx xx 2 2233 00 1cos1cos limlim 1cos 1coscos xx xx xx xxx 22 00 11cos11cos limlim 32 xx xx xx 11 64 1 12 37 44 3 2 0 7 coscos lim sin x xx x 6212 sico n101s xuxuxu 令则 当 1110 1 11 lim 112 u uuu 12 1 1 lim 1 u u u 1110 1 1 lim 1 1 u u uuuu 32 12 1 lim 1 u uu u 原式 原式 解2解2 38 44 1 00 8 lim4 lim 1 1cos x xx f xf x xx 已知 求 已知 求 2 解解 2 2 f x x x 1 2 00 lim2lim2 xx f x f x x xx 2 000 2 lim4lim4lim2 1 1cos 2 xxx f xf xf x xx x 1 1 00 lim 1lim 12 x x xx f x xx x 0 2 lim 2x xx x ee 0 lim0 x f x x 1 0 1 lim 1 x x f x x 解1解1 2 0 lim 2x f x x ee 2 0 f x xxxx x 39 44 0 11 xx xx 解 解 1 x 0 xf x 是 的第二类 无穷 间断点是 的第二类 无穷 间断点 0 lim x fx 1 xfx 是 的第一类 跳跃 间断点 是 的第一类 跳跃 间断点 0 fx 1 0 xx 间断点 间断点 2005研研 1 1 9 1 x x f x e 求 的间断点并指出其类型求 的间断点并指出其类型 0 11 xx xx 1 x 1 fx 40 44 sinsin sin 10 lim sin x tx tx t f x x 求 的间断点并指出其类型 求 的间断点并指出其类型 sin x x e sinsin sinsin lim 1 sin x tx tx tx f x x 解 1 解 1 sinsin lim sinsinsintx txx xtx e sin lim lim x x xkxk