第4章练习题-答案.pdf

高等代数第四章练习题 一 答案 部分 一 填空题 2 设 A B是阶方阵 n2 3AB 则 1 1 A BA B 1 1111111 1 5 5 6 n A BA BB A BA A BA B 4 设均为阶方阵 满足BA 303 BAAB 若1 EA 求 3 EB 3 333AE BEABABEE 故33AE BEE27 5 若阶方阵nA与B只是第j列不同 给出AB 与AB 的关系等式 设 111111 jjnjj AB n 则 111 2 2 2 2 jjn AB 从而 1 111111 2 2 2 22 n jjnjj AB n 11 111111 2 2 nn jjnjjn AB 6 设方阵A满足 则 2 20AAE 11 2 AAE 2 AEAE 0 故 2AE AE 不一定可逆 但 1 2AaE aa 都可逆 22 1 1 22 aEAaEAAa aEaaE 2 220aa 故只要A 则AaE 可 逆 且 1 2 1 1 22 aEAaE aa 2 2 3 4 AA AEEAEAEE 7 若阶方阵nA满足 3 0A 则 1 EA 3 0A 则 从而 3 EAE 2 EA EAAE 8 设A是一阶可逆阵 知 则4 1 3000 0210 0330 0001 A A AAA E 故 1 AA A 3 1 1 27 27 AAA 则 1 3 A 9 设 212 520 34 A a B是3阶非零矩阵 且0AB 则 a 0AB 则B的列向量组是的解 而0AX B非零 即0AX 有非零解 故0A 由此求 a 10 若是阶方阵 BA n 0 0 A B 的伴随矩阵是 1 000 0000 AAA E0 BBB E 把当做可逆矩阵 则 BA 2 2 2 1 1 1 0 1 000 0 1 0000 1 0 n n n A BAAA B A B BBBA B A 此结果与的逆无关 当不可逆时也成立 不再证明 BA BA 1 1 1 00000 00000 AAAB AA A B BBBA BB 12 设维向量n 0 0 0 T aaa E为阶单位矩阵 n T AE 1 T BE a 若A的 逆矩阵为B 则 a 111 TTTTTT ABEEEEE aaa 即 2 12 1 0 T a aa 而 则0 T 2 12 10 a aa 解出 0a a 14 设A是阶矩阵 3 n A的各行元素之和为 而0 0A 则 r A A的各行元素之和为 则有非零解 即00AX 1 1 1 T r An 而 由 0A A A秩之间的 关系可知 1r An 15 设 A B是阶方阵 且 nrAr r Bs 则 r A AB AB B r 0 A ABA 0 BB AB 前一个的第一列右乘B 加到第二列上 后一个第一行左乘A 加 到第二行上 16 设A是3阶可逆方阵 将A的第一行的3 倍加到第三行 再互换第二行和第三行后得到矩阵B 则 1 BA 由A经初等变换化为B的过程 可得矩阵的成绩等式 100100 001010 010301 AB 从而 1 100100 001010 010301 BA 二 计算题二 计算题 2 设矩阵A的伴随矩阵 且 1000 0100 1010 0308 A 11 3ABABAE 求矩阵B 3 8AA 知2A 非零 矩阵可逆 由 11 3ABABAE 得3ABBA 化为 3AE BA A可逆 左乘 得 1 A 1 3AAE BE 即 1 3EABE 即 11 3 BEA 1 1 A A A 代入得 2 1 1 2 1 112 1 2 6000000 0600000 3 3 12060100 03010303 BEA 3 设 求 130 013 001 A 2 1 AEAEB 1 2 BE 111 22 2 2 2 2 2 2 3 2 1 BEEAEAEAEAEAEAEAEA 故 1 1 2 2 3 BEE A 4 已知矩阵 且矩阵 100011 110 101 111110 AB X满足AXABXBAXBBXAE 求X AXABXBAXBBXAE 则AXAAXBBXBBXAE 则 AX ABBX ABE 则 AB X ABE 故 2 XAB 5 设阶方阵nA可逆 且满足 其中 0f A 1 11 nn nn0 f xa xaxa xa 是一非零次多项 式 求 n 1 A 举个例子 若A满足 则 32 230AAAE 32 23AA 2 2 3E A AAEE 则 A 12 1 2 3 AAAE 事实上 若 则 0 0a 12 121 nn nn0 A a AaAa Aa Ea E 则 112 12 0 1 nn nn Aa AaAa A a 1 a E 0 若 不妨设 而 则 0 0a 0 k a 1210 0 kk aaaa 11 11 0 nnkk nnkk a AaAaAa A 即 1 11 kn kn k nnkk A a AaAaAa E 而A可逆 故 常数项非零 如上也可求 1 11 0 n kn k nnkk a AaAaAa E 1 A 三三 证明题证明题 1 设A为2阶矩阵且 5 0A 证明 1 EAE A 1234 EAEAAA A 对A 5 0A 则0A 故 2r A 故 则 r Anr AEn m n AR n m BR 则 AB 二 1 设 2 XAXAE 其中 求矩阵 101 020 101 A X 2 A XEAEA EA 001 010 100 EA 可逆 则XEA E 2 设 求可逆矩阵与 使得 1200 1111 0111 A PQ 0 00 r E PAQ 5 将A经初等行 列变换化为标准形 然后把变换过程用矩阵乘积等式写出来即可求得 3221 21 1 1 2 1200120012001000 1111011101110111 0111011100000000 rrrr ll 3242 1 1 1000 0100 0000 llll 从而 12001000 1001001000 01000111 0101100100 00100010 0110010000 00010001 A 4 设A是方阵 且 证明 2 A A 21 nn AEE A AEEA 乘积交换 二项式展开整理 5 设 A B为n阶方阵 证明 AB ABAB BA 0 ABABABB BAABABAB 即 00 0 EABEABB EEBAEEAB 则 6 已知A可逆 证明 AA AA 可逆 并其逆矩阵 0 0202 AAAAA AAAA 00 002 EAAEEA 即 EEAAEA 从而 11 00 020 AAEAEE AAEEAE 故 11 11 11 11 11 11 00 1 22 002112 22 AA AAEEAEAA AAEAEEAA AA 6 高等代数第四章练习题 四 答案 部分 二 计算题 3 解矩阵方程 若记为 10041 20130 01057 X AXB A可逆 则 1 XA B 另一个问题 若 10041 21130 01152 X A不可逆 如何求 取列分块 1212 A XX 则 112 AXAX 2 从而矩阵方程化为两个线性方程组 系数矩阵 相同 常数项分别为B的两个列向量 这样单独计算两个线性方程组 若都有解 则矩阵方程有解 若有一 个无解 则矩阵方程无解 计算如下 100 41100 41100 41 211 30011 52011 52 011 52011 52000 00 1 都有解 1 AX 的通解表达式 任意 1 4 5 0 0 1 1 TT k 2 1 k 2 AX 的通解表达式 任意 2 1 2 0 0 1 1 TT k 2 k 则 的解 10041 21130 01152 X 1212 12 41410000 52521001 001001 Xkkkk kk 有点类似线性方程组的通解表达式 三 证明题 2 设A是m矩阵 n B是矩阵 其中n