线性代数习题解答.pdf

第 1 页 共 25 页 第二章习题参考解答 一 1 设 241110020 032350011 ABC 求 23 AB BCAC 解 2 14 11 0331 033520382 AB 1 01 200130 305 1 0 1361 BC 2 23 02 43 22 1 3 0421 23 2 03 02 33 1 2 23 1091 AC 2 设 310102 121 111 342211 AB 且矩阵X满足方程32 AXB 求X 解 3 41 2 832 115 3 25211 222 7115 7115 222 XAB 3 设 2242 2243 abab cdcd 求 a b c和 d 解 240 24 1 222 23 2 abacdc abbcdd 4 设A为mn 矩阵 且 kAO 证明 0k 或 AO 证 0k 显然满足 kAO 若0 k 则由kAO 得 1 AOO k 5 计算下列矩阵的乘积 1 323 12 23 82 03 1 2 37243 181 141 14 21 84 01 1 4 37813 203 515 1 1 25 8 1 05 1 1 37402 2 13111 1 3 2 1 38 04220 14 2 2 32 70137 1 0 2 1 310 3 11 31 21 1 1 03210 1 1 3 1 2 1 1 1 02210 3210 22 32 22 1 2 06420 33 33 23 1 3 09630 4 1 132 21 1 3 22 1 5 5 1 第 2 页 共 25 页 5 210 112 113 101 1 2 1 12 1 1 1 1 12 01 0 1 32 1 325 6 11121 12222 12 1 1 aabx xyaaby bbc 111211222212 111211222212 22 11122212 1 222 x xayabxayabx by bcy xayab xxayabyx by bc a xa xya yb xb yc 6 设 10 1 A 求 23 n AAA n是正整数 解 232 101010101010 112121131 AAA A 归纳地 设 10 1 k A k 则 1 101010 11 1 1 k A kk 故 10 1 n An n 是正整数 7 计算 n是正整数 1 cossin sincos n 解 2 22 22 cossincossincossincossin2sincos sincossincossincos2sincoscossin cos2sin2 sin2cos2 设 cossincossin sincossincos k kk kk 则 1 cossincossincossincos 1 sin 1 sincossincossincossin 1 cos 1 k kkkk kkkk 由归纳法可知 cossincossin sincossincos n nn nn 2 142 032 043 n 第 3 页 共 25 页 解 2 142142142100 032032032010 043043043001 E 可见 当n为奇数时 142 032 043 n E 当n为偶数时 142142 032032 043043 n 3 1111 1111 1111 1111 n 解 注意到这个矩阵是对称矩阵 且两个不同行对应元素乘积之和等于零 将这个四阶矩阵 记为A 则 2 22 11114000 11110400 2 11110040 11110004 AE 32 2 AA 4455 1 2 2AA AA 归纳地可得 1 2 2 n n n E A A 4 11 T 22 33 n ab ab ab 解 TTTT n 注意到 T 1 1223 3 aba ba b 数 故 1 11 21 3 T1T1 1 1223 31 1223 32 1222 3 3 13 23 3 nnn ababab a ba ba baba ba ba ba ba b a ba ba b 8 求所有与A可交换的矩阵 1 11 01 A 解 设与A可交换的矩阵为 12 34 bb B bb 则ABBA 即 12121324112 343434334 1111 0101 bbbbbbbbbbb bbbbbbbbb 131 14 2412 3 434 0 bbb bb bbbb b bbb 与 2 b无关 故 2 b为任意常数 12 12 1 0 bb Bb b b 为任意常数 n 为偶数 n 为奇数 第 4 页 共 25 页 2 010 001 000 A 解 设与A可交换的矩阵为 111213 212223 313233 bbb Bbbb bbb 则ABBA 即 111213111213 212223212223 313233313233 010010 001001 000000 bbbbbb bbbbbb bbbbbb 2131322122231112 3132332122112233 31321223 0 0 0 0000 bbbbbbbb bbbbbbbb bbbb 即0 00 abc Baba b c a 是任意常数 9 设 a Aba b c c 互不相同 证明 与A可交换的矩阵必为对角矩阵 证 设与A可交换的矩阵为 111213 212223 313233 xxx Bxxx xxx 则ABBA 即 111213111213 212223212223 313233313233 axxxxxxa bxxxxxxb cxxxxxxc 1212 1313 111213111213 2121 212223212223 2323 313233313233 3131 3232 axbx axcx axaxaxaxbxcx bxax bxbxbxaxbxcx bxcx cxcxcxaxbxcx cxax cxbx 由于 a b c互不相同 故 121321233132 0 xxxxxx 10 设矩阵A与P都是n阶矩阵 且A为对称矩阵 证明 T P AP也是对称矩阵 证 由于A为对称矩阵 故 TTTTTTTT AAP APP APP AP 即 T P AP也是对称矩阵 11 设矩阵A与B都是n阶对称矩阵 证明 AB也是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA 证 已知 TT AA BB AB是对称矩阵 T ABAB 但 TTT ABB ABABAAB 反之 若 TTT ABBAABB ABAAB 即AB是对称矩阵 第 5 页 共 25 页 12 设 ABBA 证明 1 222 2 ABAABB 证 22222 2 AB BA ABAB ABABAABBAABB 2 22 ABAB AB 证 2222 AB BA AB ABABAABBAB 3 ppp ABA B 其中p为非负整数 如果 ABBA 上述等式是否成立 证 当p是正整数时 AB BA p ABAB ABABABABABABABAABBABAABB P个AB 不断将位于右边的矩阵A与位于其左侧的矩阵B交换 经过有限次的这种交换 即可 将p个A移到左边 p个矩阵B移到右边 即等于右端 当p 0时 等式左右两端都是单位矩阵 显然成立 当ABBA 时 不能保证上式成立 反例 12101212 34013434 ABABBA 222 5671010710 9221522011522 ABA B 13 找出一个满足 2 AE 且AE 的二阶矩阵A 解 13 22 31 22 AE 但 2 1313 10 2222 01 3131 2222 A 14 如果 1 2 ABE 证明 2 AA 的充分必要条件是 2 BE 证 2 AA 即 2 11111 2 22242 BEBEBEBBEBE 22 22 BBEBEBE 15 设A是反对称矩阵 B是对称矩阵 证明 1 2 A是对称矩阵 2 ABBA 是对称矩阵 3 AB是反对称矩阵的充分必要条件是 ABBA 证 A是反对称矩阵 B是对称矩阵说明 TT AA BB 1 2TT222 AAAA 即 2 A是对称矩阵 2 TTTTTTT ABBAABBAB AA BBAA BABBA 即ABBA 是对称矩阵 3 AB是反对称矩阵 TTT ABABB AABBAABBAAB 第 6 页 共 25 页 16 设A是实对称矩阵 且 2 AO 证明 AO 证 设 ij n n Aa 其中 1 2 ijji aaij i jn 则 2 1 1 1112111121 2 122221222222 1 1212 2 1 n i i nn n nni i nnnnnnnn n in i a aaaaaa aaaaaaa AO aaaaaa a 222 12 111 0 0 0 nnn iiin iii aaa ij a为实数 故0 1 2 ij ai jn 即 AO 17 设A为mn 实矩阵 证明 若 T AAO 则 AO 证 设 ij m n Aa 则 2 1 1 1112111211 2 2 2122212222T 1 1212 2 1 n j j nm n j nm j mmmnnnmn n mj j a aaaaaa aaaaaaa AAO aaaaaa a 222 12 111 0 0 0 nnn jjmj jjj aaa ij a为实数 故0 1 2 1 2 ij aim jn 即 AO 18 设 11 23 A 求 1 2 2 AA 2 32 3254 AAAE 解 1 2 111111142232 22 232323874641 AA 2 32 3254AAAE 11111111111110 3254 23232323232301 9111411102430 3254 22138723016036 19 设 2 223 1 110 312 fA 求 f A 解 2 223223223100 110110110010 312312312001 f AAAE 第 7 页 共 25 页 155122231001439 133110010053 1371331200110612 20 设 ab A cd 求 A若0 adbc 证明 A可逆 并求 1 A 解 1121 1222 AAdb A AAca Aadbc 故若0 adbc A可逆 1 11 db AA caAadbc 21 求下列矩阵的逆矩阵 1 16 32 解 1 13 16161626 11 1010 20 32323231312020 2020 2 cossin sincos 解 1 cossincossincossincossin 1 sincossincossincossincos 3 123 012 001 解 1 123123123127 0121 012012012 001001001001 4 1000 1200 2130 1214 解 矩阵为4阶矩阵 用初等变换法求逆矩阵较方便 1000100010001000 1200010002001100 2130001001302010 1214000102141001 第 8 页 共 25 页 1000100010001000 0130201001302010 0200110000603120 0014010100140101 1000100010001000 01302010010122313 0014010100140101 00603120000243526 10001000 10001000 11 010000 010122313 22 11100140101 00100 263 1511 0001 1511 824124 0001 824124 故 1 1000 11 1000 00 22 1200 111 21300 263 1214 1511 824124 5 123 121 523 解 123123 1210440 523088 故该矩阵不可逆 6 213 012 103 解 213201 01201250 103103 1 331 555 213213331 11234 012012234 55555 103103112 312 555 第 9 页 共 25 页 7 23 2 1 01 0 001 0001 aaa aa a a 解 23 2 1 01 10 001 0001 aaa aa a 23 2 100010001001 0100010001001 00100010001001 0001000100010001 aaaa aaa aa 1 23 2 1001 01001 001001 00010001 aaaa aaa aa 22 解下列矩阵方程 1 500 1012 034 537 023 X 解 500 03450 023 故 500 034 023 可逆 1 500 1012 034 537 023 X 1 1 00 500 5 034034 023 023 1 00 5 10122710 034 53712333 023 X 2 aa bXba b c cc 全不为零 解 0 a babc c 故 a b c 可逆 1 1 1 1 1 1 1 a aaa Xbbb b ccc c 3 1111121000 0111112100 0011101200 0001000021 0000100012 X 第 10 页 共 25 页 解 11111 01111 00111 10 00010 00001 故 11111 01111 00111 00010 00001 可逆 1 1111121000 0111112100 0011101200 0001000021 0000100012 X 用初等变换法求解较方便 111111210000 011111121000 001111012100 000111001200 000011000021 000001000012 100000111000 010000111100 0010000 000100 000010 000001 11100 001100 000011 000012 故 111000 111100 011100 001100 000011 000012 X 4 XPPB 其中 100100 210 000 211001 PB 并计算 5 X 解 1 P 故P可逆 1 XPBP 1 100 210 411 P 第 11 页 共 25 页 100100100100 210000210200 211001411611 X 5 511111151 XPBPPBPPBPPBPPBPPBPPB P 5 100100100100100100 210000210210000210 211001411211001411 100 200 611 23 设 100 110 111 A 计算 12 2 2 AEAAE 解 121 2 2 2 2 AEAAEAEAEAEAE 200 120 112 24 已知矩阵A的逆矩阵 1 311 110 211 A 求 A与 1 AA 解 1 1 311311 11 1103 110 33 211211 AAAA A 11 311121 110111 211154 AA 13 1 1 AAAAA 121 1 111 9 154 25 已知矩阵 1234 0123 0012 0001 A 求A中所有元素的代数余子式之和 解 1 1 AAA 故A中所有元素的代数余子式之和即为 1 A 所有元素之和 1234100010121200 0123010001010120 0012001000100012 0001000100010001 第 12 页 共 25 页 1002121210001210 0101012001000121 0010001200100012 0001000100010001 1 1210 0121 0012 0001 A 故A的所有代数余子式之和为0 26 设A为n阶可逆矩阵 2 A 且A 是 1 AkA 的逆矩阵 求k 解 1111 2 2 13 A AkAEA A AkAEAk AEkk 27 1 已知矩阵A与矩阵X满足2 AXBX 其中 301213 111 012 114103 AB 求矩阵X 解 2 AE XB 101 2111 2 1 2 112 AEAEAE 可逆 故 1 1 101213311213 2 111012110012 112103211103 XAEB 524 201 311 2 已知 100011 110 101 111110 AB 且矩阵X满足 AXABXBAXBBXAE 其中E是 3阶单位矩阵 求X 解 AXABXBAXBBXAEAX ABBX ABEAB X ABE 111 011 001 AB 可逆 且 1 112 011 001 AB 故 2 1 2 112125 011012 001001 XAB 3 已知A是3阶矩阵 0 diag 1 1 4 AA 且 11 3 ABABAE 求矩阵B 解 111 3 3 ABABAEAE BAE 21 1111 0 4 2diag 1 1 4 diag 2 222 AAAAAA A 1 1312 diag 2 2 diag 1 3 diag 1 2233 AAEAE 第 13 页 共 25 页 1 6 121 3 3diag 1 diag 2 2 diag 6 2 12 332 1 BAEA 28 设 A B C都是n阶非奇异矩阵 证明 1111 ABCC B A 证 111111111111 ABC C B AABCC B AAB CCB AA BBAAAE 故 1111 ABCC B A 29 设A和B是同阶非奇异矩阵 证明下列等式等价 即 1111111 ABBAABB AA BBAA BB A 证 1111111111 ABBABAB BBBA BB A BBB B ABB AAB 1111111111 ABBAAAB AABA AA A BAA B AABAA B 1111111111 BBABBA B BA BB A 30 设A B都是n 阶矩阵 下列命题是否成立 1 若A B都可逆 则AB 也可逆 解 不一定 例如 1010 0101 ABABO 不可逆 101020 010203 ABAB 可逆 2 若A B都可逆 则AB也可逆 解 成立 由于A B都可逆 故 0 0 AB 0 ABAB 故AB可逆 3 若AB可逆 则A B都可逆 解 成立 由于AB可逆 0 0 0ABABAB A B都可逆 31 设n阶矩阵A满足 2 AAEO 证明 A为非奇异矩阵 证 2 AAEOA EAE 由矩阵可逆的充要条件的推论 A可逆 且 1 AEA 32 设矩阵B可逆 A与B 为同阶矩阵 且满足 22 AABBO 证明 A和AB 都可逆 证 设A与B 为n阶矩阵 2222 AABBOA ABBA ABB 22 1 n AABBB 由于 B 可逆 0 0 0 0BAABAAB A和AB 都可逆 33 设A是 2 n n 阶矩阵 2 AA 但 AE A 是A的伴随矩阵 证明 A不可逆 证 反证法 若 A可逆 则A可逆 由 2121 AAA AA AAE 与AE 矛盾 故A不可逆 1 0 0 n AAAA 不可逆 34 设A B是n 阶可逆矩阵 且 1 EBA 可逆 证明 1 EA B 可逆 并给出其逆矩阵的表示 式 证 111111 EA BA AA BAABAEBAA 由已知条件 11 A AEBA 都可逆 故 1 EA B 可逆 且 1 1111111 EA BAEBAAAEBAAABA 35 设A为3阶非零实矩阵 且 T AA 证明 1 A 证 由 T ijij AAAa 由于A是非零实矩阵 A至少有一行的元素不全为零 设第i 行 第 14 页 共 25 页 的元素不全为零 则 222 112233123 0 iiiiiiiii Aa Aa Aa Aaaa 由于 TT323 1 1 AAA EAAA EAAA EAAA 36 设A为n 阶矩阵 且 k AO k 为正整数 称A为幂零矩阵 证明 EA 可逆 且 121 k EAEAAA 证 21 kkk AOEA EAAAEAE 故EA 可逆 且 121 k EAEAAA 37 设A为5阶矩阵 且 1 2 A 求 1 1 2 3 AAA 解 4 5 1 11 216 AA 1 1 11156 11 2 32 32 2 2264 3 AAAAAAAA A 38 设A B都是n 阶矩阵 B A E 可逆 且 1T AEBE 证明 矩阵A 也可逆 证 由 1T AEBE TTT AE BEEAE BAEEAAE B 由已知条件BT A E 可逆 故A可逆 39 设A为n 阶矩阵 0 EA 证明 EA EAEAEA 证 不难证明 22 EA EAEA EAEA 两边同乘以 1 EA 1111 EAEA EA EAEAEA EA EA 11 EAEAEA EA 11 EAEAEAEA EAEA 即 EA EAEAEA 40 用分块矩阵计算下列乘积 1 321021 201102 240110 104003 解 1112 11122122 2122 3210 321024012011 201110402401 1040 AA AAAA AA 1 12 2 21 211002 020310 03 B BB B 第 15 页 共 25 页 原式 11121111122 21222211222 3221101077 2002110335 4924210110 2110024003 AABA BA B AABA BA B 2 11001000 31001000 01000131 00210214 解 设 11122122 1100 31 00 00 21 0100 AAAA 1112 2122 1100 3100 0100 0021 AA AA 1112 11122122 2122 1000 100001311000 100002140131 0214 BB BBBB BB 原式 111211121111122111121222111112 212221222111222121122222212222 AABBA BA BA BA BA BO AABBA BA BA BA BOA B 11000 12000 31000 14000 01000 1000 131 0056 0 21 214 41 1 设矩阵A C都可逆 求 1 0 0 A C 解 设A为m阶矩阵 C为k阶矩阵 1 12 34 0 0 m k k m ABB CBB 其中 2 B和 3 B分别是k阶和 m阶矩阵 则 12 34 00 00 m kmm k k mk mk ABBE CBBE 1 3 3 1 1 4 4 1 1 1 1 22 2 0000 0000 m m km k k mm k k mk m m kk m ABEBA AABCB CCBAB CBEBC 2 设矩阵 12 s A AA 都可逆 求 1 1 2 s A A A 第 16 页 共 25 页 解 可对s用归纳法 s 2时 由 1 1 1 1 2 1 2 1 AA AA 假设对s k 有 1 1 1 2 1 2 1 1 k k AA A A AA 则对s k 1有 1 2 1 1 k k A AB A A 其中 1 2 k A A B A 因而 1 1 1 1 2 1 1 1 1 k k k A ABA AB A 1 1 1 1 2 1 1 k k A A A A 故 1 1 1 2 1 2 1 1 s s AA A A AA 41 利用矩阵分块 求下列矩阵的逆矩阵 1 10000 21000 00101 00110 00311 解 设 10000 21000 0 00101 0 00110 00311 A C 其中 11 101111 1010 1 110 121 21213 311411 ACAC 第 17 页 共 25 页 原式 1 1 10000 21000 111 00 333 121 00 333 411 00 333 A C 2 00012 00023 11000 01100 00100 解 设 00012 00023 0 11000 0 01100 00100 A C 其中 11 110111 1232 011 011 2321 001001 ACAC 原式 1 1 00111 00011 00001 32000 21000 C A 3 2 3 1 0000 0000 00000 0000 0000 n a a a a 其中 12 n a aa 为非零常数 解 设 2 3 1 0000 0000 00000 0000 0000 n a a A C a a 第 18 页 共 25 页 其中 2 3 1 n a a ACa a 2 11 3 1 1 1 1 1 n a aAC a a 原式 1 2 3 1 1 1 1 n a a a a 4 1 2 1 2 2 n n n n a a a a a a 其中 122 n a aa 为非零常数 解 设 1 2 1 2 2 n n n n a a aA aC a a 其中 11 22 2 n n nn aa aa AC aa 第 19 页 共 25 页 1 11 2 2 12 11 1 1 11 nn n n aa aAC a aa 原式 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a a a a a a 43 设矩阵 11 32 A 将 A 表示成初等矩阵的乘积 解 212121 3 1 111110 320101 rrrrrr A 11 2 3 11 1 2 1011 3101 AEARRE 44 若对可逆矩阵A施行下列初等变换 1 交换A 的第i行与第j 行 2 将A的第i 行乘以非零常数k 3 A的第j 行各元素加上第i 行对应元素的 倍 初等变化后的逆矩阵与初等变化前的逆矩阵之间有何关系 解 1 交换A 的第i行与第j 行后 矩阵A变成 11111 ijijijijij R AR AA RA RA C 即初等变换后的逆矩阵等于初等变换前的逆矩阵交换了第i 列与第j 列 2 将A的第i 行乘以非零常数k后 A变 11111 11 k ik ik i ii kk RARAA RA RA C 即初等变换后的逆矩阵等于初等变换前的逆矩阵的第i 列乘以 1 k 3 将A的第j 行各元素加上第i 行对应元素的 倍 A变成 11111 jijjijjijjijiji RARAA RA RA C 即初等变换后的逆矩阵等于初等变换前的逆矩阵的第i列加上第j列的 倍 第 20 页 共 25 页 45 设 ijr rijr n BbCc 且 r Cr 证明 1 如果 BCO 则 BO 2 如果BC C 则 BE 证 1 由 r Cr C中存在一个r阶子式不为0 可交换C的列 使这个r阶子式位于C 的前r列 即存在初等矩阵 12 s R RR 使 1212 s CR RRCC 其中 1 C为rr 矩阵 且 1 0C 由 12 s BCOBCR RRO 即 12121212 s BCR RRB CCBCBCOO 其中 1 O为r阶零矩阵 111 BCO C 可逆 故 1 BO 注 由方程组解的存在定理 可以证明 T C BO 有唯一的零解 也可证明此题 2 BCCBE CO 由 1 可知 BEO 即 BE 46 求下列各矩阵的秩 1 3211 1232 4423 解 3211123212321232 123232110410504105 44234423041050000 矩阵的秩为2 2 2133 3150 4113 13136 解 2133123312331233 3150135005230110 4113141302200523 131363113607430743 12331233 01100110 00330033 00330000 矩阵的秩为3 3 12103 21011 31112 05217 解 121031210312103 210110521705217 311120521700000 052170521700000 矩阵的秩为2 第 21 页 共 25 页 4 1312 2123 3311 1435 解 131213121312 212307470747 321107470000 143507470000 矩阵的秩为2 5 1 11 21 2 1222 12 n n nnnn ababab a ba ba b a ba ba b 解 设 12 n a aa 不全为0 且 12 n b bb 也不全为0 不是一般性 设 11 0 0 ab 则 1 11 211212 2 12222 1222 1212 000 000 nnn nn nnnnnnnn abababbbbbbb a ba ba ba ba ba b a ba ba ba ba ba b 矩阵的秩为1 若 12 n a aa 全为0或 12 n b bb 全为0 则矩阵为零矩阵 矩阵的秩为0 47 已知 1 1 1 1 aaa aaa A aaa aaa 1 a取何值时 矩阵A可逆 2 a取何值时 矩阵A的秩为3 3 a取何值时 矩阵A的秩为1 解 3 1 1 1 3 1 1 1 aaa aaa Aaa aaa aaa 1 当 1 3 a 且1a 时矩阵a可逆 2 当 1 3 a 时 0 A 但A中有一个3阶子式 2 1 3 1 3 1 1 12 1 0 1 a a aa aaaa aa 故A的秩为3 4 当1a 时 1 1 1 11111 1 1 1 10000 1 1 1 10000 1 1 1 10000 A 故A的秩为1 第 22 页 共 25 页 48 设 11011 101 21 01111 a ABa a 且矩阵AB的秩为2 求a 解 2 A A可逆 故 2 0 r ABr BB 即 1 01 aa 49 设 12311010 01100200 00011020 00000001 AB 求矩阵 BA的秩 解 20B 矩阵B可逆 故 r BAr A 0001 0001 1 0001 0000 Ar BAr A 50 讨论下列线性方程组是否有解 如果有解 用高斯消元法求出它的所有的解 1 123 123 23 335 2411 3 xxx xxx xx 解 13351335133510614 21411072101130113 01130113072100920 A 2 100 3 10614 7 0113010 9 20 20001 001 9 9 方程组存在唯一一组解 1 2 3 2 3 7 9 20 9 x x x 2 12345 12345 12345 2340 22711140 33610150 xxxxx xxxxx xxxxx 解 方程组为齐次线性方程组 总有解 11234112341120511001 22711 14003560030900103 3361015000130001300013 35 r A 方程组有无穷多组解 选 25 x x为自由未知量 方程组的所有解为 第 23 页 共 25 页 1