复变函数复习题2008.ppt

2020 3 14 1 考试安排 考试时间 一 2008年11月24日晚上 考试地点 答疑时间 二 2008年11月21日下午晚上 11月22日上午下午 11月23日上午下午 答疑地点 科技楼805计算数学教研室 2020 3 14 2 主要内容 一 复数的几种表示及运算 区域 曲线 初等复变函数 二 柯西 黎曼方程 1 判断可导与解析 求导数 七 Fourier变换的概念 函数 卷积 三 柯西积分公式 柯西积分定理 高阶导数公式 四 洛朗展式 五 留数 1 计算闭路积分 六 保形映射 1 求象区域 八 利用Laplace变换求解常微分方程 组 2 构造解析函数 2 计算定积分 2 构造保形映射 2020 3 14 3 一 填空题 2020 3 14 4 2020 3 14 5 四 计算下列各题 2 3 4 1 二 验证 z平面上的调和函数 并求以 为实部的解析函数 使 是 三 将函数 在 与 洛朗级数 处展开为 2020 3 14 6 七 用拉氏变换求解方程 六 求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射 i i 2020 3 14 7 故u x y 为调和函数 1 解 2 方法一 2020 3 14 8 解 故u x y 为调和函数 1 2 方法二 2020 3 14 9 三 将函数 在 与 洛朗级数 处展开为 解 1 在z 1处 1 2 2020 3 14 10 三 将函数 在 与 洛朗级数 处展开为 解 2 在z 2处 1 2 2020 3 14 11 四 1 解 方法一 利用留数求解 z 0为二级极点 方法二 利用高阶导数公式求解 2020 3 14 12 四 2 解 z 1为本性奇点 2020 3 14 13 四 3 解 2020 3 14 14 四 4 解 2020 3 14 15 解 0 1 0 i i 2 1 i 1 i 2 i 2 1 2020 3 14 16 六 求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射 i i z 2020 3 14 17 七 用拉氏变换求解方程 1 对方程两边取拉氏变换得 解 2020 3 14 18 2 求拉氏逆变换 方法一 利用部分分式求解 2020 3 14 19 2 求拉氏逆变换 方法二 利用留数求解 一阶极点 二阶极点 2020 3 14 20 2020 3 14 21 证明 1 奇点 由于 2 左边 2020 3 14 22 7 0 8 一 1 1 2 5 4 u v在D内可微 且满足C R方程 3 4 6 可去奇点 2020 3 14 23 1 预处理 使边界至多由两段圆弧 或直线段 构成 一般步骤 2 将边界的一个交点z1映射为 3 将角形域或者带形域映射为上半平面 4 将上半平面映射为单位圆 工具 几种简单的分式映射 幂函数等 另一个 交 点z2映射为0 从而将区域映射为角形域或者带形域 工具 工具 对于角形域 对于带形域 工具 无附加条件 由附加条件确定 0 z0 2020 3 14 24 先通过Laplac