第三章随机信号分析基础习题.pdf

第三章习题 习题3 3 习题3 12 习题3 4 习题3 13 习题3 5 习题3 14 习题3 10 习题3 16 3 3 宽平稳和宽各态历经的概念 若随机过程满足 则该随机过程是宽平稳随机过程 RX t 1 t2 E X t 1 X t2 RX t2 t1 E X t mX E X 2 t 宽各态历经 则该随机过程是各态历经的 值得注意的是 这两种性质不是等价的 即宽平 稳随机过程不一定是宽各态历经的 但宽各态历 经随机过程一般是宽平稳的 E X t lim T 1 2T x t dt T T RX lim T 1 2T x t x t dt T T 首先讨论平稳性 由题可知 E X t S t 1 T d 0 T 1 T S d t t T const RX t1 t2 E X t1 X t2 S t1 S t2 0 T 1 T d t2 t1 1 T S t1 0 T S t1 d 综合以上讨论 该随相周期过程是宽平稳的 t1 RX t1 t2 1 T S S d t1 t1 T RX E X 2 t S 2 t 0 T 1 T d 1 T S 2 t t T d 现在讨论各态历经性 X t lim T 1 2T s t dt T T 1 T s t dt 0 T 1 T s d 0 T E X t 综上所讨论 该随机过程是各态历经的 X t X t lim T 1 2T x t x t dt T T lim T 1 2T s t s t dt T T 1 T s s d 0 T RX 3 4 本题实际上是3 3题的一个特例 可以直接引 用3 3题的结论 该随相周期过程是各态历经的 所以有 E X t X t lim T 1 2T S t t0 dt0 T T 1 T S d 0 T 1 T 1 2 T 4 a a 8 也可直接由定义得到 E X t S t t0 1 T dt0 0 T 1 T S d 0 T 1 T 1 2 T 4 a a 8 3 5 仍然由各态历经的定义 显然该随机过程均值具有各态历经性 X t lim T 1 2T acos 0t T T dt 0 E X t E A E cos 0t E A cos 0t 0 2 1 2 d 0 现在考察自相关函数是否具有各态历经性 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos 0t cos 0t 0 dt A2 2 lim T 1 2T cos 2 0 T T t 0 cos 0 dt A2 2 cos 0 所以该随机过程不具有各态历经性 A不是常量而是随机变量 RX t1 t2 E A2 E cos 0t cos 0t 0 1 2 E A2 cos 0 A2 E A2 3 6 本题是3 5题的一个推广 当A不是随机变量时 有 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos 0t cos 0t 0 dt A2 2 cos 0 E X t X t E A2 E cos 0t cos 0t 0 1 2 E A2 cos 0 1 2 E A2 cos 0 A2 2 cos 0 3 10先复习一下平稳过程自相关函数的两条性质 1 RX 0 E X2 t 2 不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足 lim RX RX mX 2 RX 4e cos cos3 E X 2 t RX 0 5 mX 2 lim 4e cos 0 2 E X 2 t mX 2 5 噪声分量 信号分量 功率信噪比 RX 4e cos cos3 RX 1 RX 2 P N RX 1 0 4 P S RX 2 0 1 SNR 1 4 3 12 先讨论平稳性 E X t E Acos t E A E cos tcos sin tsin E A E cos t E cos E sin t E sin 0 E cos cos 1 2 d 0 E sin sin 1 2 d 0 可知该随机过程是宽平稳的 E X t X t E A2 E cos t cos t 8 1 2 E cos 2 t 2 cos 4E cos 4cos 1 10 5 5 d 4sin5 5 E X 2 t RX 0 4 现在讨论各态历经性 X t lim T 1 2T X t dt T T lim T 1 2T Acos t dt T T lim T A 2 T cos t d t T T lim T A 2 T dsin t T T lim T Acos sin T T 0 E X t 故该随机过程不具有各态历经性 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos t cos t dt A2 2 cos 4sin5 5 3 13 已知 可得 RX 2e 2 cos 0 R Y 9 e 3 2 mX 2 RX 0m Y 2 R Y 9 E Z t E VX t Y t E V E X t E Y t 0 由方差的定义 D Z t E Z 2 t E 2 Z t E Z 2 t E V 2 E X 2 t E Y 2 t 13 RX 0 R Y 0 13 2 10 260 D Z t 260 由自相关函数的定义 另外一种求方差的方法 RZ E Z t Z t E V 2 X t X t Y t Y t E V 2 E X t X t E Y t Y t 13 RX R Y 26e 2 cos 0 9 e 3 2 D Z t RZ 0 E 2 Z t 260 3 14 当N t 均值为零 并与X t 相互独立时 RXY E X t Y t E aX t X t 1 X t N t aRX 1 RXN RXY aRX 1 E X t E N t aRX 1 m x0 50890 52920 5102 均值理论值 maen x 0 50890 52920 5102 X 2 k k 1 k X 2 k 1 1 k xk mX k 1 2 1 略 2 进行三次运算 结果比较如下 v x0 07490 08550 0926 方差理论值 var x 0 07250 08270 0898 3 25 题中RND修改为RAND 方差递推公式修改为 RSA 3 25 m References Random Signal Analysis CopyRight L Created November 2nd 08 clc clear all close