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文档简介

9 1正则方程 本章在相空间中研究力学系统的运动 导出另一种形式的动力学方程 即正则方程 这种方法称为哈密顿方法 或称哈密顿表述 这是个二阶微分方程组 现想将其变换成一阶微分方程组 以得到一种新的形式对称的运动方程组 第六章是在位形空间中 通过完整有势系的拉格朗日方程来研究力学系统的运动 一 勒让德变换 在方程中 把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换 叫勒襄特变换 设函数 令 这是新变量与新函数应满足的方程 以上所述把称为勒让德变换 这种变换不仅应用在力学中 还用在热力学系统中 从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数 二 正则方程 对于哈密顿量 哈密顿正则方程 它是一阶微分方程 且形式对称 由于相互独立的 所以 说明如果L不显含时间 H也不显含时间 思考 正则方程是否适用任何系统 正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系 结合初始条件 得到描述力学系统运动状态的运动方程 解 取x y z为广义坐标 动能为 代入哈密顿函数的定义式中 得 将H代入正则方程中 得到质点的动力学方程 得到质点的运动微分方程 应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结 检验系统是否是完整的有势系 然后确定自由度 选择适当的广义坐标 2 写出系统相对惯性系的动能和势能 得到并求出广义动量 由此反解出 4 将H代入正则方程中 得出系统的运动方程 哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较 在拉格朗日动力学中 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程 而在哈密顿动力学中 必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数 才可写出动力学方程即哈密顿正则方程 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便 哈密顿动力学的优点 1 是便于量子化 如在量子力学中 哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规律 2 在变量的变换中比较自由 拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等 只能对广义坐标进行变换 而广义速度也随之而变 哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的 不仅可以对广义坐标进行变换 而且可以坐标和动量一起变换 这个在正则变换时可知其优点 三 哈密顿函数的意义 哈密顿函数是系统的特征函数 因它隐含着系统的约束关系 系统的受力情况以及系统的结构情况等信息 哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴 还应用于其它物理学领域 如量子力学中 热力学等 四 正则变量 相空间 正则方程的意义 2s个广义坐标和广义动量 统称为正则变量 由2s个组成的2s维空间称为相空间 相空间中的一个点 相点 代表系统在某时刻的运动状态 在相空间中 利用正则方程可对力学系统进行定性的几何研究 尤其是对非线性系统在解析求解困难时 正则方程的意义 它结构简单对称 为后续的力学发展 如泊松括号 正则变换 哈密顿 雅可比方程等理论 奠定基础 在数学上 正则方程是一阶微分方程 有利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算 五 广义能量积分和广义动量积分 1 广义能量积分 2 广义动量积分 例 试由哈密顿原理导出正则方程 解 由哈密顿原
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