一道课本习题的深化和发展.pdf

一道课本习题的深化和发展 一道课本习题的深化和发展 055350 河北隆尧一中 焦景会 在当前中学数学教学中 往往对课本中的例题 习题重视不够 事实上 课本中许多例题 习题具有 很强代表性 典型性 对其深化和发展 全方位探索 可以促进学生研究课本 真正掌握基础知识 提高 他们的解题能力 现举一例如下 题目 题目 如果函数 f x lg 1 1 x x 求证 f a f b f ab1 a b 高中数学第一册上 此题证法简单 只许将 a b 代入等式左边进行对数运算即可得证 下面对此题进行重新编拟 综合 思考 将会对函数的定义域 值域 奇偶性 单调性 反函数的性质及求法得以加深和巩固 一 对原题条件多方面思考一 对原题条件多方面思考 1 求 f x 的定义域及值域 解 要使 f x 有意义 须 1 1 x x 0 解之得 1 x 1 即为 f x 定义域 由对数的定义及性质可得 f x 值域为 R 2 讨论 f x 的奇偶性 由于 f x 定义域表示的区间在数轴上关于原点对称 当 x 1 1 时 x 1 1 由 f x f x lg 1 1 x x lg 1 1 x x lg 11 11 xx xx lg1 0 得 f x f x 故 f x 在 1 1 上为奇函数 由此可 知 f af b a 1 b f ab 也成立 3 讨论 f x 单调性 设 y f u lgu u 0 u g x 1 1 x x x 1 1 由函数 u g x 1 1 x x 2 1x 1 易知 u g x 在 x 1 1 上为减函数 而 y f u lgu 在 u 0 上为增函数 故 y f g x lg 1 1 x x 在 x 1 1 上为减函数 4 f x 的反函数 设y f x lg 1 1 x x 从中可求得 10y 1 1 x x 得x 1 10 1 10 y y 对换x y得y f 1 x 1 10 1 10 x x 即为f x 的 反函数 定义域为R 因为单调函数与其反函数有相同单调性 所以f 1 x 也是减函数 又因为奇函数若有反函数 则反函数 也是奇函数 故f 1 x 也是奇函数 二 对结论类比推广 对结论类比推广 1 1 已知函数 f x 若对任何实数 a b 都有 f af b a 1 b f ab 成立 求证 f x 为奇函数 证 由 a b R 且 f af b a 1 b f ab 成立 可取 b 0 得 f a f 0 f a 得 f 0 0 再取 a b 得 f a f a f 0 0 即 f a f a 又 a 为任意实数 即得 f x f x f x 为奇函数 后一情形证略 注 函数 f x 定义域表示区间在数轴上关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件 2 如果 y f x x R 对任何 a b 都有 f a f b f a b 或 f a f b f a b 成立 则 f x 为奇函 数 证明略 3 若 y f x x R 对任何 a b 都有 f af b f a 1 b f a f b 成立 则 f x 是奇函数 证 由 f a 1 b f af b f a f b 可取 a b 0 得 2f 0 2 0 1 0 f f 得 f 0 0 再取 a b 得 f a f a f 0 1 f a fa 0 即 f a f a 因 a 为任意实数 即得 f x f x f x 为奇函数 另 一情形略 4 若 y f x 定义域关于原点对称 当 a b 是定义域中数时 有 f af b 1 a b ff b fa 或 f af b f b 1 f a a f b 成立 则 f x 为奇函数 证 f x 定义域关于原点对称 且当 a b 是定义域中数时 有 f af b 1 a b ff b fa 成立 b a b a 也是定义域中的数 由题设关系式变形为 f ba 1 f a f f b f b a 于是有 fba f ba 1 a f b f a f bf 1 f a f f b f b a f b a f x 为奇函数 另一情形略 三 深化发展 综合应用深化发展 综合应用 例 1 已知 f x lg 1 1 x x 若 a 1 b f ab 1 a 1 b f ab 3 其中 a 1 b 1 求 f a 和 f b 的值 解 由于 a 1 b f ab f af b a 1 b f ab f af b 得方程组 2 1 3 f af b f af b 解得 f a 2 f b 1 例 2 若 f x 对任意 a b R 都有 f a b f a f b 成立 且 x 0 时 f x 0 f 1 2 求 f x 在 2 2 一的值域 解 由前面讨论知 f x 在 R 上为奇函数 下面讨论 f x 在 R 上单调性 设x1 x2 R 且x1 x2 则f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在R上为减函数 故f x在 2 2 上最大值为f 2 f 2 f 1 f 1 2f 1 4 故f x 最小值为f 2 f 2 4 所以f x 值域为 4 4 例 3 若f x 对一切a b R都有f a f b f a b 成立 且当x 0 时 f x 0 则f 4a 1 f 1 2a f a2 1 证 由前述可知 f x 在 R 上为奇函数 下面讨论 f x 在 R 上单调性 设x1 x2 R 且x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 0 故f x 在R上为增函数 于是 不等式左边 为f 4a 1 f 1 2a f 4a