利用典型习题培养学生的发散思维.pdf

中学 数学教学参 考 199浦年第8 期 侧 且与 二 轴正方向的夹角都是 60 0 M N 分 别在以 oB上移动 且 肠八 一 2 了万 求胶 的中点 p 的轨迹方程 我边读题目 边用一根长度等于 协了 八 z 中 点处有一红点的木棍在图上演示 接着我提间 了第一个问题 看看本题中哪些量可以选做参 数 大家一听都开始了积极思维 举手发言的 结果是至少有五种选参方法 1 选 M N 点的 坐标 2 选 oM oN 的长度 3 选直线MN的斜 率与截距 4 选直线 弃工 的倾角 5 选 口肘八 与乙a 丫M 为参数 这些方法我都给予肯定 接 下去我又提出第二个问题 若设M N 点的坐 标 为参数 有哪些设法 怎样 设较好 学 生马士 七嘴八舌 共提出 了五种方法 1 设M l yl飞 万 2 2 2 对 二 尸 厄 1 刃 x Z 一丫丁 x 3 M x 夕 1 N Z x 一 x 2梦一夕 4 M x 了万 xl 刃 2 一 2 一丫 尹 了 xl 5 胚 一几 十 k N x一人 歹一k 并且一致认 为第 2 第 5 两种设法较好 理由是用的参数较少 形式基 本 对称 我的第三个 问题是 若用第二个方 法 怎样列式 消参 学 生回答 设P 妇 万 x 厂歹 x 刃 2 一 了厄 一xZ 则 x 为 2 劣 夕 八 r 人 l 所谓发散思维就是从某一点 出发 运用全 部信息进行发散性联 想 从而 产生数量较多的 输出 发散性思维具有多向性 独立性 探索 性 运动性等特征 它在创造思维中占 主导地 位 数学教师必须创设最佳思维情境 激发学 生的学 习兴趣 有 计划地 培养学 生的发散思 维 其中选 择典型习题 鼓励学生 自己找出多 种解法 进行比较归纳 是培养学 生发散思维 的重要方法 下面通 过 一个实例谈谈 自己在这 方面的做法 用参数法求轨迹方程是解析几何的难点 之一 每届学 生遇到此类习题 都感到棘手 分 析其原 因 主要有四条 其一 不知道选什么量 作参数 其二 列不出足够数量的等式 其三 消不去参数或消参方法过 于 麻 烦 其四 不会 处理 残缺 轨迹 针 对上 述情况 我在高三双 节复习课上 采取 了下 面的方法改革课堂教学 收到 了较好的效果 课堂上步首先系统讲解 了 用参数法求轨 迹 的四个主 要问题 1 选参方 法的多样性 只 要便于 列式 角 度 长度 点的坐标 比值 斜率 等都可作为参数 2 列式 数 量 的确定性 除轨 迹上动点坐标用 二 歹 表示外 若选 了 陀 个参 数 则必 须列出 十 个 关于 夕及参数的方 程 3 消参方法 为灵 活性 只要能够得出一个 不含参数的等式用什么方法消参都可 4 数形 关系的一致性 若方程所表示的 曲线与所给出 的轨迹 图形有差别 则必须在方程后标明 Z 或 I 的取值范围 护丁 x 二丫丁x 2 2 接着 我用小 黑板 出示了这 样 个题目 从原 点 出发 的两条 射 线 月 O刀 分别在 了 轴两 x 1一 2 2十 可 十了了 xZ 2 丫派3 再从 式中解出 1 xZ 代入 即可 我 又问 有没有更简单的方法消 xl xZ 学生观 察 片刻 发现 只要从 中解得 x x 与 二 一 二 代入 即可得到 2 一 髻 一1 最 后我 问 这 一 勺 一 J J 一 9 一 月人 洲 J 一 个题目解到此是否结束 我又拿起木棍在图 上 演示 学 生马上看出 尸 点必在艺 Ao B 内部或边 中学数学教学参考 19 9维年第8 期 镇丫毛 犷 州片 不 沙 V 俪 卜 解叮 导 买笋 一不一困此 荆L 丝曰 乙 2肋 豆 二又万 x l 一护 J xZ 一百二平 坟 I 又 y八贝u 一 k I 百 二平 y 形只是椭圆在匕AO B内的部分 包括与边的交 点 一种解法讲完 若再讲其他解法 必然形 成 满堂灌 的局面 学生的积极性被压 抑 这 时我用带有鼓励的口气讲 这个题 目有多种 解 法 前几 f苗学 生已想出了五 六种解法 我 相信 我们班同 学能找出更多 更好的解法 接着我 又结合图形 进行r简单的提示 我的话产生 了 很大的效益 学生的大脑 处 于高度兴奋状态 渴望 自己的解法从数 量到质量能超过别人 因 此 马上动手做题 由于前面已列举了选参数的 方法 所以大多数同学再找出一二种解法并不 困难 我则巡回指导 发现哪 位 同学思路受阻 就给予疏通 发 现哪位同学解法好 马 上让他 板演 教室后面 的黑板也用上了 两节连 堂课 学 生中出现 了十多种不 同 的解法 好的解法有 以下几种 解法 1 设 尸 l M汁 h y十k 一h y一无 k Zb 一 只一一下下 十b一 j K 3b 3一犷 刀入 z k l x l 一 xZ 竺 l K l 由 上 尸 2肋 4 b 2 一仁犷十 l L子万一下下少 十 石一气石 一 O 凡一 O K 一12 护 3一k Z f 十1 解 下略 法 4 设 艺OM八兰 刀 P x y 可知 OM sin 刀 匕ONM 由正弦定理 ON Slf l尹 乃么 2 丫了 二二二二二 一 二二二一 一今 sln1 Z U 了3 2 I OM I 4sin刀 1 0刃I 4sinl 故 M 点的坐标为 4sin j c 056 0 4sin户in6 o 即 Z sin 刀 2 丫万 sin 刀 刀 点的坐 标为 Z sin 一2 了 sin 设 p x y 则由中 点公式与 十刀一6 0 可知 二 一 sin 十 Si n 刀一 夕 刀 v一刀 夕一刀 角 Zsin 二笼二二eo s 二二二 e o s 二一二二 戈 一 2 一2 一2 一 一 夕 左一 丫3 r j l 夕一 一 一 沂丁 丫万 sin 一 ssn 声 一一 2 了丁 2人 一 2 h 了 一万 2 大一 护万 夕一一 c 宁 S n y一刀 2 一3sin 尹一刀 2 l 叫 1 力9曰 f l 由 迄 解得 h二 1 护百 厂丁 代入 由 得 2 十黑一 l J 艺 I 2 二 设 尸 x 妇 o M 一 t ON 则有 省 1 李 1 省 2 一 粤 2 一t 2 由中 解法 5 设M N 尸三点对应的复 数分别 为 丫了 tl tZ 一厂丁尔 势 则 二 笋 音 1 汀 12 2一 汀 22 一合 l D 一一 2 兰 9 法 十 解 不 得 一 口 tl t 丫厄 t l 一t 息云八下 寻 r 一 下 一 y一 1任 理 得 z 2 z 一Zt lt e os 120 o 2 由余弦定 八厂 百 厂百 y 下不一 幻一乙2力 乙 3 t 十 z r l一t 2 4 一12 下略 X即 之l 解法 3 没直线 仃人 的 方程为 一 加丰b 二时 线 的方 程 为 犷一 3厂 x 0 由 方 程组 因 娜1 t 丫 尸了t 12 一 t 一 了了z l 2 丫 百 可得 tl一t 2 3 t tZ 2一 12 护 护万 将 代入 得 尸十令一1 x 一玉 兰 J 丫 一 9 一 2 解 法 6 设直线MN 的 方程 为 硫十b 冷 对一3 了 十2舰 u 牛护一0 3 设 此 方 程 的一根为 二 和 则 为 为一 x teo s夕 一y t s i n扒 贾 一一2兀 弋万气y熟万 妇为 尸 点的坐 标 t 为参数 则M N 点对应的参数 t 分别为 中学数学教学参考 1994 年第 8期 井 赞恕缪黔 创造性思维是带有创见性的思维 它既需要分析 又需要综合 既需要发散 又需要集 中 既需要直觉 形 象思维 又需要分析 逻辑思维 还需要揭示对立统一 的辩证关系 因此 创造性思维是各种思维方法的综合 运用 在教学中如何培养这 种综合性的思维能力呢 根 据实践 必须适应学牛认知迁移的发展过程 而学生的 认知过程 总是先 由兴趣 感性的材料开始 然后发展 至理性思维 由认识论和心理学的基本原理研究得知 感知 理解 巩固 运用 符合学生认知新知识心理过 程的学习程序 由此 培养 创造性思维的教学目标和途 径 应围绕认知迁移的 四个环节 展 开 一 感知阶段的教学培 养 感知 阶段 的认知 属于 认识起 始 发现 问题的过 程 此阶段的教学要求是激发兴趣 明确授课目标 加 大概念单位的容量 并加以理解 培养途径简述两点 1 激发探索问题的动机 需向学生展示 问题 揭示 授课目标 必要 时需把教学模型 图表等实物 展示给 学生 这样 可唤起学生的好奇心 使心理产生一些 疑 问 形成探索问题的动机 2 揭示概念的内涵 感知阶段的教学 多是涉及概 念 概念是思维的细胞 没有概 念也就没有思维 准确 掌握概念的 内涵 要力求从具体 形象到抽象 可引导 学生 以文作图 以图释文 以数定形 以形定数 的 训练 注重逻辑思维能力的启蒙 为判断 推理 论证作 准备 二 理解阶段的教学培养 理解阶段的认知 属于 认识人 门 探求知 识的过 程 此阶段的教学要求是巩固知识基础 提高逻辑推理 能力和辩证的思维方法 培养途径是多方面的 现仅举 两点 1 引导学生运 用辩证的思维方法 数学中处处充满辩证法 教学过程也是进 行辩证 思维方法的教育过 程 辩证思维方法的培养 一要以矛 盾转化法启发认知 二要以运动的观点启发认知 物质 的本质属性是运动 数学也是运动的产物 在转化运动 中发展着 如 线 面分别可以看成点 线运 动的轨迹 棱锥可以看作是一底面缩为一点的棱台 因此 教学中 要注重培养学生正确运用 动中有静 静中有动 的辩 证思维方法 2 引导学生由直觉思维到逻辑推理 直觉是创造性思维的基础 是目前广泛被重视的 护丁 一了万 所以其坐标分别为 丫厄 co s y十 了厄 si n 刃 一 了丁 co s y一 了 一丁 s i n 力 y 了牙 si n 一 了 一东 二 十 厂百 co s 力 y一 了万s i n 一一了万 一丫气犷 co s 刃 1 义 t 因又 由 解得 一s i n y一3c osy今 x z 普 一飞 今夸 还有的同学 用极坐标解 方法虽然麻烦 但也能得出正确答案 最后我进行小结 通过解这道题目我们可 以看出 用参数法求轨迹方程的基本步骤与列 方程解应用题的步骤十分类似 关键在于选参 数 列等式 参数选得好坏的标准就看是否便 于找到等量关系列 出足够数量的等式 本题的 解法虽然很多 但以第一种解法最简单 凡是 遇到有关弦的中点的间题都可以考虑用这种 方法解 解法 2 中消参的技巧性 解法 3 中将 二射线方程用一个式子表示 解法 4 5 中