格林公式习题课.pdf

习题课习题课 1 1 1 1 格林公式格林公式格林公式格林公式 L yQxPdd 2 2 2 2 等价条件等价条件等价条件等价条件 在在在在 D D D D 内与路径无关内与路径无关内与路径无关内与路径无关 y P x Q 在在在在 D D D D 内有内有内有内有yQxPuddd yx y P x Q D dd L yQxPdd 对对对对 D D D D 内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线 L L L L 有有有有0dd L yQxP 在在在在 D D D D 内有内有内有内有 设设设设 P P P P Q Q Q Q 在在在在 D D D D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 则有则有则有则有 为全微分方程为全微分方程为全微分方程为全微分方程0dd yQxP 积分与积分与积分与积分与路径无关路径无关路径无关路径无关 计算计算计算计算 QPQPQPQP xyxyxyxy 成立成立成立成立 不成立不成立不成立不成立 添辅助线添辅助线添辅助线添辅助线 曲线曲线曲线曲线L L L L 为闭曲线为闭曲线为闭曲线为闭曲线 曲线曲线曲线曲线L L L L 不是闭曲线不是闭曲线不是闭曲线不是闭曲线 解题步骤 解题步骤 解题步骤 解题步骤 GreenGreenGreenGreen公式公式公式公式 换路径 一般换成换路径 一般换成换路径 一般换成换路径 一般换成 平行坐标轴的折线平行坐标轴的折线平行坐标轴的折线平行坐标轴的折线 例例例例1 1 1 1 计算计算计算计算 d d d d AB ABABAB y y y yx x x x 其中曲线其中曲线其中曲线其中曲线 ABABABAB 是半径为是半径为是半径为是半径为 r r r r 的圆在第一象限部分的圆在第一象限部分的圆在第一象限部分的圆在第一象限部分 解解解解 设设设设 D D D D 是半径为是半径为是半径为是半径为 r r r r 的圆域的圆域的圆域的圆域 A A A A B B B B D D D D O O O Ox x x x y y y y 在第一象限部分 设其边界为在第一象限部分 设其边界为在第一象限部分 设其边界为在第一象限部分 设其边界为 L L L L 记记记记 L L L L 为边界的顺时针方向 为边界的顺时针方向 为边界的顺时针方向 为边界的顺时针方向 OAOAOAOABOBOBOBOL L L L y y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x xd d d dd d d dd d d d AB ABABAB y y y yx x x xd d d d L L L L y y y yx x x xd d d d D D D D d d d d 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 r r r r 应用格林公式有应用格林公式有应用格林公式有应用格林公式有 例例例例 2 2 2 2 计算 计算 d d d dsinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x xI I I I L L L L x x x x 其中其中 L L L L 是摆线是摆线 x x x x t t t t sin sin sin sin t t t t y y y y 1 1 1 1 cos cos cos cos t t t t 从点 从点 A A A A 2 2 2 2 0 0 0 0 到点到点 O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 的一段弧的一段弧 解解解解 显然 用这段路径来计算是很复杂且困难 显然 用这段路径来计算是很复杂且困难 x x x x Q Q Q Q y y y y P P P P 为此计算为此计算 2 2 2 2 x x x x Q Q Q Q x x x x y y y y P P P P 再选一条路径再选一条路径 L L L L1 1 1 1 由由 A A A A 2 2 2 2 0 0 0 0 沿沿 x x x x 轴到原点轴到原点 x x x x y y y y O O O O L L L L1 1 1 1 L L L L A A A A y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x 因为因为 L L L L1 1 1 1 上上 d d d dy y y y 0 0 0 0 y y y y 0 0 0 0 所以上式为所以上式为 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 e e e e3 3 3 3d d d de e e e3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x x xx x x x x x x x 即即 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d dsinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 e e e e3 3 3 3 2 2 2 2 解解解解 23232323 15151515 例例例例3 3 3 3 由点由点 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O O到点到点 1 1 1 1 1 1 1 1 B B B B的曲线弧的曲线弧 sin sin sin sin 2 2 2 2 x x x x y y y y 其中其中L L L L为为 x x x x Q Q Q Q y y y y P P P P 原积分与路径无关 原积分与路径无关 x x x x y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 B B B B 1 0 1 0 1 0 1 0 C C C C O O O O P P P P y y y y x x x xy y y yx x x x x x x xx x x x Q Q Q Q 2 2 2 2 4 4 4 42 2 2 2 224224224224 2 2 2 2 L L L L xxy dxxy dyxxy dxxy dyxxy dxxy dyxxy dxxy dy 计算计算 2 2 2 2 2 2 2 2 xxyxxyxxyxxy y y y y 2 2 2 2x x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 x dxx dxx dxx dx 故原式故原式 1 1 1 1 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 1 1 y dyy dyy dyy dy 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到从从上上 为星形线为星形线求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解1 1 1 1用参数法 用参数法 原式原式 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 23 3 3 32 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 3 3 33 3 3 33 3 3 3 sinsinsinsin coscoscoscos coscoscoscos sinsinsinsin sinsinsinsin coscoscoscos t t t ta a a at t t ta a a a t t t ta a a atd td td tda a a at t t ta a a atd td td tda a a a dt dt dt dt t t t tt t t t t t t tt t t t 2 2 2 2 0 0 0 0 6 6 6 66 6 6 6 3 3 3 33 3 3 3 sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin 3 3 3 3 t t t td d d d t t t t t t t t t t t t tantantantan tantantantan1 1 1 1 tantantantan 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 6 6 6 6 2 2 2 2 tantantantan 为积分变量为积分变量 2 2 2 2 arctan tanarctan tanarctan tanarctan tan 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 tantantantan3 3 3 3 t t t t t t t t为积分变量为积分变量 解解解解2 2 2 2 原式原式 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos d d d d a a a ay y y ya a a ax x x xL L L L y y y y P P P P x x x x Q Q Q Q 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y yx x x x 上积分与路径无关 上积分与路径无关 在在 0 0 0 0 y y y yx x x xD D D D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 的弧段的弧段到到上从上从取取a a a aB B B Ba a a aA A A Ay y y yx x x xa a a ay y y yx x x xL L L L L L L L y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy 2 2 2 22 2 2 2 L L L L L L L L ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy a a a a 2 2 2 2 1 1 1 1 的方程的方程 2 2 2 2 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到从从上上 为星形线为星形线求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解3 3 3 3改变积分路径 改变积分路径 原式原式 a a a a y y y ya a a a dydydydy a a a a 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a aa a a aC C C CCBCBCBCBACACACACl l l l其中其中取取 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a ay y y ya a a ax x x xACACACAC y y y ya a a a adyadyadyady 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a ax x x xa a a ay y y yCBCBCBCB a a a ax x x x adxadxadxadx 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a a a a a ax x x x dxdxdxdx a a a a a a a a y y y ya a a a dydydydy a a a a 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 积分 积分 到到顺时针从顺时针从能否沿能否沿 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 B B B BA A A Aa a a ay y y yx x x x 积分 积分 到到从从能否沿能否沿 B B B BA A A AOBOBOBOBAOAOAOAO 问 问 问 问 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到从从上上 为星形线为星形线求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解 2 2 2 2 P P P P xyxyxyxy yyyyyyyy Q Q Q Q yxyxyxyx xxxxxxxx 2 2 2 2 xyxyxyxyy y y yx x x xP P P P Q xyyxQ xyyxQ xyyxQ xyyx 例例例例5 5 5 5 其中其中 具有连续的导数具有连