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1 理科 高等数学 上 综合练习题理科 高等数学 上 综合练习题 一 选择题一 选择题 答案已填 1 函数 fx在 0 xx 处有定义是 0 xx 时 fx有极限的 A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 无关条件 2 设 2 320 20 xx f x xx 则 0 lim x fx A 2 2 C 1 0 3 设 0 0 21 1 xk xx xf x 在点0 x连续 则 k A 1 2 e C e 1 D 1 4 当0 x 时 下列变量为无穷小量的是 A ln sin x B 1 cos x C 1 sin x 2 1 x e 5 设 xf 0 0 0 1 sin x x x x 则 xf在0 x处 A 不连续 B 连续 C 可导 D 可微 6 已知 9lim x x ax ax 则a A 1 B C ln3 D 2ln3 7 0 lim cot2 x xx A 1 2 B 0 C 2 D 8 设 sin 0 00 1 cos0 x xx x fxx xx x 则0 x 是 xf的 A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 振荡间断点 9 函数在点 0 x处连续是在该点可导的 B A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 10 设 2yfx 则 y D 2 A 2fx B 2fx C 2fx D 22fx 11 设曲线2 2 xxy在点M处的切线斜率为 3 则点M的坐标是 A 0 1 B 1 0 C 0 0 D 1 1 12 设 xf是可导函数 且1 2 lim 00 0 h xfhxf h 则 0 x f 为 D A 1 B 0 C 2 D 2 1 13 f x d e A fx dx B f x f x edx C f x edx D f x fx edx 14 设 4 3 2 1 xxxxxf 则方程0 x f实根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 15 已知 f ag a 且当xa 时 fxgx 则当xa 必有 A A fxg x B fxg x C fxg x D 以上结论都不成立 16 函数 xf在 0 x处取极大值 则必有 D A 0 0fx B 0 0fx C 0 0fx 0 0fx D 0 0fx 或 0 fx不存在 17 已知0 x 时 1 2 2 11ax 与1 cosx 为等价无穷小 则a B A B C D 18 设 xf在0 x的邻域内可导 且 0 0 0 lim1 x fx f x 则 A 0 f是 xf的极大值 B 0 f是 xf的极小值 C 0 f 是 xf的极大值 D 0 f 是 xf的极小值 19 下列等式成立的是 D A dfx dxfx B d f x dxf x dx dx C d f x dxf xC dx D df x dxf x dx 20 若 fx的导函数是sinx 则 fx有一个原函数是 A 1 sin x B 1 sin x C 1cosx D 1 cosx 21 若 2 f x dxxC 则 2 1 xfx dx D 3 A 2 2 2 1xC B 2 2 2 1xC C 2 2 1 1 2 xC D 2 2 1 1 2 xC 22 设 fx连续 则 3 fx dx A A 1 3 3 fxC B 1 3 fxC C 33fxC D 3f xC 23 求不定积分dx ax 22 1 可采用的三角变换是 C A taxsin B taxcos C taxtan D taxsec 24 设 xF是函数 xf的一个原函数 则 dxxf A CxF B CxF C FxC D xF 25 2 0 4 sin xdx D 4 B 6 C 8 D 16 3 26 2 2 sin 1 xxdx x B C D 27 设 3 f xxx 则 2 2 f x dx A B C D 2 0 2fx dx 28 设函数 xf在区间 a b上连续 则 bb aa f x dxf t dt A 小于零 B 等于零 C 大于零 D 不确定 29 设 xf在区间 0 1上连续 令2tx 则 1 0 2fx dx 2 0 f t dt B 1 0 1 2 f t dt C 2 0 2f t dt D 2 0 1 2 f t dt 30 设 2 0 x x f t dta 则 f x 2 2 x a B 2 ln x aa C 21 2 x xa D 2 2ln x aa 31 积分 dxxe x 0 2 C A 1 B 2 C 2 1 D 4 32 设 2 x a x F xf t dt xa 其中 f t连续 则 lim xa F x A 2 a B 2 a f a C D 不存在 4 二 填空题二 填空题 1 函数 xf 1ln 2 xx 为 填奇 偶 非奇 非偶 函数 2 在 充分 必要 和 充分必要 三者中选择一个正确的填入下列空格内 1 xf当 0 xx 时 的 右 极 限 0 xf及 左 极 限 0 xf都 存 在 且 相 等 是 xf xx 0 lim 存 在 的 条件 2 数列 n x有界是数列 n x收敛的 条件 数列 n x收敛是数列 n x有界的 条件 3 xf 在点 0 x可导是 xf 在点 0 x连续的 条件 xf 在点 0 x连续是 xf 在点 0 x可导 的 条件 4 xf 在点 0 x可导是 xf 在点 0 x可微的 条件 3 当0 x时 xxxsin 6sin 2 与x7sin比较是 填 高阶 低阶 同阶 无穷小 4 若4 3 2 lim 2 3 x kxx x 则k 5 2sin 6tan lim 0 x x x 6 若 0 1 1 lim 2 bax x x x 则 ba 7 设 k 函数 k e x xxf ln在 0内零点的个数为 27 1 2 x x xf的连续区间是 28 设 0 sin xxy x 则dy 29 4 3 lim 2 3 x baxx x 则 ba 30 若 2 1sintan lim 0 p x x xx 则 p 31 要使 x xx xf 11 在0 x处连续 则应定义 0 f 32 设 xF是函数 xf的一个原函数 则 dxxf 33 已知函数 0 0 cos 2 xa xx xf x 在0 x连续 则 a 34 设 221 nnxxxxxfL则 0 f 35 设常数0 k 函数 k e x xxf ln在 0内零点的个数为 36 函数 xf在 ba 上有界是 xf在 ba 上可积的 条件 而 xf在 ba 上连续是 xf在 ba 6 上可积的 条件 37 对 a上非负 连续的函数 xf 它的变上限积分 x a dttf在 a上有界是反常积分 a dxxf 收敛的 条件 38 函数 xf在 ba 上有定义且 xf在 ba 上可积 此时积分 b a dxxf 存在 填一定 不一 定 填空题答案填空题答案 1 奇 2 1 充分必要 2 必要 充分 3 充分 必要 4 充分必要 3 同阶 4 3 5 2 3 6 1 1 7 2 8 e 1 9 2 1 e 10 2 e 11 1 12 9 13 3 14 cos sin yxe yye x x 15 A 16 0 2 17 5 18 2 2sin 2 nx n 19 0 2 20 sin xex 21 1 22 2 23 2 9 2 3 24 2 25 2 2 a 26 2 27 21 28 dx x x xxxdy x sin ln cos sin 29 3 2 30 3 31 1 23 CxF 33 1 34 n 35 2 36 必要 充分 37 充分必要 38 不一定 三 计算题三 计算题 计算下列极限与积分 1 lim 1 ln 1 ln n nnn 2 320 sin lim 11 1 sin1 x xtgx xx 3 2 0 lim sin x tgxx xx 4 2 0 1 lim sin x x ex x 5 1 1 lim 1ln x x xx 6 0 3sin3 lim 2 1 cos x xx xx 7 1 limlnln 1 x xx 8 x x x1 arctan 2 lim 1 xx dx ee 10 1 12 dx x 11 lnxxdx 12 2t tedt 13 arctgxdx 14 cosxdx 15 3 x edx 16 6 1 4 dx x x 17 sin x x 是 f x的一个原函数 求 xfx dx 18 计算 0 3 0 sin lim x x ttdt x 19 计算 1 1 1 f xdx 其中 3 3 01 4 12 xx f x xx ff 故极大值 1 10f 极小值 3 22f 由 0fx 得1 x 在1 x左右 x f 变号 知 1 6 为拐点 12 1 3 2 3 x x xf 令02 2 xxxf 2 0 xx是驻点 22 xxf 02 0 f 3 1 2 f是极小值 13 13 3 2 3 xx x xf 令032 2 xxxf 3 1 xx是驻点 易得8 3 f是极小值 3 8 1 f是极大值 14 极大值 0 0 f 极小值 3 25 4 5 3 5 2 f 注意 不可导点0 x不要漏掉 15 2 3 36 1 x x xf 3 3 3 36 x x xf 4 3 6 72 x x xf 令0 x f 得 3 x为驻点 0 3 S 故 2 1 k时S最小 五 证明题五 证明题 1 利用极限存在的夹逼准则证明 222222 111 lim0 2 n nenenne L o y x x 1 1 kxxy k 2 s 1 s 12 2 设 1231 2 22 222 2 nn xxxxx LL 证明 n n x lim存在 并求之 3 专科不考查 证明方程019 3 xx恰有三个实根 4 证明 当 1x 时 恒有 2 2 2arctanarctan0 1 x x x 5 证明方程sin10 xx 在开区间 2 2 内至少有一个根 6 当 2 0 成立 7 专科不考查 若函数 f x在 a b内具有二阶导数 且 f cf df e 其中acdeb 0 x 时 有 1 1 a xax 10 专科不考查 设0 ba 1 n 证明 11 nnnn nbababnaab 11 设 xf在 ba 上连续 试证 bb aa f x dxf abx dx 12 证明 dxxxdxxx mnnm 1 1 1 0 1 0 m n为自然数 证明题答案证明题答案 1 证证 因为 22222222 111 2 n nnenenenne L 22 n ne 且 2222 limlim0 nn nn nnene 根据夹逼准则有 222222 111 lim0 2 n nenenne L 2 证证 先证数列 n x有界 1n 时 1 22x 假定nk 时 2 k x 当1nk 时 1 22 kk xx 故2 n x 再证数列 n x单调增加 因为 1 2 nnnn xxxx 2 2 2 1 22 nnnn nnnn xxxx xxxx 由02 n x 即 1nn xx 从而数列 n x极限存在 令lim n n xA 可得 2 2AA 即2A 从而lim2 n n x 3 证法证法 1 令 19 3 xxxf 则 3 3 2 xxf 显然当 3 3 x时 0fx x f 即当 3 3 x时 xf单调递减 当 3 3 xx或时 单调递增 xf 又因0 4 0 3 0 3 0 3 ffff 13 那么在 3 3 由闭区间上连续函数的零点定理知0 xf恰有一个实根 同理可证在 3 3 上 0 xf恰有一个实根 在 4 3 上0 xf恰有一个实根 而当 3 x时 0 xf 故0 xf在 3 与 4 中没有实根 从而方程019 3 xx恰有 三个实根 证法证法 2 令 3 91f xxx 则 xf连续 因 09 1 01 3 ff 零点定理知 方程在 4 0 0 1 1 3 内各至少有一根 又 xf是三次多项式 至多有三个根 综上可知 方程019 3 xx恰有三个实根 4 证证 令 2 2 2arctanarctan 1 x f xx x 则 22 2222 22 212 1 4 0 41 1 1 1 xx fx xxx x 从而可知 xf为一常数 又因 0 0f 故 2 2 2arctanarctan0 1 x x x 5 证证 令 sin1f xxx 显然 xf在区间 2 2 上连续 0 22 f 根据零点定理知方程sin10 xx 在开区间 2 2 内至少有一个根 6 证证 令 xfxxx2tansin 当 2 0 fxf 即xxx2tansin 7 证证 由已知 xf在区间 c d上连续 在 c d内可导 根据 Roll 定理 存在 1 c d 使得 1 0f 同样 xf在区间 d e上连续 在 d e内可导 根据 Roll 定理 存在 2 d e 使得 2 0f 因为函数 f x在 a b内具有二阶导数 根据 Roll 定理 至少存在一点 12 a b 使 0f 8 证 证 0 x时显然成立 令 xf 2 1 2 xe x 则0 0 f xf在 0 连续 当0 x时 1 2 2 x exxf 0 故 xf为增函数 从而0 0 fxf 即 2 1 2 xe x 9 证证 令 xf 1 1 a xax 则 1 1 1 a fxax 当1a 0 x 时 有 0fx 故 0 0f xf 即 1 1 a xax 10 证 证 作函数 n xxf 则 xf在区间 ab上连续 在 ab上