北京交通大学 大学物理学_下册_课后习题答案.pdf

1 新教材下册习题解答 教师用 第 12 章 12 1 一个封闭的立方体形的容器 内部空间被一导热的 不漏气的 可移动的隔板分为两部 分 开始其内为真空 隔板位于容器的正中间 即隔板两侧的长度都为l0 如图 12 30 所示 当两侧各充以p1 T1与p2 T2的相同气体后 问平衡时隔板将位于什么位置上 即隔板两侧的 长度之比是多少 解 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧 T pV T Vp 1 1 1 得 T pT Vp V 1 1 1 右侧 T pV T Vp 2 2 2 得 T pT Vp V 2 2 2 12 21 2 1 Tp Tp V V 即隔板两侧的长度之比 12 21 2 1 Tp Tp l l 12 2 已知容器内有某种理想气体 其温度和压强分别为T 273K p 1 0 10 2atm 密度 32kg m 1024 1 求该气体的摩尔质量 解 nkTp 1 nm 2 A mNM 3 由以上三式联立得 123 52 23 2 028 0 10022 6 10013 1 100 1 2731038 1 1024 1 molkgN p kT M A 12 3 可用下述方法测定气体的摩尔质量 容积为V的容器内装满被试验的气体 测出其压力 为p1 温度为T 并测出容器连同气体的质量为M1 然后除去一部分气体 使其压力降为p2 温度不变 容器连同气体的质量为M2 试求该气体的摩尔质量 解 VV 22 pT 21 MM V 1 pT 1 MV 2 pT 2 M 221 VpVp 1 RT M MM VVp 21 2 2 2 图12 30 习题12 1图 0 l 0 l 2 1 2 式联立得 Vpp RTMM V p Vp p RTMM M 21 21 2 1 2 21 12 4 在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约10 14atm 即约为10 10mmHg的压强 试问 在室温 300K 下在这样的 真空 中每立方厘米内有多少个分子 解 由nkTp 得 35311 23 514 1045 2 1045 2 1038 1 300 10013 1 10 cmm kT p n 12 5已知一气球的容积V 8 7m3 充以温度t1 15 0C的氢气 当温度升高到 37 0C时 维持其气压 p及体积不变 气球中部分氢气逸出 而使其重量减轻了0 052kg 由这些数据求氢气在0 0C 压 力p下的密度 解 Vp 1 tmVp 2 t VV 2 p 2 tm 3 Vp 3 tm 由 2 2 1 t V t V 1 m m VV V 2 2 2 3 3 1 t V t V 3 3 V m 4 由以上四式联立得 32 3 1 12 2 109 8 15 2737 8 15 288 052 0 22 15 310 mkg Vt t m tt t 12 6 真空容器中有一氢分子束射向面积 2 cm0 2 S的平板 与平板做弹性碰撞 设分子束中 3 分子的速度 13 sm100 1 v 方向与平板成 60 夹角 每秒内有 23 100 1 N个氢分子射向 平板 求氢分子束作用于平板的压强 2 9 10 3Pa 解 A N M m Pa S Nm S F p 3 234 3323 0 109 2 10022 6 100 2 2 3 100 1102102 60sin2 v 12 7 下列系统各有多少个自由度 在一平面上滑动的粒子 可以在一平面上滑动并可围 绕垂直于该平面的轴转动的硬币 一弯成三角形的金属棒在空间自由运动 解 1 2 2 3 3 6 12 8 容器内贮有氧气 其压强Pa101 013atm1 5 p 温度t 27 0C 求 1 单位体积内的分 子数 2 分子的质量m 3 氧气的密度 4 分子的方均根速率 5 分子的平均平动能 6 在此温度下 4g氧的内能 解 1 由nkTp 得 325 23 5 1045 2 15 3001038 1 10013 1 m kT p n 2 kg N M m A 26 23 3 1031 5 10022 6 1032 3 32625 30 1 1031 5 1045 2 mkgnm 4 12 3 2 1084 4 1032 15 30031 8 33 sm M RT v 5 JkT k 2123 1021 6 15 3001038 1 2 3 2 3 6 JRT M m 2 1079 7 15 30031 8 2 5 32 4 2 5 12 9 mol 氢气 在温度27 0C 时 求 具有若干平动动能 具有若干转动动能 温度每 升高10C时增加的总动能是多少 解 1 JRT 3 1 1074 3 15 30031 8 2 3 2 3 2 JRT 3 2 1049 2 15 30031 8 2 2 3 JR8 20 2 5 12 10 试求1mol 氢气分别在0 和500 时的内能 4 解 JRT 3 11 1067 5 15 27331 8 2 5 2 5 JRT 4 22 1061 1 15 77331 8 2 5 2 5 12 11 1 求在相同的T p条件下 各为单位质量的 H2气与 He 气的内能之比 2 求在相同的 T p条件下 单位体积的 H2气与 He 气的内能之比 解 1 RTEH 2 5 102 1 3 2 RTE e H 2 3 104 1 3 3 10 2 e H H E E 2 由nkTp 相同的T p条件 可知 e HH nn 2 kTnE HH 2 5 22 kTnE ee HH 2 3 3 5 2 e H H E E 12 12 设山顶与地面的温度均为 273K 空气的摩尔质量为 0 0289kg mol 1 测得山顶的压强是 地面压强的 3 4 求山顶相对地面的高度为多少 解 依题意有 34 0 pp由气压公式有 m p p g RT h 30 1030 2 3 4 ln 81 9 0289 0 27331 8 ln 12 13 求速率大小在 p v与 1 01 p v之间的气体分子数占总分子数的百分率 解 速率间隔在 pp 1 01v v 即 p vv01 0 1 p W v v 01 0 p W v v 在 pp vv01 1 间隔的分子数占总分子数的百分数为 83 0 4 2 2 WeWWWf N N W 12 14 求 00C的氢气分子和氧气分子的平均速率 方均根速率和最概然速率 解 氢气分子相对应的各种速率为 5 13 3 1071 1 102 15 27331 8 60 1 60 1 sm M RT v 13 3 2 1084 1 102 15 27331 8 73 1 73 1 sm M RT v 13 3 1050 1 102 15 27331 8 41 1 41 1 sm M RT p v 由于三种速率均与分子的摩尔质量平方根成反比 4 1 2 2 o H M M 所以氧气分子的三种速率为氢气分子相应速率的四分之一 12 1026 4 sm ov 122 1061 4 sm o v 12 1076 3 sm o p v 12 15 如图12 31所示 两条曲线分别表示氧气和氢气在同样温度下的速率分布曲线 试问哪 条曲线对应氧 氢 气的分布曲线 氧气和氢气的最概然速率各是多少 方均根速率各是多 少 解 由 M RT p 2 v可知 温度相同时 p v与M成反比 又由图可知 12pp vv 因此 可得 21 MM 所以 1 为氧气的速率分布曲线 2 为氢气的速率分布曲线 2 2 2 2 HM OM O H p p v v 1 2 500 smO p v 1 2 2 2 2 2000 2 32 500 smO HM OM H pp vv 由 M RT3 2 v M RT p 2 v得 p vv 2 3 2 1 2 2 612500 2 3 smOv v m s o 500 图12 31 习题12 14图 6 1 2 2 24502000 2 3 smHv 12 16 设质量为m的N个分子的速率分布曲线如图 12 32 所示 1 由N和 0 v求a值 2 在速率2 0 v到 3 0 v 2 间隔内的分子数 3 分子的平均平动能 解 1 在区间内 0 0v v v v 0 a Nf 在区间内 00 2 vv aNf v 在区间内 0 2 0v 分子总数为N 0 2 0 2 0 0 2 0 2 3 2 0 0 0 00 0 vv v v vvv v v v v vv v aa a add a N 0 3 2 v N a 2 Naa a add a N 12 7 8 7 2 0 2 3 2 2 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 vv v v vvv v v v v v v v v v 0 3 vvvv v df 0 2 0 22 2 0 2 0 2 0 0 2 2 0 22 36 31 9 14 6 1 2 111 2 1 2 100 0 vvvvvvv v vv vv v mmad N d a N mm 12 17 设N个粒子系统的速度分布函数为 0 0 d d 0 0 vv vvv 为常量KK Nv 画出分布函数图 用N和v0定出常数K 用v0表示出平均速率和方均根速率 解 1 vNf K O v o 图 12 32 习题 12 15 图 7 0 vv 2 0 0 0 vv v KKdN 0 v N K 3 2 11 0 0 0 0 0 00v vv v v v v vv dd N N v 00 2 54 0 32 3 8 3 vvvv 12 18 试从麦克斯韦速率分布律出发推写出如下分布律 a 以最概然速率 m kT p 2 v作为 分子速率单位的分子速率 p x v v 的分布律 b 分子动能 2 2 1 vm k 的分布律 并求出最概 然动能 kp 它是否就等于 2 2 1 p mv 解 麦克斯韦速率分布律 2 2 2 3 2 2 4vv v kT m e kT m f a m kT p 2 v p x v v 2 2 2 4 x ex kT m xf b 2 2 1 vm k k kT k k e kT m f 2 3 1 2 4 01 1 2 4 2 3 kT e kT m d f k kT k k k 得 01 kT k 2 2 1 pkp mkTv 12 19 设容器内盛两种不同单原子气体 原子质量分别为m1和m2的此混合气体处于平衡状态 时内能相等 均为U 求这两种气体平均速率 1 v和 2 v的比值以及混合气体的压力 设容器体 积为V 8 解 RT M m U 2 3 1 RT M m U 2 3 2 得 2 1 M m M m 2 1 M M m m 1 1 8 m kT v 2 2 8 m kT v则 1 2 2 1 m m v v RTpV RT U M m M m M m 3 4 2 1 2 1 得 V U V RT RT U p 3 4 3 4 12 20 求在标准状态下一秒内分子的平均自由程和平均碰撞次数 已知氢分子的有效直径为 2 0 10 10m 解 325 23 5 1069 2 15 2731038 1 10013 1 m kT p n m nd 7 25 2 10 2 1009 2 1069 2 100 22 1 2 1 13 3 1070 1 102 15 27331 8 88 sm m RT v 19 7 3 1013 8 1009 2 1070 1 sz v 12 21 在足够大的容器中 某理想气体的分子可视为d 4 0 10 10m 的小球 热运动的 平均速 率为 2 100 5 vm s 分子数密度为n 3 0 1025 m3 试求 1 分子平均自由程和平均碰撞 频率 2 气体中某分子在某时刻位于 P 点 若经过与其他分子N次碰撞后 它与 P 点的距离 近似可表为 NR 那么此分子约经多少小时与 P 点相距 10 米 设分子未与容器壁碰 撞 解 1 m nd 8 25 2 10 2 107 4 100 3100 42 1 2 1 110 8 2 1006 1 107 4 100 5 sz v 2 NR 9 hR R z N t1182 107 4100 5 1 100 1 82 2 2 12 22 设电子管内温度为300K 如果要管内分子的平均自由程大于10cm时 则应将它抽到多 大压力 分子有效直径约为 3 0 10 8 cm 解 nd 2 2 1 若使cm10 319 2 10 2 105 2 1 0100 32 1 2 1 m d n 需使 319 105 2 mn PankTp1 03001038 1 105 2 2319 即需使Pap1 0 12 23 计算 在标准状态下 一个氮分子在1s内与其他分子的平均碰撞次数 容积为4L的 容器 贮有标准状况下的氮气 求1s内氮分子间的总碰撞次数 氮分子的有效直径为 3 76 10 8 cm 解 1 z 325 23 5 1069 2 15 2731038 1 10013 1 m kT p n m nd 8 25 2 10 2 109 5 1069 2 1076 3 2 1 2 1 12 3 1054 4 1028 15 27331 8 88 sm M RT 19 8 2 107 7 109 5 1054 4 sz 2 mol V V mol 179 0 4 22 4 A NN 132923 103 8107 710022 6 179 0 szNzNz A 12 24 实验测知0 0C 时氧的粘滞系数 s g cm1092 1 4 试用它来求标准状态下氧分 子的平均自由程和分子有效直径 10 解 3 1 M RT 8 nm 其中 kT p n A N M m 得 RT pM 所以 m M RT pRT M pM RT 8 35 5 105 9 10328 15 27331 8 10013 1 1 1092 1 3 8 1 3 8 3 pd kT nd 22 22 1 m p kT d 10 85 23 100 3 105 910013 1 2 15 2731038 1 2 12 25 今测得氮气在 0 0C 时的导热系数为 23710 3 W mK 11 计算氮分子的有效直径 已知氮的分子量为 28 解 M CVM 3 1 RCVM 2 5 RT pM nm m R MT pR M RT M pM RT 7 3 5 3 1069 1 31 8 8 15 2731028 10013 1 1 107 23 5 6 8 1 5 6 5 2 8 3 pd kT nd 22 22 1 m p kT d 10 75 23 102 2 1069 1 10013 1 2 15 2731038 1 2 12 26 在27 0C 时 2mol 氮气的体积为0 1L 分别用范德瓦耳斯方程及理想气体状态方程计算 其压强 并比较结果 已知氮气a 0 828atm L2 mol 2 b 3 05 10 2 L mol 解 RTpV Pa V RT p 7 3 1099 4 101 0 15 30031 8 2 RTbV V a p 2 2 11 p 0 p 0 2p 0 V 0 2VV a c b Pa V a bV RT p 7 2 5 322 2 1044 9 1 0 10013 1 828 0 4 101005 3 21 0 15 30031 8 2 第 13 章 13 1 1 理想气体经过下述三种途径由初态I 2p0 V0 变到终态 p0 2V0 试计算沿以下每 一路径外界对气体所作的功 a 先从V0到2V0等压膨胀然后等体积降压 b 等温膨胀 c 先以V0等体积降压到p0后再等压膨胀 2 对1mol的范氏气体重复以上三个过程的计算 答案 1 a 2p0V0 b 2p0V0ln2 c p0V0 2 a 2p0V0 b 00 0 0 2 0 0 2 ln V a bV bV bV V a p c p0V0 解 1 a 00000 2 222 0 0 VpVVppdVA V V b 2 00 2 22 ln2ln 0 0 0 0 VpRTdV V RT pdVA V V V V c 00000 2 2 0 0 VpVVppdVA V V 2 范德瓦尔斯方程 RTbV V a p mol mol 2 a 00 2 2 0 0 VppdVA V V b 00 0 0 2 0 0 00 2 2 2 2 2 2 ln2 2 ln 0 0 0 0 0 0 V a bV bV bV V a p V a V a RTdV V a bV RT pdVA bV bV V V V V c 00 2 0 0 VppdVA V V 13 2 由如图13 40所示 一系统由状态a沿acb到达状态b 吸热量80Cal 而系统做功126J 12 经adb过程系统做功42J 问有多少热量传入系统 当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时 外界对系统做功为84J 试问系统是吸热还是放热 热量是多少 解 1Cal 4 2J 1 AEQ JQ3362 480 JAQE210126336 所以经 adb 过程传入系统的热量 JAEQ25242210 1 2 JA84 029484210 解 21 2 112 1 2 1VV cdV V c pdVW V V V V 由理想气体状态方程 RTpdV 得 RTV V c 2 RT V c 可知 1 2 2 1 V V T T 因为 12 VV 所以 21 TT 即气体的温度降低 13 81mol氢 在压强为1 0 105Pa 温度为20oC时体积为 0 V 今使它分别经如下两个过程达 到同一状态 1 先保持体积不变 加热使其温度升高到 80oC 然后令它等温膨胀使体积变为原 来的 2 倍 2 先等温膨胀至原体积的 2 倍 然后保持体积不变加热至 80oC 试分别计算以上 两种过程中吸收的热量 气体做的功和内能的增量 并作出p V图 答案 Q2 2933J A 1687J U 1246J 解 16 1 定容过程 JA0 JRTCQE mVV 50 12462080 2 5 等温过程 JE0 JRT V V RTQA T 16 20342ln8015 27331 8 2lnln 1 2 JQ66 3280 总 JA16 2034 总 JE50 1246 总 2 等温过程 JE0 JRTQA T 56 16882ln15 29331 82ln 定容过程 JA0 JRTCQE mVV 50 12462080 2 5 JQ06 2935 总 JA56 1688 总 JE50 1246 总 13 9 某单原子理想气体经历一准静态过程 压强 T c p 其中c为常量 试求此过程中该气 体的摩尔热容Cm 答案 Cm 7 2 R 解 由理想气体状态方程RTpV 其中 T c p 得 2 T c R V dT c RT dV 2 根据热力学第一定律 AEQ TRRdT c RT T c TRpdVTCQ mV 2 2 32 2 3 则可得 R T Q Cm 2 7 17 13 10 为了测定气体的 C C p V 可用下列方法 一定量的气体初始温度 压强和体积分别 为T0 p0和V0 用通有电流的铂丝对它加热 第一次保持气体体积V0不变 温度和压强各变为 T1和p1 第二次保持压力 p0不变 温度和体积各变为T2和V1 设两次加热的电流和时间都相同 试证明 pp V VVp 100 100 解 过程1为定容过程 V 不变 01 TTCTCQ VV 由理想气体状态方程得 000 RTVp R Vp T 00 0 101 RTVp R Vp T 01 1 即 001 Vpp R C Q V 1 过程2为定压过程 p不变 02 TTCTCQ pp 由理想气体状态方程得 R Vp T 10 2 即 001 pVV R C Q p 2 由 1 2 式即证得 001 001 pVV Vpp C C V p 13 11 气缸内有单原子理想气体 若绝热压缩使其容积减半 问气体分子的平均速率变为原 来速率的几倍 若为双原子理想气体 又为几倍 答案 1 26 1 15 解 由理想气体绝热方程 常量 TV 1 得 2 1 21 1 1 TVTV 1 2 1 1 2 V V T T 其中 12 2 1V V 1 1 2 2 T T 又由 M RT 8 可知 2 1 1 2 1 2 2 T T 18 V p O 1 p 2 p 1 V 2 V a b c 绝热 单原子理想气体 R 3 5 则 26 1 23 1 1 2 双原子理想气体 R 5 7 则 15 1 25 1 1 2 13 12 一定量的理想气体经历如图 13 43 所示的循环 其中AB CD是等压过程 BC DA是绝 热过程 A B C D点的温度分别为T1 T2 T3 T4 试证明此循环效率为 2 3 1 T T 解 等压过程AB 吸热 121 TTCQ p 等压过程CD 放热 432 TTCQ p BC DA是绝热过程0 Q 12 43 1 2 1 11 TT TT Q Q Q A 利用绝热方程常量 Tp 1 得 3 1 22 1 1 TpTp 3 1 1 2 2 T p p T 4 1 21 1 1 TpTp 4 1 1 2 1 T p p T 2 3 1 1 2 11 T T p p 13 13 设有一理想气体为工作物质的热机循环 如图 13 44 所示 试证明其效率为 1 1 1 21 21 pp VV 解 ba 为等体升温过程 吸热 abmV TTCQ 1 ac 为等压压缩过程 放热 acmp TTCQ 2 p V O A D C B 图 13 43 习题 13 12 图 19 V E C A B V2 V1 D p V O 图 13 45 习题 13 14 狄赛尔循环 abmV acmp TTC TTC Q Q 1 2 11 利用理想气体状态方程RTpV 得 2221 11 VpVp R VpVp R TT aabbab 循环效率为 1 1 11 21 21 2221 2212 pp VV VpVp VpVp 13 14 有一种柴油机的循环叫做狄赛尔循环 如图13 45所示 其中BC为绝热压缩过程 DE为 绝热膨胀过程 CD为等压膨胀过程 EB为等容冷却过程 试证明此循环的效率为 1 1 1 2 1 2 1 2 V V V V VV 解 CD为等压膨胀过程 吸热 CDp TTCQ 1 EB为等容冷却过程 放热 BEV TTCQ 2 循环效率 CD BE TT TT Q Q 1 11 1 2 利用理想气体状态方程RTpV 得 BBEEBE VpVp R TT 1 CCDDCD VpVp R TT 1 2 1 1 1 1 1 VVp ppV VpVp VpVp C BE CCDD BBEE 利用绝热方程 常量 pV 得 EEDD VpVp ED p V V p 1 2212 11 VpVp R VpVp R TT aaccac 20 V1 V2 V3 2 1 3 45 p V O 图13 46 习题13 16图 BBCC VpVp BC p V V p 2 1 由 CD pp 得 2 V V p p B E 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 V V V V VV V V V V p p p p VV p p p p V B C B E B C B E 13 15 1mol 理想气体在 400K 300K 之间完成一卡诺循环 在 400K 的等温线上 起始体积为 0 001 m3 最后体积为 0 005 m3 试计算气体在此循环中所作的功 以及从高温热源吸收的 热量和传给低温热源的热量 答案 A 1 24 103J Q2 4 01 103J 解 J V V RTQ 3 1 2 11 1035 5 ln 该循环效率为 25 400 300 11 1 2 T T 可得JQA 3 1 1034 1 由 21 QQA 得 JAQQ 3 12 1001 4 13 16 1mol 刚性双原子分子理想气体 作如图 13 46 所示的循环 其中 1 2 为直线 2 3 为绝热 线 3 1 为等温线 且已知 450 T1 300K T2 2T1 V3 8V1 试求 1 各分过程中气体做功 吸热 及内能增量 2 此循环的效率 解 1 21 由理想气体状态方程可得 111 RTVp 222 RTVp 又由图可知 11 Vp 22 Vp 1 2 1 RTV 11 RTV 1 2 2 2RTV 12 2RTV 12 2VV JRTTCE V 5 6232300 2 5 12 JRTVVVdVpdVA V V V v 5 1246 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 JAEQ7479 吸热 32 21 OQ AE 利用绝热方程 pVVp 22 得 1 3322 22 3 2 3 2 VpVp V dV VppdVA V V V V 3322 VpVp 2 3 2 3 p V V p J RT VVVp V V Vp A5 6232 1 5 7 8 2 12 1 8 2 1 2 8 1 5 7 12 2 1 2 2 22 3 2 22 13 0 EAQ J V V RTA51848ln30031 8 ln 1 3 1 JQ5184 放热 2 循环效率 7 30 7479 5184 11 1 2 Q Q 13 17 0 1mol单原子理想气体 由状态 经直线AB所表示的过程到状态B 如图13 47所示 已知VA 1L VB 3L pA 3atm 1 试证A B两状态的温度相等 2 求AB过程中气体吸收的热 量 3 求在AB过程中 温度最高的状态C的体积和压力 提示 写出过程方程T T V 4 由 3 的结果分析从A到B的过程中温度变化的情况 从A到C吸热还是放热 证明QCB 0 能 否由此说从C到B的每个微小过程都有 Q 0 解 1 由理想气体状态方程 得 AAA RTVp BBB RTVp 又由已知条件可知 BBAA VpVp 即证 BA TT 2 0 ABV TTCE p atm 3A 1B 013V L 图13 47 习题13 17图 22 JpdVA 253 10052 4 10013 1 10222 2 1 JAQ 2 10052 4 3 由理想气体状态方程RTpV 得 R pV T 又由图可知 4 Vp即 VV R T4 1 2 由极值条件 0 dV dT 得042 V 即当LV2 atmp2 时T取到极大值 4 由 3 可知 BA 过程中温度T满足函数 VV R T4 1 2 CA 过程中温度升高 到达C点时取得极大值 BC 过程中温度降低 到达点时温度又回到A点时的值 CA 过程 0 ACV TTCE 0 A 0 AEQ 吸热 dAdEdQ dVVV R CdTCdE VV 6342 1 dVVpdVdA4 dVVdQ104 即证 0104 3 2 dVVQ L L CB 但不能说从C到B的每个微小过程都有 0 Q 13 18一台家用冰箱放在气温为300K的房间内 做 盒 13 的冰块需从冷冻室中吸出 2 09 105J的热量 设冰箱为卡诺制冷机 求 1 做一盒冰块所需之外功 2 若此冰箱能以2 09 102J s 1的速率取出热量 求所要求的电功率是多少瓦 3 做一盒冰块所需之时间 解 1 卡诺循环制冷系数 21 22 TT T A Q e 23 a b c p V O a b c d V O p 代入数据得5 6 260300 260 e J e Q A 4 5 2 1022 3 5 6 1009 2 2 W e P P2 32 5 6 1009 2 2 3 hs P Q t28 0 10 1009 2 1009 2 3 2 5 2 13 19 以可逆卡诺循环方式工作的致冷机 在某种环境下它的致冷系数为w 30 在同样的环 境下把它用作热机 问其效率为多少 答案 2 3 解 卡诺循环制冷系数 A Q w 2 得 wAQ 2 卡诺热机循环效率 1 Q A 且 AQQ 21 2 3 301 1 1 1 1 wAw A 13 20 根据热力学第二定律证明 1 两条绝热线不能相交 2 一条等温线和一条绝热线不能 相交两次 解 1 假设两条绝热线可以相交 如图所示 ab为等温线bc ac为绝热线 此循环过程中 AQ 1 即热全部转化为功 这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾 所以 即证得 两条绝热线不能相交 2 假设一条等温线和一条绝热线可以两次相交 如图所示 ab为等温线cd为绝热线 此循环过程中 AQ 1 即热全部转化为功 这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾 即证 24 13 21 一杯质量180g温度为100 0C的水置于270C的空气中 冷却到室温后水的熵变是多少 空气的熵变是多少 总熵变是多少 答案 164J K 233J K 69J K 解 熵变的定义 T dQ S 热量的计算公式 mcdTQ 1 1 2 165 300 373 ln22 4 180ln 2 1 KJ T T mcdT T mc T dQ S T T 水 1 2 21 2 185 300 7322 4 180 KJ T TTmc T Q T dQ S空气 1 20165185 KJSSS 空气水总 13 22 1mol理想气体经一等压过程 温度变为原来的2倍 该气体的定压摩尔热容为Cp m 求此 过程中熵的增量 答案 2ln p CS 解 2ln 2 1 2 1 p T T p T T p C T dT C T dTC S 13 23 一房间有N个分子 某一宏观态时其中半个房间的分子数为n 写出这种分布的熵的表达式S kln n 0状态与n N 2状态之间的熵变是多少 如果N 6 1023 计算这个熵差 解 1 根据玻耳兹曼熵的表达式WkSln 得 N N n N ke N knWkS A N N n A 2 2 2 2 2 2 ln 2 lnln 2 2 熵的变化 k N N N N k N kSSS AA N 2 2 2 2 ln 2 ln 2 0 2 3 23 106 N 时 熵差为 1 2323 14 4 2 1038 1 106 KJS 25 第 14 章 14 1 作简谐运动的质点 速度最大值为 3cm s 振幅A 2cm 若速度为正最大值时开始计 时 1 求振动的周期 2 求加速度的最大值 3 写出振动的表达式 解 1 由2 m AA T v 可得 2 20 02 0 034 2 m TAs v 2 22222 0 03 0 024 5 10 mm aAAm s v 3 由于0t 时 m vv 可知 2 而 1 0 03 0 021 5 m s A v 所以有 cos 0 02cos 1 5 2 xAtt 14 2 一水平弹簧振子的振幅A 2cm 周期T 0 50s 当t 0 时 1 物体过x 1cm 处且向负方向 运动 2 物体过x 1cm 处且向正方向运动 分别写出以上两种情况下的振动表达式 解 1 2 2 cos 2 0 10cos 4 3 xAtt T 2 2 2 0 10cos 42 3 xt 14 3 设一物体沿x轴作简谐振动 振幅为 12cm 周期为 2 0s 在t 0 时位移为 6 0cm 且向x 轴正方向运动 试求 1 初相位 2 t 0 5s 时该物体的位置 速度和加速度 3 在x 6 0cm 且向x轴负方向运动时 物体的速度和加速度以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时 间 解 1 00 1 cos 23 x A 又 0 0 v 即 0 sin0A 00 sin0 3 2 12cos 0 5 3 xtcmts 时 0 5 6 3 ts xcm 1 0 5 222 0 5 12 sin 6 3 12cos 6 3 3 ts ts tcm s atcm s v 3 12cosx 0 6 6 x cm 习题 14 3 图 26 2 A o 当6xcm 时 1 cos 2 3 0sin 2 v 11 105Acm ss 0 00 12 cos 23 x A 而 000 2 0sin0 3 vv可知 0 2 0 5 I Imm s m vv 2 0 1 1 cos 2 m mmgl v cos0 261 5 mm rad 2 0t 时 000 00 2 v m l I 习题 14 10 图 30 要使物体保持与板接触 则需0 N 所以 22 40gA v 1 2 2 2 g Hz A 波源振动方程为 2 5 10cos 200 2 yt 2 x正向传400 um s 波方程 2 5 10cos 200 4002 x yt 3 11001tsxcmm 代入 200 200199 400222 x t 15 2 已知波函数为 y acos bt cx d 式中a b c及d为常量 试求 1 波的振幅 频率 周期 波长 波速及x 0 处的初相 2 在波的传播方向上 相距为l的两点的相位差 解 cos yabtcxd 0 cos 2 22 tx a bc 对比 0 cos 2 tx yA T 可知 1 22 2 b AaT bc 34 0 b ud c 2 xllbtc xldbtcxd cl 15 3 如图 15 38 所示 一平面简谐波向x轴正方向传播 振幅为 20cm 7 rad s 已 知 OA AB l 10cm 当t 0 1s时 A处质点振动状态为yA 0 d d A y t 0 设 2l 3l 求波函数 解 设波方程为 0 0 2cos 7 x yt u 当0 1ts 时 0 1 A xm 处 0 0 0 1 0cos 7 0 1 2 0 1 0 sin 7 0 1 0 A A y u dy dtu 0 0 7 0 7 2u 0 2 A xm 处 0 2 BB Ady y dt 0 1 4 0 7 3u 联立解得 0 84 um s 0 17 3 取为 0 3 0 2cos 7 0 123 x yt 15 4 声纳向海下发出的超声波表达式为 y 0 2 10 2 cos 105t 220 x SI 试求 1 波源的振幅与频率 2 在海水中的波速与波长 3 距波源为 8 00m 与 8 05m 的两 质点振动的相位差 15 4 与 15 2 题重复 方法完全相同 解略 15 5 有一平面波沿x轴正向传播 若波速u 1m s 振幅为A 1 10 3m 圆频率为 rad s 位于 坐标原点处质点的振动规律为y Acos t 试求 1 波函数 2 t 1s 时x轴上各质点的位移 分布规律 3 x 0 5m 处质点的振动规律 解 1 u u x x t t cos cos A A cos 10 3 xt 2 当 t 1 时 1 cos 10 3 x 图 15 38习题 15 3 图 y O AB l2l x 35 3 当 t 0 5 时 5 0 cos 10 3 t 15 6 如图 15 39 所示为t 0 时刻的波形曲线 求 1 O 点的振动方程 2 波函数 3 P 点的 振动方程 4 a b 两点的运动方程 解 1 如图 由旋转矢量法可知 在 t 0 时刻 原点正像 y 轴负方向运 动 对应于矢 量图中的 2 即初相为 2 而s s u u T T52 080 20 5 5 5 5 4 4 4 42 2 2 2 T T T T 所以 O 点振动方程为 25 4 cos 04 0 0 tym 2 波动方程 cos v x tA 2 2 25 5 4 cos 04 0 xt 3 mxp4 0 代入波动方程得到 2 5 5 4 cos 04 0 typ 4 由旋转矢量法可知 35 4 cos 04 0 tya 35 4 cos 04 0 tyb 15 7 如图 15 40 所示是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线 1 若沿x正方向传 播 该时刻 O A B C 点的振动相位各是多少 2 若波沿x轴负方向传播 上述各点的振 动相位又是多少 解 1 沿x轴正向传 0 0 0 0 0 2 2 2 0 02 2 3 0 02 2 t AA BB tB CC tC dy y dt k yAk dy yk dt dy yk dt 15 8 一沿x轴正方向传播的机械波t 0 时的波形曲线如图 15 41 所示 已知波速为 10m s 波 长为 2m 求 1 波函数 2 P 点的振动方程 并画出 P 点的振动曲线 3 P 点的x坐标 4 P 质点回到平衡位置所需要的最短时间 解 1 cm0 1A s s u u T T20 10 2 10 2 T3 0 3 10 10cos 01 0 x ttx 2 由旋转矢量法 t 0 时刻 P 点相位 2 3 2 0 P 3 5 点振动晚比O 3 4 10cos 01 0 typ 3 P 点相位落后 O 点 3 5 mx 3 5 6 5 4 6 5 12 1 10 6 5 st 15 9 一正 弦式空气 波沿直径 0 14m 的圆 柱形管行 进 波的 强度为 9 10 9 J s m2 频率为 300Hz 波速为 300m s 试求 1 波中的平均能量密度和最大能量密度 2 管中一个波长范围内的总能量 解 1 平均能量密度 22 1 2 wA 平均强度为 22 1 2 IA u 3 353 9 10 3 10 300 I wJ mJ m u 能量密度 22 sin x wAt u 最大能量密度 2253 max 26 10wAwJ m 图 15 41 习题 15 8 图 y c m x P 1 0 0 5 v 0 5 O 37 2 相邻同向面间隔的距离为一个波长1 u m 相邻同向面间的波含有能量 27 4 62 10WwVw rJ 15 10 一平面波在介质中传播 波速为 1 0 103m s 振幅为 1 0 10 4 m 频率为 300Hz 介质的 密度为 800Kg m3 求 1 该波的平均能流密度 2 一分钟内通过垂直于波线的画积 S 4 104m2的总能量 解 1 平均能流密度为 222423 11 800 6 28 300 10 10 22 IA u 41 1 42 10J s 2 一分钟内通过垂直于波线面积 S 的总能量为 4410 1 42 104 10603 4 10PI S tJ 15 11 一扬声器的膜片半径为 0 01m 欲使它产生 1KHz 40W 的声辐射 则膜片的最小振幅 应为多大 已知该温度下空气的密度为 1 29Kg m3 声速为 344m s 15 12 钢棒中的声速为 5100m s 求钢的杨氏模量 钢的密度为 7800Kg m3 解 Y u 232 7 8 10 5100 Yu 112 2 03 10N m 15 13 距离点声源 10m的地方声音的声强级是 20dB 若不计空气对声音的吸收 求距离声源 5m 处的声强级 解 点波源发出的波 不考虑吸收 则波的总能量不变 1122 I SI S 22 1122 44rIrI 设距离波源10m和5m处的波强分别为 1 I和 2 I 则 21 4II 由 1 I的声强级为20dB 即 1 0 10lg20 I dB I 38 有 2 I的声强级为20dB 即 21 00 10lg10lg4 10lg26 II dB II 15 15 两个同频率 100Hz 等振幅的波源位于同一介质中 A B 两点 如图 15 42 所示 它们 的相位差为 若AB 30m 波速为u 400m s 1 试求 AB 连线上因干涉而静止的各点位置 取 AB 连线为x轴 A 为坐标原点 2 AB 连线外任一点的振动情况如何 解 1 设 A B 连线内的 P 点为波动为干涉静止点 其距离 A 的距离为x 2 1212 rr 12 230 2 kx 2 1 0 k m v u 4 100 400 12 14 kx 即 12 14 kx 2 1 0 k 2 1212 rr 16 30 2 xx 此时 亦为干涉加强 又300 x 所以12 kx 142 1 0 k 2 对于 A 点左侧任意点 m 有 1430 2 2 1212 rr 此时 干涉加强 同理 在 B 点右侧任意点 n 有 2 1212 rr 16 30 2 xx 此时 亦为干涉加强 15 16 如图 15 43 所示 S1 S2为两相干波源 振幅都为A0 相距为 4 S1的相位较 S2超前 x A B O 3 0m 图15 42习题15 15 图 S1 S2 图15 43习题15 16图 2 r 1 r P P BA 30 习题 15 15 图 39 习题 15 16 图 2 试分析 S1S2连线上各点合振动的振幅如何 解 如图 取 1 s作为原点 p 点距 1 s为 x 则 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 1 0 x时 psps 2 2121 4 2 2 所以 01cos 21 AAA 2 Lx psps 2 2121 0 4 2 2 所以 021 20cosAAAA 3 Lx 有 1 V Vu 火车背着观察者运动0v 有 2 V Vu 两式相除得 1 2 vVu vVu 解出火车速度 12 12 440390 340 20 5 440390 uVm sm s 15 28 蝙蝠在洞穴中飞行时是利用超声脉冲来导航的 超声脉冲持续时间约1ms 每秒重复发 射数次 假定蝙蝠所发射的超声频率为39KHz 在朝着表面平坦的墙壁飞扑的期间 蝙蝠的运 动速率为空气中声速的 1 40 试问蝙蝠所听到的从墙壁反射回来的脉冲波的频率是多少 解 设声速为 u 则接收到的反射波频率为 kHz u u u u 4139 40 1 1 40 1 1 40 40 15 29 雷达侧速 以光速行进的微波从正在远处向微波源趋近的飞机上反射回来 与波源发 出的波形成频率为 990Hz 的拍 如果微波的波长为 0 100m 试求飞机趋近微波源的速度 解 根据电磁波的多普勒效应 9 3 10 s c Hz 44 1 990 Rss cu cu 即 9 1 3 10990 cu cu 77 26 6 106 6 10uuc 1 99um s 15 30 求速度为声速的 1 5 倍的飞行物艏波的马赫角 解 1 215 sin v s u 41 8 2 第 17 章 17 1 由光源 S 发出的600nm 的单色光 自空气射入折射率 n 1 23 的一层透明物质 再射入空气 如图 若透明物质的厚度为 d 1 00 cm 入射角30 且 SA BC 5 00cm 求 1 1 为多大 2 此单色光在这层透明物质里的频率 速度和波长各是多少 3 S 到 C 的几何路程为多少 光程为多少 解 光在不同介质中传播的频率相同 但波长和波速不相同 而要把光在不同介质中所 走的路程都折算为光在真空中的路程 以便比较光在不同介质中所走的路程 这就引入了 光程 介质中某一几何路程的光程 相当于光在走这段路程的时间内在真空中走过的路程 1 由折射定律 sin sin 1 n n空 得 46 2 1 2 1 23 1 1 sinsin 1 n n空 24 1 2 分别以 1