A经济数学复习题之一.pdf

经济数学 复习题 1 1 设某厂家打算生产一批商品投放市场 已知该商品的需求函数为 2 10 x ep 且最大 需求量为 6 其中x表示需求量 p表示价格 求 1 该商品的收益函数和边际收益 2 使收益最大时的产量 最大收益和相应价格 收益最大时的收益弹性 并解释其经济意义 解 1 收益函数为 2 10 x xepxxR 60 x 边际收益为 2 2 5 x exxR 60 x 2 令0 x R 得2 x为唯一驻点 又0 2 R 即2 x为最大值点 最大收 益 1 20 2 eR 相应价格为 1 10 e 3 10 ln2 p p p dp dR R p Ep ER 10 ln 1 10 ln 10 ln2 p p p p 所以 0 1 10 ep Ep ER 其经济意义 即当价格的变化对收益无影响 此题需求函数给得不是很好 2 2 设某产品的需求函数为 pQQ 收益函数为pQR 其中Q为需求量 产品的 产量 p为产品价格 pQ为单调减函数 如果当价格为 0 p 对应产量为 0 Q时 边际收 益0 0 a dQ dR QQ 收益对价格的边际效应0 0 c dp dR pp 需求对价格的弹性为 1 p Eb 求 0 p和 0 Q 解 收益 QQppQQR 所以边际收益 dQ dp Qp dQ dR 而需求对价格的弹性 p EQp dQ E EpQ dp 需求对价格的弹性在有些教材中前面加负号 于是 p QE dQ dpp 得 p dpp dQQE 故 1 1 p dR p dQE 由题设知 0 1 1 ap b 得 0 1 ab p b 收益 ppQpQQR 两边对p求导得 1 p dRdQ QpQE dpdp 由题设知 0 1 cQb 得 0 1 c Q b 3 3 某企业生产某种产品 若需求函数142 D Qp 供给函数42 S Qp 若企业 以供需一致控制产量 而政府对产品征收的税率为t 试求 1 当税率t为多少时 征税收 益最大 最大值是多少 2 征税前后的均衡产量的变化 解 分析 这里税率t指每件产品征税的额度 征税收益是所征税收总额 即税率与产 量的乘积 虽然提高t可使税收总额增加 但会影响企业的利润 导致产量的减少 从而使 税收总额减少 1 设征税后市场售价p不变 这实际相当于降低了出厂价格 记税后价格为 t p 则 t ppt 此时供给 42 St Qpt 而需求仍为 142 D Qp 令 StD QQ 解出均衡价格 0 p及均衡产量 0 Q 0 1 2 ppt 0 5Qt 设征税收益为T 则 2 0 5tttQT 而 tT25 令0 T 得唯一驻点 2 5 t 又0 2 5 T 可知当税率 2 5 t时 征税收益最大 最大值 max 25 6 25 4 T 2 征税前需求函数142 D Qp 供给函数42 S Qp 由 SD QQ 得均衡 产量 2 9 Q 征税前均衡产量为 2 9 征税后均衡产量变为 2 5 税收使均衡产量减少 企业产量降低 利润也当然随之减少 4 某工厂计划全年需要某种原料 100 万吨 并且其消耗是均匀的 已知该原料分期分 批均匀进货 每次进货手续费为 1000 元 而每吨原料全年库存费为 0 05 元 试求使总费用 最省的经济批量和相应的订货次数 解 设经济批量为x万吨 总费用为y元 则进货手续费为 x 100 1000 库存费为 1000005 0 2 x 这里乘 10000 是由于原料以万吨计算 1000005 0 2 100 1000 x x y 250 100000 2 x y令0 y 解得20 x 万吨 0 200000 3 x y 所以20 x时费用最小 即经济批量为 20 万吨 相应的订货次数为 5 20 100 次 5 5 某种商品的需求函数 2 75 ppQQ 其中 p为价格 Q为需求量 1 若销售此种商品 问当p为多少时总收益最大 最大收益是多少 2 求当4 p时的需求弹性 3 求当4 p时的收益弹性 计算到小数点后第二位 解 1 总收益函数 3 75pppQR 这里p是条件变量 2 375pR 令 5 0 pR 负号舍去 06 pR 所以5 p时收益最大 最大收益为 25055755 3 R 2 需求弹性 2 2 2 75 2 75 2 p p p p p Q p dp dQ Ep EQ 54 0 59 32 1675 162 4 p Ep ER 3 收益弹性 2 2 3 2 75 375 75 375 p p pp p pp R p dp dR Ep ER 46 0 59 27 1675 4875 4 p Ep ER 6 6 设生产某种产品x 百台 时的边际成本 4 4 x C x 万元 百台 边际收益 8R xx 万元 百台 设产销平衡 试求 1 若固定成本 0 1C 万元 求总成 本函数与总利润函数 2 产量x为多少时 利润最大 解解 1 总成本函数 2 0 0 1 0 1 4 14 48 x x t C xCC t dtdtxx 总收益函数 2 0 0 1 8 8 2 x x R xR t dtt dtxx 所以 2 5 41 8 L xR xC xxx 2 5 4 4 L xR xC xx 令 0L x 得唯一驻点 16 5 x 百台 又 16 0 5 L 故当 16 5 x 百台 时 利润最大 7 7 某公司为了发展新业务需要增加5台电脑 如果购进一台电脑需要一次性支付5000 元现金 电脑的使用寿命为15年 如果租用一台电脑 每年需要支付600元的租金 租金 均匀支付 按连续复利计息 若银行的年利率为12 问买电脑和租电脑两种方案 哪一 种合算 若银行的年利率为6 又该怎样决策 分析分析 这类问题应该将其在同一时间点上进行比较 即都定在现值上或都定在将来值 上 解法一解法一 将比较的时期定在现值上 在租用的情况下 租金相当于均匀流600 a 12 r 15T 15年的租金的现值为 0 12 15 600 1 1 4173 55000 0 12 rT a MeeM r 买租 可见 租比买合算 若6 r 则 0 06 15 600 1 1 5934 35000 0 06 rT a MeeM r 买租 此时 买比租合算 解法二解法二 将比较的时期定在将来值上 若12 r 则 0 12 15 500030248 rT NAee 买 0 12 15 600 1 1 25248 0 12 rT a Nee r 租 故租比买合算 若6 r 则 0 06 15 500012298 rT NAee 买 0 06 15 600 1 1 14596 0 06 rT a Nee r 租 所以 买比租合算 8 8 设某商品的需求函数 1 8 5 pD qq 供给函数 24 153 pS qq 1 求消费者剩余和生产者剩余 2 若政府对每一单位的该商品征收T元的消费税 求此时的均衡点 p q 并求5T 时的消费者剩余和生产者剩余 解解 1 1 由 D qS q 得 124 8 5153 qq 故 20q 则4p 即均衡点 4 20 p q 所以 消费者剩余 20 220 0 00 11 8 4 20 8 8040 510 q CSD q dqp qq dqqq 生产者剩余 20 220 0 00 241480 4 20 80 1531533 q PSp qS q dqqdqqq 2 2 此时从生产者的角度来看 价格由原来的p变成了p T 供给函数变为 15 10 2 S pTpT 而需求函数没有变 由 S p TD p 得 15 10405 2 pTp 故 3 4 5 pT 则20 3qT 即此时均衡点 3 4 203 5 p qTT 当5T 时 7 5 p q 所以 消费者剩余 5 25 0 00 11 8 7 5 8 352 5 510 q CSD q dqp qq dqqq 生产者剩余 5 25 0 00 2191195 7 5 35 1531533 q PSp qS q dqqdqqq 9 9 设生产某种产品必须投入两种要素 1 x和 2 x分别为两要素的投入量 Q为产出量 若生产函数为 12 2Qx x 其中1 假设两种要素的价格分别 1 p和 2 p 试问 当产 出量为12时 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小 解 由题总费用函数为 2211 xpxp 则该问题可化为条件极值问题 122 212211 xxxpxpf 0122 02 02 21 1 212 2 1 11 2 1 xxf xxpf xxpf x x 所以 6 6 2 1 2 1 2 1 p p x p p x 为唯一驻点 由题必存在费用最小的点 即 6 6 2 1 2 1 2 1 p p x p p x 为 最小值点 10 10 设甲口袋有a只黑球和b只白球 乙口袋有n只黑球和m只白球 现从甲口袋任取 1 只球放入乙口袋 然后再从乙口袋任取 1 只球 试求 1 最后从乙口袋取出的是黑球的 概率 2 已知最后从乙口袋取出的是黑球 先前从甲口袋放入乙口袋的球是黑球的概率 解 设A 从甲口袋放入乙口袋的球是黑球 B 从乙口袋取出的是黑球 1 P BP A P B AP A P B A 1 1 11 1 anbna nbn ab nmab nmab nm 2 1 1 P A P B Aa n P A B P Ba nbn 11 11 设某地区成年居民中肥胖者占 10 不胖不瘦者占 82 瘦者占 8 又知肥胖者 患高血压病的概率为 20 不胖不瘦者患高血压病的概率为 10 瘦者患高血压病的概率 为 5 问 1 在该地区任选一人 则此人患高血