信号分析与处理习题课.pdf

总复习和习题课总复习和习题课 1 04 0 nn x n n 其他 1 设 4 2 h nR n 令 6 x nx n 6 h nh n 试求与的周期卷积并作图 x n h n 解 1 0 N m y nx m h nm 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 0 6 7 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1n m x n m hm 1hm 2hm 3hm 4hm 5hm h n m 14 12 10 8 6 10 y n 2 试求以下有限长序列的点 闭合形式表 达式 NDFT 0 cos N x nan Rn 1 1 0 N nk NN n X kx n WRk 解 00 2 1 0 1 2 N jnk jnjn N N n aeeeRk 2 1 0 0 cos N jnk N N n an eRk 00 22 11 00 1 2 NN jknjkn NN N nn aeeRk 00 00 22 111 2 11 jNjN N jkjk NN ee aRk ee 000 000 222 1 21 21 2 222 1 2 NNN jjj jkjkjk NNN eee a eee 000 000 222 1 21 21 2 222 NNN jjj N jkjkjk NNN eee Rk eee 00 00 11 22 00 sin sin 1 22 11 2 sin sin 22 NN jkjjkj NN N NN aeeRk kk NN 2 1 0 N jnk n N N n a eRk 2 n N x na Rn 1 0 N nk NN n X kx n WRk 解 2 1 1 N N jk N a Rk ae 2 1 0 n N jk N N n aeRk 2 1 0 N jnk N N n x n eRk 2 1 0 0 N jnk N N n nn eRk 0 2 jn k N N eRk 3 0 x nnn 0 0nN 1 0 N nk NN n X kx n WRk 解 4 已知两个有限长序列为 1 03 0 46 nn x n n 1 04 1 56 n y n n 试用作图表示 以及 x n y n f nx n y n 3 2 10 1 2 3 4 5 67 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n m x n m y n m 7 7 ymRn 7 7 1ymRn 7 7 2ymRn 7 7 3ymRn 7 7 4ymRn 7 7 5ymRn 7ym 7ym 7 7 6ymRn 0 4 2 10 10 8 f n 4 5 已知是N点有限长序列 现 将长度变成rN点的有限长序列 x n X kDFT x n y n 01 0 1 x nnN y n NnrN 试求rN点与的关系 DFT y n X k 解 由 2 1 0 01 N jnk N n X kDFT x nx n ekN 得 1 0 rN nk rN n Y kDFT y ny n W 2 1 0 k N jn Nr n x n e 1 0 N nk rN n x n W 0 1 1klr lN k X r 2 1 0 N jnk rN n x n e 在一个周期内 Y k 的抽 样点数是X k 的r倍 Y k 的周期为Nr 相当于在 X k 的每两个值之间插 入r 1个其他值 不一定 为零 而当k为r的整数 l倍时 Y k 与X k r 相 等 相当于频域插值 2 1 0 01 N jnk N n X kx n ekN 0 1 1klr lN k Y kX r 6 已知是N点的有限长序列 现将的每两点之间补进个零值点 得到 一个rN点的有限长序列 x n X kDFT x n x n1r y n 0 1 1 0 x n rnir iN y n n 其他 试求rN点与的关系 DFT y n X k 解 由 1 0 01 N nk N n X kDFT x nx n WkN 1 0 rN nk rN n Y kDFT y ny n W 得 1 0 N irk rN i x ir r W 01krN 1 0 N ik N i x i W 故 NrN Y kXkRk 离散时域每两点间插 入r 1个零值点 相 当于频域以N为周期 延拓r次 即Y k 周期 为rN 1 0 01 N nk N n X kx n WkN Q 01krN 1 0 N ik N i Y kx i W 2 2 0 j j X kx nIDFT X k N ekm N X kekNm k 7 已知下列求 其它 2 cos 2 1 2 1 22 1 1 22 22 1 0 2 mn N eeee ee N ee N N ekX N nx mn N j j mn N j j nmN N j j mn N j j N n kn N j 解 如若一台通用计算机的速度为平均每次复乘 每次复加 用它来计算512点的 问 直接计算需要多少时间 用运算需要多少时间 5 s 0 5 s DFT x n FFT 解 1 直接利用计算 复乘次数为 复加次数为 DFT 2 N 1N N 复乘所需时间 6262 1 5 105 105121 31072TNs 复加所需时间 6 2 6 0 5 101 0 5 1051251210 130816 TNN s 所以直接利用DFT 计算所需时间 12 1 441536TTTs 8 复乘所需时间 6 12 6 2 5 10log 2 512 5 10log 5120 01152 2 N TN s 6 22 6 2 0 5 10log 0 5 10512log 5120 002304 TNN s 复加所需时间 所以用FFT计算所需时间 12 0 013824TTTs 2 利用计算 复乘次数为 复加次数为 FFT 2 log 2 N N 2 logNN 若 是两个N点实序列 的 值 今需要从 求 的值 为了提 高运算效率 试用一个N点运算一次完成 X k Y k x n y n DFT X k Y k x n y n IFFT 9 解 由题意 X kDFT x nY kDFT y n 构造序列 Z kX kjY k 对作一次N点IFFT可得序列 Z k z n 又根据DFT的线性性质 IDFT X kjIDFT Y k 而 都是实序列 x n y n Re Im x nz n y nz n z nIDFT Z k z nIDFT Z kIDFT X kjY k x njy n 例10 已知信号 求例10 已知信号 求N点点DFT的幅值 谱和相位谱 的幅值 谱和相位谱 8cos 5 4sin 2 tttx M文件如下 文件如下 N 64 fs 100 dt 1 fs n 0 N 1 x 2 sin 4 pi n dt 5 cos 8 pi n dt y fft x N mag 2 abs y N pha angle y f n fs N subplot 121 plot f mag title Magnitude subplot 122 plot f pha title Phase 解 冲激响应不变法 11用冲激响应不变法将以下变换为 抽样周期为T a Hs H z 1 2 2 a Hssasab 2 2 a sa Hs sab 1 N k a k k A Hs ss 1 1 1 k N k s T k TA H z ez 111 2sajbsajb 将部分分式分解 a Hs 经冲激响应不变法变换后得 1 122 1cos 12cos aT aTaT ezbT T ezbTez 111 2 a Hs sajbsajb 11 1 2 1 1 ajb Tajb T TT H z ezez 12 设有一模拟滤波器 抽样周期 试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 2 11 a Hsss 2T H z 解 由变换公式 1 1 1 1 z sc z 及 2 c T 2T 可得 1 1 1 1 z s z 1 1 1 1 z a s z H zHs 2 11 11 1 11 1 11 zz zz 2 1 2 1 3 z z 13 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数 设3 c rad s 解 由幅度平方函数 2 4 1 1 c Hj 令 22 s 则有 4 1 1 aa c Hs Hs s 各极点满足下式 21 24 k j kc se 12 34k 则时 所得的即为1 2k k s a Hs的极点 3 4 1 3 23 2 22 j c sej 4 5 2 3 23 2 22 j c sej 由以上两个极点构成的系统函数为 00 2 12 3 29 a kk Hs ssssss 1 a Hs 代入0s 时 可得 0 9K 所以 2 9 3 29 a Hs ss 解 线性相位理想低通滤波器 14用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器 已知 求出并画出 曲线 0 5 c 21N h n 20lg j H e 其单位抽样响应 1 2 jj n dd hnHeed 0 j jcc d cc e He sin c c c n n 1 2 c c jj n eed 其中 1 10 2 N 0 5 c 用矩形窗截断得FIR滤波器 sin 2 020 10 0 d n n h nhn w n n n 其他 其中 21 w nRn 是窗函数 sin c c d c n hn n 低通滤波器的幅频响应曲线 sin 2 020 10 0 d n n h nhn w n n n 其他 15 请选择合适的窗函数及N来设计一个线性相位 低通滤波器 0 0 j jc d c e He 要求其最小阻带减为 45dB 过渡带宽为 8 51 求出 h n并画出 20lg j H e 曲线 设0 5 c 解 根据低通滤波器的最小阻减为 45dB 查表 应选择海明窗 得43N 2 0 540 46cos 1 N n w nRn N