线性代数习题答案(7).pdf

习题习题 七七 1 求下列 矩阵的 Smith 标准型 2 32 2 222 2 1 2 1 2 53 1 1 000 1 0 3 4 000 00 1 002 1 解 1 对 矩阵作初等变换 得 322 223 2 32 32 235 532 035 01030103 A B B 即为所求 2 对 矩阵作初等变换得 22 22222 22 11 1 11 100100 00 0000 A B 0 B 即为所求 3 不难看出 原 矩阵的行列式因子为 23 123 1 1 1 DDD 所以不变因子为 2 32 123 12 1 1 1 DD DD ddd 1 w w w k h d a w c o m 课后答案网 故所求的 Smith 标准形是 2 100 0 1 0 00 1 4 对 矩阵作初等变换 得 0 1 00 1 0 0101 002002 10100 0 1 00 1 0 20000 2 100100 0 1 00 00 2 0 1 2 0 100 00 00 1 2 A B B 即为所求 2 求下列 矩阵的不变因子 10 200 01 1 2 120 00 012 00 ab ba ab ba 解 1 显然 原 矩阵中左下角的二阶子式为 1 所以 D1 1 D2 1 D3 2 3 故所求的不变因子为 d1 1 d2 1 d3 2 3 2 当 b 0 时 2 22 4 D abab ab baba 且在 矩阵中右上角的三阶子式 10 2 01 0 b baa ab 而 4 2 D1 ba 所以D3 1 故所求的不变因子为 d1 d2 d3 1 d4 a 2 b2 2 2 w w w k h d a w c o m 课后答案网 3 证明 122 1000 010 0000 0001 nnn aaaaa 1 0 d 的不变因子为 1 dn 1 1 dn n a 1 n 1 a n 1 an 证明 由于该矩阵中右上角的n 1 阶子式等于非零常数 1 n 1 所以 D1 D2 Dn 1 1 而该矩阵的行列式为 Dn n a 1 n 1 a n 1 a n 故所给矩阵的全部不变因子为 1 dn 1 1 dn n a 1 n 1 a n 1 an d 4 证明 00 0 00 0000 10 010 a a 0 0 与 0 a 为任一非零实数 相似 证明 记 00 00 00 0000 10 010 AB a a 经计算得知 E A与 E B的行列式因子均为D1 D2 1 D3 0 3 所以它们的不变因子 也相同 即为d1 d2 1 d3 0 3 故A与B相似 5 求下列复矩阵的若当标准型 120131616 1 2 020576 221687 解 设原矩阵为 A 对 A 的特征矩阵作初等变换 得 3 w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 12011 1 2 020 020 221 120 100100 020020 11 01 1 1 03 1 1 22 100100 01 1 1 010 02000 1 1 2 EA 于是 A 的全部初等因子为1 1 2 故 A 的若当标准形是 100 010 002 J 2 设原矩阵为 A 对 A 的特征矩阵作初等变换 得 222 22 131616131616 576576 687111 0143123014326 062510623 100100 0 1 00 1 0 06230163 100100 EA 2 2 1 00 3 1 100 16 1010 01 3 1600 3 1