第02章 习题 导数与微分.pdf

四川大学大学数学习题册 1 第二第二章章 导数与微分导数与微分 2 1 导数概念导数概念 一 设 2 5 xxf 试按定义求 2 f 2 20 f 二 设 x xf 1 试按定义求 0 aaf 2 1 fa a 三 证明 xxsin cos 四 设 0 x f 存在 则 1 h xfhxf h lim 00 0 0 fx 2 h hxfhxf h lim 00 0 0 2 fx 3 h bhxfahxf h lim 00 0 0 ab fx 五 设 0 f 存在 则 1 x fxf x 0 lim 0 0 f 2 若0 0 f 则 0 f 0 lim x f x x 六 已知 xf在点 0 x可导 且4 2 lim 00 0 xfhxf h h 则 0 x f 1 8 七 讨论下列函数在0 x处的连续性与可导性 1 sin xxf 在0 x 处连续 不可导 2 0 sin 0 1ln xx xx xf 在0 x 处连续 可导 0 1 f 八 讨论 取何值时 下列函数在0 x处 1 连续 2 可导 0 0 0 1 sin x x x x xf 时 f x在0 x 处连续 1 时 f x在0 x 处可导 0 0 f 九 设 xaxxf 其中 x 在ax 处连续 求 a f faa 四川大学大学数学习题册 2 十 设 10 2 1 xxxxf 求 10 f 10 9 f 十一 已知 0 0 sin xx xx xf 求 x f cos 0 1 0 xx fx x 十二 求曲线xyln 在点 1 e处的切线方程 x y e 十三 求曲线 x ey 经过原点的切线方程 yex 十四 设 xf为偶函数 且 0 f 存在 试用导数的定义证明 0 0 f 并用函数图形 解释其几何意义 2 2 求导法则求导法则 1 导数的四则运算导数的四则运算 一 求下列函数的导数 1 223 43axxxy 2 364yxx 2 1sincos4sin3 xxy 3cos4sinyxx 3 xxxy 2 log5lg2ln 125 ln10ln2 y xxx 4 1 1 1 x xy 11 1 2 y xx 5 2 1 ln x xx y 2 22 1 ln 1 ln 1 xxx y x 6 xxxycosln 2 2 2 lncoscoslnsinyxxxxxxxx 二 设xxxfarctan 1 2 求 0 f 0 1 f 2 2 求导法则求导法则 2 复合函数和复合函数和反函数的导数反函数的导数 一 求下列函数的导数 1 5 63 xy 4 15 36 yx 2 xy2sin3 2 6sin 2cos2yxx 四川大学大学数学习题册 3 3 22 xay 22 x y ax 4 ln 22 xaxy 22 1 y ax 5 arctan 3 xy 2 6 3 1 x y x 6 x ey 1 cos2 21 cos 2 12 sin x ye xx 二 设函数可导 证明 1 偶函数的导数是奇函数 2 奇函数的导数是偶函数 3 周期函数的导数是周期函数 三 设 xf可导 求下列函数的导数 1 2 x efy 22 2 xx yxefe 2 1 arcsin x fy 2 11 arcsin 1 yf x xx 四 求下列函数的导数 1 xxy 11 1 2 2 y x xx 2 21arcsin xy 2 1 y xx 3 x x y 2sin1 2sin1 2 4cos2 1 sin2 x y x 4 tanln secxxy secyx 五 设 mxbfmxbfxg 其中f可导 求 0 g 0 0 g 六 求曲线 4 tan 2 x y 在点 1 1 处的切线方程 七 求曲线 x y 1 的经过点 2 0 的切线方程 2yx 四川大学大学数学习题册 4 2 3 高阶导数高阶导数 一 求下列函数的二阶导数 1 xxyln 1 y x 2 xxyarctan 1 2 2 2 2arctan 1 x yx x 3 cos ln sin lnxxxy 2sin ln x y x 4 x xy 21 1 ln xx yxxx 二 求下列函数的 n 阶导数 1 12 121 nnn nn yxa xa xaxa n yn 2 sin baxy sin nn yaaxbn 3 bax y 1 1 1 n nn n a n y axb 4 x x y 1 1 1 2 1 1 nn n n y x 三 设 xf二阶可导 求下列函数的二阶导数 y 1 sin xfy 2 sin cos sin sinyfxxfxx 2 xf ey 2 f x yefxfx 四 求函数 3x yx e 的 15 阶导数 15 32 456302730 x yexxx 五 设 xf在 内有连续的二阶导数 且0 0 f 设 0 0 xa x x xf xg 1 确定a的值 使 xg在 内连续 2 求 x g 四川大学大学数学习题册 5 0 a f 2 0 1 0 0 2 xfxf x x x g x fx 六 试从公式 ydy dx 1 导出下列反函数的高阶导数公式 1 32 2 y y dy xd 2 5 2 2 2 3 y yyy dy xd 2 4 隐函数的导数隐函数的导数 参数方程求导参数方程求导 相关变化率相关变化率 一 求下列方程所确定的隐函数 y y x 的导数 dx dy 1 xyyx6 33 2 2 2 2 yx y yx 2 xyyxcos sin 2 2 sincos 2 coscos yxxy y yxxy 3 x y yxarctan ln 22 2 2 xy y xy 二 求曲线 242 5xxy 在点 1 2 处的切线方程 9250 xy 三 证明 曲线ayx 上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为a 四 设函数 xyy 满足方程yyxexy sin 2 试求 0 y 0 1 y 五 求下列函数的导数 1 x xy 2ln 2 x x yx x 2 x xy ln 1 ln ln ln ln x yxx x 3 x x y 1 1 1111 2111 x y xxx 四川大学大学数学习题册 6 4 3 2 2 1 1 x xx y 2 3 22 1 1 121 3 1 12 1 x xx y xxxx 六 设 xy yx 求 dx dy 2 2 ln ln yxyy y xxyx 七 求下列隐函数的一阶导数 dx dy 和二阶导数 2 2 dx yd 1 16 44 yx 32 37 48 xx yy yy 2 3 xyey 3 2 yy yy yyexye yy exex 八 已知1 y xey 求 2 0 2 x d y dx 2 0 0 2yeye 九 求下列参数方程所确定的函数 xyy 的导数 dx dy 1 15313 353 ttyttx 3 2 5 1 1 dyt t dxt 2 teytex tt cossin 2t dy e dx 3 2 arcsin 1 t x t 2 1 arccos 1 y t 1 0 1 0 t dy tdx 十 求曲线 2 3 1 at x t 2 2 3 1 at y t 在2 t处的切线和法线的方程 43120 3460 xyaxya 十一 设 23 btyatx 求 dy dx 2 2 d y dx 2 22 4 22 39 dybd yb dxatdxa t 十二 设 ln 1 arctan xt yt 求 2 0 2 t d y dx 2 0 2 1 t d y dx 十三 设 3 32 arctan 1ln dx yd ty tx 求 2234 233 11 248 dytd ytd yt dxdxtdxt 四川大学大学数学习题册 7 十四 设 xyy 是由方程 01sin 323 2 yte ttx y 所确定的隐函数 求 0 t dy dx 和 2 0 2 t d y dx 2 00 2 23 24 tt dyed ye e dxdx 十五 一个球形雪球的体积以 1cm3 min 的速度减少 求雪球的直径为 10cm时 雪球直径的 减少速度 1 cm min 50 十六 将水注入深 8m 上顶直径为 8m 的正圆锥形容器中 注水速度为 4m3 min 当水深 为 5m 时 其表面上升的速度为多少 表面上升的加速度又为多少 22 16216 m min m min 255 25 2 5 函数的微分函数的微分 一 填空题 1 22 1111 1421 2 2 1 2arctan2arctan2 2 xxdxddxd xx 2 111 2121 21 2 2dxdd xx xx 3 2 arctan arctanarctan arctan 1 x fx dx x fxdxfd 4 33 arctanarctan3 2 2ln2arcta n xx ddx 二 计算微分 1 2 2 2 lnarcsin2 2 ln 1 4 xd xxxdx x xx 2 2 2 1 arctan x x x e d xe dxe 3 2 21 22 2 ln2 1 22 11 xxx x dxd xx x 4 xvvxuu 为可导函数 求 v u yarctan 的微分 22 u vuv dydx uv 三 用微分法求隐函数或参数方程决定函数的导