2015考研数学基础概率习题讲义.pdf

1 第一第一讲讲 随机事件与概率随机事件与概率 1 一个袋子中有 5 只黑球 3 只白球 从袋中任取两只球 若以A表示 取到的两只球均为白球 B表示 取到的两只球同色 C表示 取到的两只球至少有一只白球 则 AP BP CP 2 设对于事件A BC 有P A P BP C 1 4 P AC 1 8 P ABP BC 0 则A BC 同时出现的概率为 A BC 至少出现一个的概率为 3 设事件ABC 两两相互独立 满足条件 1 2P AP BP C ABC 且已知 16 9 CBAP 则 AP 4 设A B为事件 3 0 6 0 BAPAP 则P AB 5 设事件A与B相互独立 已知5 0 AP 8 0 BAP 则 BAP P AB 6 设A和B是任意概率不为零的互斥事件 则下结论正确的是 A APBAP B A与B不互斥 C BPAPABP D A与B互斥 7 设随机事件A和B满足1 ABP 则 A A为必然事件 B 0 ABP C AB D AB 8 设A和B为任意两个事件 且AB 则必有 A ABPAP B ABPAP C ABPAP D ABPAP 9 设A和B为任意两个事件 且AB P B 0 则必有 A P AP A B B P AP A B C P AP A B D P AP A B 10 设事件A B C满足CAB 则下列结论正确的是 A P CP AP B 1 B P CP AP B 1 C P CP AB D P CP AB 11 一批产品共有 10 个正品 2 个次品 从中任取两次 每次取一个 有放回 求 1 第二次取出的是次品的概率 2 2 两次都取到正品的概率 3 第一次取到正品 第二次取到次品的概率 12 一批产品共有 10 个正品 2 个次品 从中任取两次 每次取一个 不放回 求 1 至少取到一个正品的概率 2 第二次取到次品的概率 3 恰有一次取到次品的概率 13 一工人照看三台机床 在一小时内 甲机床需要照看的概率是 0 6 乙机床和丙机床需要照看的 概率分别是 0 5 和 0 8 求在一小时中 没有一台机床需要照看的概率 14 有两个口袋 甲袋中盛有 4 个白球 2 个黑球 乙袋中盛有 2 个白球 4 个黑球 由甲袋任取一 球放入乙袋 再从乙袋中取出一球 求从乙袋中取出的是白球的概率 15 设有一箱同类产品是由三家工厂生产的 其中 1 2 是第一家工厂生产的 其余两家各生产 1 4 又知第一 二 三家工厂生产的产品分别有 2 4 5 的次品 现从箱中任取一件产品 求 1 取到的是次品的概率 2 若已知取到的是次品 它是第一家工厂生产的概率 16 有朋友远方来访 他乘火车 轮船 汽车 飞机的概率分别为 3 10 1 5 1 10 2 5 而乘火车 轮船 汽车 飞机迟到的概率分别为 1 4 1 3 1 12 1 8 求 1 此人来迟的概率 2 若已知来迟了 此人乘火车来的概率 3 第二讲第二讲 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 设X的分布函数为 00 01 x xe xF x 则 2 XP 3 XP X的概率分布 xf 2 设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为 cos 2 0 Axx f x 其它 则 系 数A 2 0 XP 3 设随机变量X的概率分布为f x Axx 其它 01 0 以Y表示对X的三次独立重复观察中事 件 X 1 2 出现的次数 则P Y 2 4 若随机变量 2 2 XN 且PX 2403 则 2 XP P X 0 4 XP 5 设 2 1 ixFi为 i X的分布函数 为使 2 1 1 xaFxFF x 2 是某一随机变量的分布函数 则 a 6 设 2 NX则随着 的增大 概率 P X A 保持不变 B 单调减少 C 单调增加 D 增减不定 7 设X和Y均服从正态分布XNYN 45 22 记pP X 1 4 pP Y 2 5 则 A 对任何实数 都有pp 12 B 对任何实数 都有pp 12 C 仅对 的个别值有pp 12 D 对任何实数 都有pp 12 8 设随机变量X服从标准正态分布 其密度函数为 x 分布函数为 x 则对任意实数a有 A a dxxa 0 1 B a dxxa 0 2 1 C aa D 1 2 aa 9 设随机变量X的密度函数为 3 4 01 0 xx f x 其它 则使 aXPaXP 成立的常数 a A 4 2 1 B 4 2 C 2 1 D 4 2 1 1 4 10 设随机变量X的密度函数为 0 0 0 2 x xCe xf x 则C A 1 2 B 3 C 2 D 1 3 11 设X的概率分布为 X 0 1 2 P 1 3 1 6 1 2 求 1 X的分布函数 2 P X 1 2 PX 1 3 2 PX 1 3 2 12 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互 独立的 且概率都是 2 5 设 X 表示途中遇到红灯的次数 求 X 的分布律 分布函数 13 已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为 4 5 今独立重复地作刺激试验 直到发火为止 则 消耗的雷管数X是一离散型随机变量 求X的概率分布 14 在某公共汽车站甲 乙 丙三人分别独立地等 1 2 3 路汽车 设每个人等车时间 单位 分 钟 均服从 0 5 上的均匀分布 求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率 15 设随机变量X的概率密度为 f x 求下列随机变量Y的概率密度 1 1 Y X 2 YX 3 2 YX 16 假设随机变量X在 1 2上服从均匀分布 试求随机变量 2X Ye 的概率密度 5 第三第三讲讲 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 1 设 X Y的联合密度为 2 0 0 0 x y Aexy f x y 其它 则 A 2 1 P XY 2 设二维随机变量 X Y在矩形区域 02 01Gx yxy 上服从均匀分布 则边长为 X和Y的矩形面积S的概率密度 f s为 3 设 X Y的联合密度为 1 01 02 2 0 xy f x y 其它 则X与Y中至少有一个小于 1 2 的概率为 4 设二维随机变量 X Y服从G上的均匀分布 G的区域由曲线 2 xy 与xy 所围 则 X Y 的联合概率密度函数为 5 设 YX 的概率密度 0102 0 K xyxy f xy 其它 则 K A 3 B 1 3 C 1 2 D 2 6 设X与Y相互独立且同分布 P XP Y 111 2 P XP Y 111 2 则下列各式中成立的是 A 2 1 YXP B 1 YXP C 4 1 0 YXP D 4 1 1 XYP 7 设X和Y相互独立 且分别服从 1 0 N和 1 1 N 则 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 8 接连不断地掷一枚骰子直到出现小于 5 的点为止 以X表示最后一次掷出的点数 而以 Y表示掷骰子的次数 求 X Y的分布律 9 袋中有 2 个白球和 3 个黑球 现从中依次无放回 摸出两球 设 1 0 X 第一次摸出白球 第一次摸出黑球 1 0 Y 第一次摸出白球 第一次摸出黑球 求 X Y的联合分布及边缘分布 6 10 设二维随机变量 X Y的联合分布列如下所示 问 取什么值时 X与Y独立 11 设二维随机变量 X Y具有概率密度函数 其它 0 0 0 2 yxce yxf yx 求 1 常数c 2 X Y的分布函数 3 X Y落在区域 0 0 1Dx y xyxy 且内的概率 12 设 X Y服从区域 2 01Dx yyx 上的均匀分布 求 1 X Y的联合密度函数 2 X和Y的边缘密度函数 13 设二维随机变量 X Y的概率密度函数为 0 0 y exy f x y 其它 求 1 X fx 2 1 P XY 14 若 X Y的联合概率密度函数为 8 0 01 0 xyxyy f x y 其它 问X与Y是否独立 15 若X与Y独立 且服从同一分布律 X的分布律为 求 max ZX Y 的分布律 16 设二维随机变量 X Y的概率密度函数为 2 2 0 0 0 x y exy f x y 其它 求 2ZXY 的概率密度函数 X Y 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1 X 0 1 P 2 1 2 1 7 第四讲第四讲 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 设随机变量X的概率分布为 X 1 0 1 2 pk 0 1 0 2 0 3 p 则p EX DX YX 21的概率分布为 2 设X的概率密度为 2 21 1 xx f xe x 则 EX DX 3 设随机变量 X 其它 0 10 011 xxA xx xf 则常数A EX DX 4 设 2 1 2 XN则 2 EX 1 XD 5 设随机变量 2 1 2 XN 0 1 YN 且相互独立 YXZ 2 则 EZ DZ 6 设XY 独立同分布 其中X的概率分布为 2 1 kXP 1 0 k则XY 的联合分布 为 EXY 7 设X与Y方差分别为 4 和 1 协方差8 0 YXCov 则X与Y的相关系数 XY 32 YXD 32 YXD 8 对于随机变量X Y 若EYEXEXY 则 A X与Y独立 B DYDXXYD C DYDXYXD D X与Y不独立 9 设4 DX 1 DY 6 0 xy 则D 23YX A 40 B 28 4 C 54 4 D 25 6 10 设X是一随机变量 EXDX 2 0常数 对任意常数C 必有 A E XCEXC 22 B E XCE X 22 C E XCE X 22 D E XCE X 22 11 设X与Y独立同分布 记UXY VXY 则UV 必然 A 不独立 B 独立 C 相关系数为零 D 相关系数不为零 8 12 设X的分布密度为 01 212 0 xx f xxx 当 当 其它 求数学期望EX和方差DX 13 已知随机变量X的分布列如下 X 0 1 2 k P 0 3 0 2 0 5 试求 1 EX DX 2 2 1 XE 3 X的分布函数 14 设YX 的概率分布为 1 15 4 0 x x 其它 4 40 00 y ey y y 求 YXE 和 32 2 YXE 15 已知随机变量X Y分别服从正态分布 2 0 3 N和 2 2 4 N 且X与Y的相关系数 XY 1 2 设ZXY 32 求 1 数学期望EZ 方差DZ 2 X与Z的相关系数 XZ 16 设一部机器一天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时全天停止工作 若一周 5 个工作日内 无故障可获利 8 万元 发生一次故障仍获利 4 万元 发生两次故障获利 0 元 发生三次或三次以上 要亏损 2 万元 求一周内期望利润是多少 17 设 与 独立同分布 已知 的概率分布为 321 3 1 iiP 又设 max X min Y 求 1 EX EY 2 随机变量YX 的协方差 18 游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光 电梯每个整点的第 5 分钟 25 分钟 55 分钟从低层起行 假设一游客在早八点的第X分钟到达低层候梯处 且X在 0 60 上均匀分布 求该游客等候时间 的数学期望 9 第五第五讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 1 设随机变量X的方差为 2 则由切比雪夫不等式得 2 P XEX 2 设随机变量X和Y的数学期望分别为 2 和 2 方差分别为 1 和 4 而相关系数为 0 5 则根据 切比雪夫不等式有 6 YXP 3 129 XXX 相互独立 1 1 1 2 9 ii EXDXi 则对于任意给定的0 有 A 9 2 1 11 i i pX B 9 2 1 1 11 9 i i pX C 9 2 1 91 i i pX D 9 2 1 91 9 i i pX 4 设 12 n XXX 相互独立且都服从参数为 的指数分布 则下述选项中成立的是 A 1 lim n i i n Xn Pxx n B 1 lim n i i n Xn Pxx n C 1 lim n i i n Xn Pxx n D 1 lim n i i n X Pxx n 5 某厂生产某产品 1000 件 其价格为2000P 元 件 其使用寿命X 单位 天 的 分布密度为 1 365 20000 1 365 20000 0365 x ex f x x 现由某保险公司为其质量进行保险 厂方向保险公司交保费 0 P元 件 若每件产品若寿命小于 1095 天 3 年 则由保险公司按原价赔偿 2000 元 件 试由中心极限定理计算 1 若保费 0 100P 元 件 保险公司亏本的概率 2 试确定保费 0 P 使保险公司亏本的概率不超过1 10 第六讲第六讲 样本及抽样分布样本及抽样分布 1 设 21n XXX 为总体 1 0 NX的一个样本 X为样本均值 2 S为样本 方差 则有 XN 22 1 2 1 n i i nXXF 2 设 621 XXX 是来自正态分布 1 0 N的样本 2 6 4 2 3 1 i i i i XXY 当c 时 cY服从 2 分布 2 E 3 设 mtX 则随机变量 2 XY 服从的分布为 需写出自由度 4 设 1234 XXXX是来自正态总体 0 9 N的一个简单随机样本 2 234 2 1 3 XXX X 服从 分布 写出自由度 5 设随机变量 n XXX 21 独立同分布 且方差为0 2 令 n i i X n Y 1 1 则 A 2 1 Cov XYn B 2 1 Cov XY C nnYXD 2 2 1 D 2 1 1 D XYnn 6 设 12 n XXX 是来自正态总体 1 N 的一个简单随机样本 2 X S分别为样本均值与样本方 差 则 A 0 1 XN B 22 1 1 n i i XXn C 22 1 1 n i i Xn D 1 1 X t n Sn 7 设 21n XXX 为总体 2 1 2 N的一个样本 X为样本均值 则下列结论中正确 的是 A 2 1 nt n X B 1 1 4 1 1 2 nFX n i i C 1 0 2 1 N n X D 1 4 1