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第九章 无穷级数第九章 无穷级数 1 常数项无穷级数 1 1 正项级数审敛法 比较判别法1 比较判别法2 比值判别法 达朗贝尔判别法 根值判别法 柯西判别法 1 2 交错级数审敛法 莱布尼兹定理 绝对收敛 比值法或根值法 和条件收敛 例例1 级数 n 1 ln n 2n 5 是否收敛并证明 解解 级数的一般项an ln n 2n 5 并且有lim n an ln 1 2 0 则级数发散 例例2 证明级数 n 1 2 n2 4n 3 收敛 分析 比较判别法的关键在于选择一个恰当的级数 通常选择基本级数 如等比级数 调和级数和p 级数 和未知的级数作比较 本例中用于比较多级数可选择p级数 其中p 2 证明 因为lim n 2 n2 4n 3 1 n2 2 则级数 n 1 2 n2 4n 3 和 n 1 1 n2 具有相同的敛散性 又因为 n 1 1 n2 收敛 则原级数收敛 莱布尼兹判别法 发散 1 lim n an 0 交错级数 否 是 否 收敛 取绝对值化为 正项级数 发散 收敛 比较判别法 p 级数 调 和级数和几何级数 比值判别法lim n an 1 an 或根值判别法lim n n an 1 判别 n 1 an敛散性 否 例例3 当p取什么值时 级数 n 2 1 n lnn p 收敛 分析 对于某些特殊的级数 可以通过积分的方法证明其收敛性 解 解 当n 2时 有 1 n lnn p n 1 n 1 n lnn p d x n 1 n 1 x ln x p d x 因此级数的n 1项部分和满足 sn 1 1 2 ln2 p k 3 n 1 n ln n p 1 2 ln2 p 2 n 1 x ln x p d x 1 2 ln 2 p lnlnn lnln 2 p 1 1 p 1 1 ln 2 p 1 1 lnn p 1 p 1 由上可知 当p 1时 部分和数列有界 则数列收敛 类似地有 对任意的n 2 1 n lnn p n n 1 1 n lnn p d x n n 1 1 x lnx p d x sn 1 2 n 1 1 x lnx p d x lnln n 1 lnln2 p 1 1 p 1 1 ln2 p 1 1 ln n 1 p 1 p 1 当p 1时 部分和数列无界 则级数发散 综上可知 当p 1时 级数收敛 当p 1时 级数发散 练习练习1 证明下列级数发散 1 n 1 n 2 2 n 1 arctann 3 n 1 n n 5 练习练习2 用比较法判别下列级数的收敛性 1 n 1 1 n2 n 1 2 n 1 1 n3 4 3 n 1 5 2 3n 4 n 2 1 n n 5 n 1 n 1 n2 6 n 1 4 3n 2n 7 n 1 cos2n 2n 1 8 n 1 n2 1 3n4 1 9 n 2 n2 1 n3 1 10 n 1 1 sinn 10n 11 n 1 2 1 n n n 12 n 1 1 n 3 1 13 n 1 2n 1 3n 14 n 1 1 2n 1 3n 15 n 1 5 2n 1 n2 2 16 n 1 n 2 n 1 3 17 n 1 1 n n2 1 n3 n6 18 n 1 n 5 3 n 7 n2 20 n 1 sin 1 n 19 n 1 1 n1 1 n 练习练习3 用比值法判别下列级数的收敛性 1 n 1 1 1 n 2 e n 2 n 1 2n2 7n 3n n2 5n 1 3 n 1 1 n 4 n 1 n nn 练习练习4 判别下列交错级数的收敛性 1 n 1 1 n 1 n 2 n 1 1 n 1 3n 1 3 n 1 1 n 3n 1 2n 1 4 n 1 1 n 2n 4n2 1 5 n 1 1 n n 1 2 n 6 n 1 1 n n lnn 练习练习5 判别下列级数是绝对收敛 条件收敛或发散 1 n 1 n2 2n 2 n 0 10 n n 3 n 1 1 n 1 2n n4 4 n 0 1 n 1 4 n 5 n 0 1 n n4 6 n 1 1 n n 5 n 7 n 1 1 n 1 n n2 1 8 n 0 1 2n 9 n 1 e nn 10 n 1 1ne1 n n3 11 n 1 sin4n 4n 12 n 1 n 3 n 4n 13 n 1 1 n 1 n22n n 14 n 1 10n n 1 42n 1 15 n 1 3 cosn n2 3 2 16 n 1 1 n ln n 17 n 1 n nn 18 n 1 1 n nln n 19 n 1 n2 1 2n2 1 n 20 n 1 1 n arctann n 练习练习6 判别下列级数是否收敛 积分法 1 n 1 1 n ln n 2 n 1 1 nlnnlnln n 2 幂级数幂级数 2 1 收敛半径收敛半径及其求法 系数模比值法 系数模根值法 收敛域收敛域 2 2 幂级数的逐项积分和逐项求导的性质 利用这些性质求和函数和函数 2 3 函数展开成幂级数 直接法和间接法 常见幂级数的展开式 1 1 x 1 x x2 x3 n 0 xn 1 x 1 ln 1 x 0 x dx 1 x d dx 1 1 x x x2 2 x3 3 n 1 xn n 1 x 1 ln 1 x ln 1 x x x2 2 x3 3 n 1 1 n 1 xn n 1 x 1 arctan x 0 x dx 1 x2 n 0 0 x 1 nx2ndx n 0 1 n 2n 1 x2n 1 1 x 1 e x 1 x x 2 2 xn n x sin x x x3 3 x5 5 1 n 1 2n 1 x2n 1 x cos x sin x 1 x2 2 x4 4 1 n 2n x2n x 练习练习1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域 1 n 1 xn n 2 n 0 1 nxn n 1 3 n 1 1 n 1xn 3n 4 n 2 n x n 5 n 1 xn n 6 n 1 nnxn 7 n 1 1 nn4nxn 8 n 1 xn n3n 9 n 0 n x 1 n 10 n 0 1 n x 2 n n2n 练习练习2 求下列幂级数的和函数 1 n 1 2nx2n 1 提示 逐项积分可得等比级数 2 n 1 xn 1 n2n 提示xs x n 1 xn n2n 逐项求导可得等比级数 练习练习3 将下列函数展出成幂级数 1 f x 1 1 x 2 f x 3 1 x4 3 f x 1 1 9x2 4 f x x 9 x2 第七章 重积分第七章 重积分 1 二重积分二重积分 1 1 直角坐标系 x型区域 y型区域 1 2 极坐标系下积分变换公式 Dxy f x y dxdy Dxy f cos sin d d 练习练习1 计算下列累次积分 注意积分次序 1 1 3 0 1 1 4xy dxdy 2 2 4 1 1 x2 y2 dydx 3 0 2 0 2 xsin ydydx 4 1 4 0 2 x y dydx 练习练习2 计算下列二重积分 1 D x3y2d 其中D x y x y x 0 x 2 2 D 4 y x3 2 d 其中D x y 0 y 2x 1 x 2 3 D 2 y x2 1 d 其中D x y 0 y x1 2 0 x 1 4 D e y2d 其中D x y 0 x y 0 y 1 5 D ex yd 其中D x y y x y3 1 y 2 练习3 计算下列二重积分 1 D xcos yd 其中D是由y 0 y x2和x 1所围的区域 2 D x y d 其中D是由y x和y x2所围的区域 3 D y3d 其中D是顶点为 0 2 1 1 和 3 2 的三角形区域 4 D xy2d 其中D是由x 0和x 1 y 2 所围的区域 练习4 画出积分区域 并交换积分次序 1 0 4 dx 0 x f x y dy 2 0 1 dx 4x 4 f x y dy 3 0 3 dy 9 y2 9 y 2 f x y dx 4 1 2 dx 0 ln x f x y dy 练习5 通过交换积分次序计算下列积分 1 0 1 dy 3 y 3 ex 2 dx 2 0 1 dy y 1 x3 1dx 3 0 3 dy y2 9 ycos x2 dx 4 0 1 dx x2 1 x3sin y3 dy 练习练习6 将积分 D f x y d 化为累次积分 其中积分区域D如下图所示 直角坐标或极坐标均可 1 2 3 4 练习7 用极坐标计算下列二重积分 1 D xyd 其中D为原点为圆心 半径为3的圆 2 D x y d 其中D为圆x 2 y2 1 和x2 y2 4中间且在y轴右侧的部分 3 D e x 2 y2 d 其中D为半圆x 1 y2与y轴所围的区域 4 D arctan y x d 其中D x y 1 x2 y2 4 0 y x 练习8 将下列累次积分化为极坐标计算 1 0 1 dx 0 1 x 2 ex 2 y2dy 2 a a dy 0 a 2 y2 x2 y2 3 2dx 3 0 2 dy 4 y2 4 y 2 x2y2dx 4 0 2 dx 0 2 x x 2 x2 y2dy 2 三重积分三重积分 2 1 直角坐标系直角坐标系 2 1 1 坐标面投影法坐标面投影法 空间区域可以化成xy型空间区域 x y z z1 x y z z2 x y x y D 其中Dxy为 在xOy坐标面上的投影投影 而曲面z z1 x y 和z z2 x y 分别为 的底面底面 和顶面和顶面 则函数f x y z 在 上的三重积分可化为 f x y z dV D xy dxdy z 1 x y z2 x y f x y z dz 2 1 2 坐标轴投影法 截面法 坐标轴投影法 截面法 空间区域 在z轴上的投影区间为 p q 对 p q 中任意固定 的z 作平面平行xOy坐标面 且截 得截面Dz 则 表示为 x y z x y Dz p z q 则函数f x y z 在 上的三重积分可化为 f x y z dV p q dz D z f x y z dxdy 则函数f x y z 在 上的三重积分可化 2 2 柱面坐标系柱面坐标系 柱面坐标和直角坐标之间的关系 x cos y sin z z 三重积分的变化变换公式为 f x y z dxdydz f cos sin z d d dz 其中为 d d dz为柱面坐标系下的体积元素 需要说明的是 利用柱面坐标系计算三重积分 常结合直角坐标系下的截面法使用 事实上如 果截面Dz用极坐标表示 则将 化为用柱面坐标表示 2 3 球面坐标球面坐标 柱面坐标和直角坐标之间的关系 x rsin cos y rsin sin z rcos 三重积分的变化变换公式为 f x y z dxdydz f rsin cos rsin sin r cos r2sin drd d 其中为 d d dz为柱面坐标系下的体积元素 Dxy f x y dxdy Dxy f cos sin d d 其中为r2sin drd d 为柱面坐标系下的体积元素 练习练习1 计算下列累次积分 1 0 1 dz 0 z dx 0 x z dy 2 0 1 dx x 2x dy 0 y dz 练习练习2 计算下列三重积分 1 2xdV 其中 x y z 0 z y 0 x 4 y 2 0 y 2 2 yz cos x5 dV 其中 x y z x z 2x 0 y x 0 x 1 练习练习3 计算下列三重积分 1 6xydV 其中 为由平面z 1 x y z 0 y 0 x 1和柱面y x围成的空 间区域 2 y dV 其中 为由平面x y z 2和三个坐标面z 0 y 0 x 1和柱面y x 围成的空间区域 3 x2e ydV 其中 为由柱面z 1 y2 和平面z 0 x 1 x 1所围的空间区域 4 x 2 y dV 其中 为由柱面y x2 和平面x z x y z 0所围的空间区域 练习练习4 利用三重积分计算下列立体体积 1 由平面2x y z 4和三个坐标面所围四面体 2 由柱面y x2 和平面z 0 z 4 y 9所围立体 3 由圆柱面x2 y2 9和平面y z 5 z 1所围立体 4 由抛物面x y2 z2和平面x 16所围立体 练习练习5 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 x 2 y2dV 其中 由柱面x2 y2 16 和平面z 5 z 4所围立体 2 x3 xy2 dV 其中 由抛物面z 1 x2 y2 以下的在第I卦限度部分 3 ezdV 其中 由抛物面z 1 x2 y2 柱面x2 y2 5 和xOy坐标面所围立体 4 x2dV其中 由柱面 x 2 y 2 1 内 平面 z 0 之上和圆锥面 z 2 4 x 2 4 y 2 之下的立体 练习练习6 利用球面坐标计算下列三重积分 1 x2 y2 z2 dV 其中 为单位球x2 y2 z2 1 2 x2 y2 dV 其中 是单位球x2 y2 z2 1在xOy坐标面以上的部分 3 zdV 其中 是两个球面x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 4之间且位于在第I卦限度部分 4 e x2 y2 z2dV 其中 是球面x2 y2 z2 9所围在第I卦限度的部分 练习练习7 利用三重积分 柱面坐标 计算下列立体体积 1 由圆柱面x2 y2 1截球体x2 y2 z2 4所得到立体 2 由两个抛物面z x2 y2 z 36 4x2 4y2所围部分 第八章 曲线积分和曲面积分第八章 曲线积分和曲面积分 1 曲线积分曲线积分 1 1 第一类曲线积分 设曲线L的参数方程为 x x t y y t t 则弧长元素为ds x t 2 y t 2dt 且 L f x y ds f x t y t x t 2 y t 2dt 注 积分下限 小于积分上限 如果曲线L的参数方程为y y x a x b 则弧长元素为ds 1 y x 2dx 且公式为 L f x y ds a b f x y x 1 y x 2dtw 1 2 第二类曲线积分 设定向曲线L的参数方程为 x x t y y t t 则 L P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt 注 1 积分下限 和上限 分别对应起点和终点的参数 注 2 设 L 为有向线段 如果L与x 轴垂直 则关于坐标x的积分 LP x y dx 0 同理 如果 L与y 轴垂直 则关于坐标 y 的积分 LQ x y dy 0 1 3 格林公式 设平面闭区域D的正向边界曲线 D 逐段光滑 函数P x y Q x y 在D上有一阶 的连续偏导数 则 D P x y dx Q x y dy D Q x P y dxdy 积分与路径无关条件 Q x P y 如果第二类曲线积分满足积分与路径无关条件 计算时可以选择较为容易级数的折线段 线段平 行坐标轴 级数积分 不妨设定向曲线L的起点坐标为 x0 y0 终点为 x y 则 L P x y dx Q x y dy x0 y0 x y P x y dx Q x y dy x 0 x P x y0 dxdx y0 y Q x y dy 练习练习1 计算下列第一类曲线积分 1 L yds L x t2 y t 0 t 2 2 L y xds L x t4 y t3 1 2 t 1 3 L xy4ds L为圆x2 y2 16的右半部分 4 L yexds L为连接 1 2 4 7 的线段 5 2 x 9z ds x t y t2 z t3 0 t 1 练习练习2 计算下列第二类曲线积分 1 L xy ln x dy L为抛物线y x2从接 1 1 到 3 9 的定向弧 2 L xeydx L为曲线x ey从接 1 0 到 e 1 的定向弧 3 L xydx x y dy L为从 0 0 到 2 0 然后到 3 2 的折线段 4 L sinxdx cos ydy L分为两部分 圆x2 y2 1的上半部分 方向从 1 0 到 1 0 另一 部分是从 1 0 到 2 3 的线段 练习练习3 利用格林公式计算下列闭曲线积分 1 Cxy2dx x3dy 其中C是顶点分别为 0 0 2 0 2 3 和 0 3 的长方形的正向边界曲线 2 Cydx xdy 其中C是原点为圆心 半径为1的圆 方向为逆时针 3 Cxydx x2y2dy 其中C是顶点分别为 0 0 1 0 和 1 2 的三角形的正向边界曲线 4 Ce y dx 2xe ydy 其中C由直线x 0 x 1 y 0和y 1所围正方形的正向边界曲线 1 曲面积分曲面积分 1 1 第一类曲线积分 设曲面 的方程为z z x y 在xOy坐标上的投影为D 则 f x y z dS D f x y z x y 1 z x 2 z y 2dxdy 其中dS 1 z x 2 z y 2dxdy为曲面面积元素 1 2 第二类曲线积分 设定向曲面 的方程为z z x y 在xOy坐标上的投影为D 则 R x y z dxdy D R x y z x y dxdy 当 方向取上侧时 符号取正 反之 符号取负 类似地 可以给出 Pdydz Qdxdz的化 重积分公式 注 当曲面 与xOy坐标面垂直 则对xOy坐标面的积分 Rdxdy 0 当曲面 与xOz坐标面垂直 则对xOz坐标面的积分 Qdxdz 0 当曲面 与yOz坐标面垂直 则对yOz坐标面的积分 Pdydz 0 合一投影法 P dydz Qdxdz Rdxdy D zx P zy Q R dxdy 1 3 高斯公式 P dydz Qdxdz Rdxdy P x Q y R z dV 应用条件 1 逐段光滑闭曲面线 2 外侧 3 P Q R在 上有一阶连续偏导 练习练习1 计算下列第一类曲面积分 1 x2y zdS 是平面z 1 2x 3y一部分 在xOy坐标面的投影是长方形 0 3 x 0 2 2 y zdS 是平面x y z 1位于第I卦限的部分 3 ydS 是曲面z 2 3 x3 2 y3 2 0 x 1 0 y 1 4 x2z2dS 是锥面z2 x2 y2 夹在平面z 1和z 3的部分 练习练习2 计算下列第二类曲面积分 合一投影法 1 xydydz yz dxdz zxdxdy z 4 x2 y2 0 x 1 0 y 1 上侧 2 xydydz 4x2dxdz yzdxdy z xey 0 x 1 0 y 1 上侧 3 xze ydydz xzey dxdz z dxdy 是平面x y z 1位于第I卦限的部分 下侧 4 xdydz y dxdz z4dxdy 是圆锥面z x 2 y2 在平面z 1以下的部分 下侧 练习3 计算下列第二类曲面积分 高斯公式 如果曲面非闭 添加辅助面 1 yzdydz xzdxdz xydxdy 是抛物面z 9 x2 y2 在平面z 5以下的部分 上侧 2 exsin ydydz excos ydxdz yz2dxdy 是平面x 0 x 1 y 0 y 1 z 0和z 2所 围立体的正向边界曲面 3 x2dydz xydxdz z dxdy 是抛物面z 4 x2 y2和xOy坐标面所围立体表面的外侧 2009 2010 学年第二