数学北师大版九年级下册二次函数的图象与性质（四）.docx

2.2二次函数的图象与性质（四）教学设计郑州市第七十七中学 叶芳芳一、教材分析：本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数的第二节二次函数的图象与性质的第四课时。学生在七、八年级时已经通过变量间的关系，认识了函数的定义。并且学习了一次函数、反比例函数的概念及图象、性质。本节课在前面二次函数的概念、y=ax2、y=ax2+c、y=a(x+h)2、y=a(x+h)2+k的图象与性质的基础上，进一步讨论形如二次函数的一般式y=x2+bx+c的图象与性质。它既是前面函数学习的一次升华从“由形到数”到“由数到形”（本节课更侧重数对形的概括），又是后续“二次函数的应用”、“二次函数与一元二次方程的联系”学习顺利进行的保证。二、学情分析：对于本节课的学习，显然学生要有一定的基础知识准备：首先，承接本节课二次函数的图象与性质的前三个课时，学生要能够由二次函数的顶点式y=a(x+h)2+k说出相应的对称轴、顶点坐标。其次，学生要会用“配方法”把二次函数的一般式转化为顶点式的形式。对于前一个知识点的积累需要学生通过前几节课的理解及反复练习。至于后一个储备知识点，可以让学生联系九年级上册“用配方法解一元二次方程”，回顾“配方法”。三、关于本节知识点的课标要求：“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x+h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题。”四、教学目标：1、通过“配方法”将数字系数的二次函数转化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。2、经历二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化为顶点式的推导过程，理解顶点坐标公式的必要性。3、通过解决有关实际问题，体会二次函数图象的对称轴和顶点坐标的意义，进一步感受数形结合的思想。五、教学过程：（一）复习回顾：本章第一节，我们认识了二次函数的概念：形如y=x2+bx+c（a0）。接着，我们通过列表、描点、连线画出了一组形如y=ax2图象，并由图象得到其对称轴为 、顶点坐标为 。然后画出了一组形如y=ax2+c的图象，其与前者的位置关系是 、对称轴是 、顶点坐标是 。接着，又画出一组形如y=a(x+h)2的图象，它与y=ax2的位置关系是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。最后，我们在平面直角坐标系内，对y=ax2向上（或下）、向左（或右）平移，它的顶点坐标可到达平面内任意位置，从而可以代表所有的二次函数，所以除了二次函数的一般式外，我们得到一种非常重要的二次函数形式顶点式y=a(x-h)2+k，由这个函数式，我们可以立即读出其相应的对称轴 、顶点坐标 。请说出下列二次函数的对称轴、顶点坐标：（1） y= 2x2 (2) y= 0.5x2-1 (3) y= - (x+1)2（本环节设计意图：通过对前几节课，特别是前面三节关于二次函数的图象与性质的回顾与梳理，让学生理解二次函数“从形到数”的探究过程，对二次函数由顶点式得到对称轴及顶点坐标有更清楚的认识。其次，通过几个有代表性的二次函数式，巩固顶点式得对称轴及顶点坐标这一知识点。既为本节课做知识上的准备，又可与下一环节一起引出本节的新课。）(2) 引入新课：求下列二次函数的对称轴、顶点坐标：（1） y=x2+2x+1 (2)y=x2+2x+2 (3)y=2x2-8x+7（本环节设计意图：承上启下，承接上一环节的复习顶点式的对称轴及顶点坐标，启发后面新课，遇到一个一般形式的二次函数怎么求其对称轴及顶点坐标？本环节的设计力求启发学生的最近发展区，由浅入深、层层推进，所以设计了上面三个层层递进的式子引出问题，同时也启发了学生解决这一问题的方法“配方法”。对于配方法的进一步使用在后续环节中有展开。）（3） 自主学习：自学课本P39 例1,完成下列问题：1、对于一个形如y=ax2+bx+c的二次函数，你能确定它的对称轴和顶点坐标吗？你可以用什么方法?2、类似的方法，你能确定y=3x2-6x+7的对称轴和顶点坐标吗？(本环节设计意图：自学环节，给每个同学自我提升的时间，培养学生的自学能力，对不同程度的同学都有最大限度的提高：程度较好的同学，通过自学，可以快速的掌握利用配方法化二次函数一般式为顶点式的方法，而且配方法在九上的解一元二次方程中已学过。之后，这类同学就可以通过仿例练习加以巩固。而对于程度不太好的同学，也有足够的时间去分析例题，发现自己的问题。最后，在小组交流环节，有讲有学，各有发展、各有收获。)（4） 合作探究：小组为单位，总结“配方法”化二次函数一般式为顶点式的方法、解题步骤。并请同学演板展示并讲解。例：求y=3x2-6x+7对称轴和顶点坐标。解： y=3x2-6x+7提取二次项系数 =3(x2-2x)+7配方：括号内加上并减去一次项系数一半的平方 =3(x2-2x+1-1)+7整理 =3(x-1)2+4（本环节设计意图：本着“小组合作，各有发展”的原则，酒壶添新酒，把已学过的配方法应用到二次函数中来。“配方法”虽然是个旧知识点，但却应用到新知识中，而且离上次学习“配方法解一元二次方程”已有一段时间，且不一定人人都会，所以还是很有必要花点时间用在这一环节。）（5） 巩固练习：用“配方法”确定下列二次函数y=2x2-12x+8的对称轴和顶点坐标，并画出草图。（做完之后，同桌互改并纠错。）（本环节的设计意图：在确定配方法化二次函数一般式为顶点式的步骤之后，巩固练习，同时添加画草图这一环节，让学生体会数形结合的思想，同时也为后面二次函数解决实际问题做铺垫。至于同桌互改环节，则再次给学生互相帮助、共同提高的机会：会做的同学在讲解中提高，不会的同学解决疑难之处。）（6） 顶点坐标公式如果每次都用“配方法”求一般形式的二次函数的对称轴和顶点坐标会不会觉得麻烦呢？有没有一般的公式？用字母表示数？下面我们一起来试着求y=x2+bx+c的对称轴和顶点坐标。解： y=x2+bx+c提取二次项系数 配方：括号内加上并减去一次项系数一半的平方整理 所以y=x2+bx+c的试一试，用顶点坐标公式求 的对称轴、顶点坐标。（本环节的设计意图：由于顶点坐标公式的推导不要求学生独立完成，所以本环节设计了师生共同推导二次函数的顶点坐标公式。然后通过一题要求学生用公式求二次函数的对称轴和顶点坐标，让学生清楚以后二次函数的对称轴和顶点坐标又多了一种方法可选择。如果时间允许的话，本环节还会在推导出顶点坐标公式之后，用几何画板演示y=x2+bx+c中的系数a、b、c对二次函数图象的影响，学生在看演示之前，也可以通过顶点坐标公式估计出a、b、c对函数图象从位置、形状两方面的影响。当然，这个几何画板的展示是一个拓展部分，要视时间而定。）（7） 学以致用： 桥面 -5 0 5Y/m x/m 10如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称钢缆的最低点到桥面的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？（本环节设计意图：通过求二次函数的对称轴和顶点坐标，解决有关实际问题，体会求二次函数对称轴和顶点坐标的意义。同时，学生在计算过程中对与“配方法”、“顶点坐标公式”的选择应用，也巩固了前面的内容。）（8） 课堂小结： 二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线。我们可用配方法或公式法确定对称轴、顶点坐标。确定了二次函数的对称轴和顶点坐标之后，我们就能够画草图，也能够解决一些实际问题。（9） 当堂检测：1. 确定下面二次函数的对称轴和顶点坐标，并画出草图？2.