第五章课后习题答案.pdf

1 习题五习题五 1 一颗骰子连续掷 4 次 点数总和记为X 估计P 10 X 18 解 设表每次掷的点数 则 i X 4 1 i i XX 2222222 1111117 123456 6666662 11111191 123456 6666666 i i E X E X 从而 2 22 91735 6212 iii D XE XE X 又X1 X2 X3 X4独立同分布 从而 44 11 7 414 2 ii ii E XEXE X 44 11 3535 4 123 ii ii D XDXD X 所以 2 35 3 1018 14 4 10 271 4 PXPX 100 0 3871 0 387 0 348 10 20 12 V P 即有P V 105 0 348 5 有一批建筑房屋用的木柱 其中 80 的长度不小于 3m 现从这批木柱中随机地取出 100 根 问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少 3 解 解 设 100 根中有X根短于 3m 则X B 100 0 2 从而 30 100 0 2 30 1 30 1 100 0 2 0 8 P XP X 1 1 25 1 25 0 8944 2 X B 100 0 7 100 1 75 100 0 7 75 1 75 1 100 0 7 0 3 i i PXP X 5 1 1 1 09 0 1379 21 7 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0 05 的产品中 任取 1000 件 其中有 20 件废品的概率 解 解 令 1000 件中废品数X 则 p 0 05 n 1000 X B 1000 0 05 E X 50 D X 47 5 故 12050130 20 6 8956 89547 547 5 P X 6 130 4 5 10 6 8956 895 8 设有 30 个电子器件 它们的使用寿命T1 T30服从参数 0 1 单位 小时 1 的指数 4 分布 其使用情况是第一个损坏第二个立即使用 以此类推 令T为 30 个器件使用的总 计时间 求T超过 350 小时的概率 解 解 11 10 0 1 i E T 2 1 100 i D T 10 30300 E T 3000 D T 故 3503005 350 111 0 913 0 1814 300030 P T 9 上题中的电子器件若每件为a元 那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95 的概率 保证够用 假定一年有 306 个工作日 每个工作日为 8 小时 解 解 设至少需 n 件才够用 则E Ti 10 D Ti 100 E T 10n D T 100n 从而即 1 306 8 0 95 n i i PT 306 8 10 0 05 10 n n 故 102448244 8 0 95 1 64 272 10 nn n nn 所以需 272a元 10 对于一个学生而言 来参加家长会的家长人数是一个随机变量 设一个学生无家长 1 名家长 2 名家长来参加会议的概率分别为 0 05 0 8 0 15 若学校共有 400 名学生 设各 学生参加会议的家长数相与独立 且服从同一分布 1 求参加会议的家长数X超过 450 的概率 2 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率 解 解 1 以Xi i 1 2 400 记第i个学生来参加会议的家长数 则Xi的分布律为 易知E Xi 1 1 D Xi 0 19 i 1 2 400 而 由中心极限定理得 400 i i XX 400 400 1 1 400 1 1 0 1 400 0 194 19 i i X X N 近似地 于是 450400 1 1 450 1 450 1 4 19 P XP X 1 1 147 0 1357 2 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数 则Y B 400 0 8 由拉普拉斯中心极限定理得 Xi012 P0 050 80 15 5 340400 0 8 340 2 5 0 9938 400 0 8 0 2 P Y 11 设男孩出生率为 0 515 求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 解 解 用X表 10000 个婴儿中男孩的个数 则X B 10000 0 515 要求女孩个数不少于 男孩个数的概率 即求 P X 5000 由中心极限定理有 5000 10000 0 515 5000 3 1 3 0 00135 10000 0 515 0 485 P X 12 设有 1000 个人独立行动 每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0 9 以 95 概率估计 在一次行动中 1 至少有多少个人能够进入 2 至多有多少人能够进入 解 解 用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体 i 1 2 1000 令Sn X1 X2 X1000 1 设至少有m人能够进入掩蔽体 要求P m Sn 1000 0 95 事件 9