数学第一章补充习题.pdf

第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 1 7 2010 03 14 例 3 样本 X1 X2 Xn 来自总体 X 令 d 证明 E d D d 证 X N 2 X1 X2 Xn 来自 X Xi N 2 Xi N 0 2 i 1 2 n 且相互独立 E d 1 n E Xi 1 n n i 1 E X n i 1 E X 而E X u 1 2 e 2 2u2du u X u N 0 2 2 u 1 2 e u2 2 2du 2 0 E d 2 D d 1 n2 D Xi 1 n2 D X 1 n D X n i 1 n i 1 而 D X E Xi 2 E X 2 2 2 2 1 2 2 D d 1 2 2 n 设 x1 x2 xn 是总体 X 的一个样本值 将它们按由小到大的排列为 x 1 x 2 x n x R 令 1 时 Fn x F x 这正是用样本 推断总体的理论依据 2 对于丌同的样本值 x1 x2 xn 所得到经验分布函数Fn x 是丌同的 3 对于 x 的每一个固定值 x Fn x 的值作为随机样本的函数 它是一个 r v ex 设总体 X 的分布函数为 F x 样本的经验分布函数为 证 第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 2 7 2010 03 14 E F x D 证明 因为对于固定的 x 值 Fn x 作为随机样本的函数 F n x 是一个 r v F n x 表示在 n 次 独立重复试验中 事件 X x 发生的概率 从而 nFn x 表示在 n 次独立重复试验中 事件 X x 发生的次数 而在每一次试验中 事件 X x 发生的概率 P X x F x r v nFn x B n F x E nFn x nF x D nF n x nF x 1 F x E F n x F x D F n x 1 n F x 1 F x 设某商店 100 天销售电脑的情况有如下统计资料 日售出台数 k 2 3 4 5 6 合计 天数 fk 20 30 10 25 15 100 求样本容量 n 样本方差 s2 经验分布函数 样本修正方差 s 2 样本均值 解 1 n 100 2 经验分布函数 Fn x 0 x 2 0 2 2 x 3 0 5 3 x 4 0 6 4 x 5 0 85 5 x 6 1 x 6 3 X 1 100 2 20 3 30 6 15 3 85 S2 1 100 2 2 20 32 30 62 15 X 2 1 9275 S 2 100 99 s2 1 95 设总体 X N 4 若要以 95 的概率保证样本均值 与总体均值 的偏差小于 0 1 问样本容量 n 应取多大 解 X N 4 X N 4 n 第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 3 7 2010 03 14 P X 0 1 P 0 1 X 15 2 P min X1 X2 X5 15 1 F 15 5 1 3 2 5 0 294 2 记 X 1 min X1 X2 X5 刚 P X 1 10 1 1 F 10 5 1 1 1 5 0 5804 例 4 分别从方差为 20 和 35 的正态总体抽取容量为 8 和 10 的两个样本 求 估计第一个修正样本 方差 不小于第二个修正样本方差 两倍的概率 解 由 Th4 的 1 可知 第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 4 7 2010 03 14 F s1 2 1 2 2 2 2 2 s1 2 20 2 2 35 1 75 s1 2 s2 2 F 8 1 10 1 F 7 9 又设事件 A s1 2 2s 2 2 下求 P A 因 P s1 2 2s 2 2 P s1 2 s2 2 2 P s1 2 1 2 2 2 2 2 2 35 20 P F 3 5 查 F 分布表得 F 7 9 有如下数值 F0 05 7 9 3 29 F0 025 7 9 4 20 因 F0 05 7 9 3 29 3 5 4 20 F0 025 7 9 从而 0 025 解 Xi N 0 0 32 Xi 0 0 3 Xi 0 3 N 0 1 因而 Xi 0 3 2 2 10 于是有 10 i 1 P Xi2 1 44 10 i 1 P Xi 2 0 32 1 44 0 32 10 i 1 P 2 10 16 由 2分布的上侧分位数定义 有 P 2 10 2 10 16 因而要求 P 2 10 16 只需求出满足上式的 查表得 0 1 2 10 15 987 不 2 10 16 比较知 0 1 于是由 P 2 10 0 1 2 10 0 1 得 P Xi2 1 44 10 i 1 P 2 10 16 P 2 10 0 1 2 10 0 1 Th3 5 设 X1 X2 Xn n 2 是来自正态总体 N 的样本 则 r v 第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 5 7 2010 03 14 证 X n N 0 1 n 1 s 2 2 2 n 1 且X 不s 2相互独立 由 Th3 2 2 故 X n 不 n 1 s 2 2 也相互独立 由 t 分布的定义知 X n n 1 s 2 2 n 1 t n 1 即 X s n t n 1 补充习题 1 设 X1 X2 Xn是来自总体 X 的样本 已知 E Xk ak k 1 2 3 4 证明当 n 充分大时 Yn 近似服从正态分布 并指出其分布参数 证 令 Zi Xi2 i 1 2 n 则 Z1 Z2 Zn是来自总体X2的样本 故 Z1 Z2 Zn是相互独立且 不总体 X2同分布的随机变量 由题设 E Zi E Xi2 a2 2 D Zi E Zi2 E Zi 2 E Xi4 E Xi2 2 a4 a2 2 i 1 2 由独立同分布中心极限定理知 当 n 充分大时 Sn Zi Xi2 n i 1 n i 1 近似服从正态分布 Sn Xi2 N n n 2 n i 1 N na2 n a4 a2 2 从而 Yn 1 n sn 1 n Xi2 n i 1 的近似分布为 Yn 1 n Xi2 N a2 a4 a2 2 n n i 1 2 设 X1 X2 X10为总体 X N 的一个样本 试求 1 P 0 26 第一章 补充习题 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 6 7 2010 03 14 2 P 0 26 解 1 关键是利用 Xi X 2 10 i 1 2 2 9 P 0 26 2 1 10 Xi X 2 2 3 2 10 i 1 P 2 6 Xi X 2 10 i 1 2 23 P 2 6 2 9 23 P 2 9 2 6 2 9 23 0 975 0 005 2 关键是利用 Xi 2 10 i 1 2 2 10 P 0 26 1 10 Xi 2 10 i 1 2 3 2 P 2 6 Xi 2 10 i 1 2 23 P 2 6 2 10 23 P 2 10 2 6 P 2 10 23 0 99 0 01 3 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且都服从 N 0 X1 X2 X3 和 Y1 Y2 Y3 Y4 是分别来自 X 和 Y 的样本 则统计量 服从的分布是什么 解 由抽样定理 1 2 Xi2 3 i 1 2 3 1 2 Y i Y 2 24 i 1 3 故 Xi 23 i 1 Yi Y 2 4 i 1 F 3 3 4 设总体 X 的期望为 方差为 若至少要以 95 的概率保证 问样本容量 n 应取 多大 解 因当 n 很大时 X 近似服从 N 2 n 于是 P X 0 1 P 0 1 X 0 1 0 1 n 0 1 n 2 0 1 n 1 0 95 即 0 1 n 0 975 查表得 1 96 0 975 因 x 非降 故 0 1 n 1 96 n 385 因此样本容量至少取 385 才能满足要求 第一章 材料学院李冬晓整理 谬误难免 敬请谅解 7 7 2010 03 14 分布 t 分布 F 分布及正态分布之间的常见关系 1 正态分布不 2分布 若 X1 X2 Xn 是相互独立的随机变量 且均 N 0 1 则 Xi2 2 n i 1 n 2分布的定义 2 正态分布 2分布不 t 分布 若 X N 0 1 Y 2 n 且 X Y 相互独立 则 X NY n t n t 分布的定义 3 2分布不 F 分布 若 X 2 n1 Y 2 n2 且 X Y 相互独立 则 X n1 Y n2 F n1 n1 F 分布的定义 4 2分布不 2分布 若 X 2 n1 Y 2 n2 且 X Y 相互独立 则 X Y 2 n1 n2 5 t 分布不 F 分布 若 X t n 则X2 F 1 n 习题 17 6 F 分布不 F 分布 若 F F n1 n2 则1 F F n2 n1 由 F 分布定义即得