线性代数总复习讲义分析.ppt

线性代数总复习 一 行列式 二 矩阵 三 向量之间的关系 四 线性方程组的解 五 特征值与特征向量 第一章教学要求 1 了解行列式的概念 掌握行列式的性质 2 会应用行列式的性质和行列式按行 列 展开定理计算行列式 3 理解克莱姆法则及其应用 n阶行列式的计算方法很多 除直接按定义计算外 一般还有下列方法 1 利用行列式的性质化为三角形行列式计算法2 降阶展开法 行列式的计算 第二 三章教学要求 1 理解矩阵的概念 2 了解单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵和反对称矩阵 以及它们的性质 3 掌握矩阵的线性运算 乘法 转置 以及它们的运算规律 了解方阵的幂 方阵乘积的行列式 4 理解逆矩阵的概念 掌握逆矩阵的性质 以及矩阵可逆的充分必要条件 理解伴随矩阵的概念 会用伴随矩阵求矩阵的逆 5 掌握矩阵的初等变换 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念 掌握用初等变换求逆矩阵的方法 及求矩阵的秩的方法 6 了解分块矩阵及其运算 1 了解n维向量的概念 2 理解向量组线性相关 线性无关的定义 了解并会用有关向量组线性相关 线性无关的重要结论 3 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念 理解矩阵的秩的概念 掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩 4 了解向量组等价的概念 了解向量组的秩与矩阵秩的关系 重要结论2 重要结论1 第四章教学要求 5 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件 6 理解齐次线性方程组的基础解系 通解的概念及求法 3 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 4 掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法 Ax b r A r A b n有唯一解 r A r A b 无解 齐次方程的基础解系 克拉默法则 r A r A b n有无穷多解 初等变换 非齐次方程的一个特解 非齐次方程的通解 b 0b 0 step1 系数矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵 step2 讨论方程组的解 step3 无穷解时 进一步将矩阵化为各首非零元为1 所在列其余元素为零的矩阵 step4 选择自由未知量 基本未知量 step5 写出同解方程 step6 求出基础解系 step7 写出通解 怎样选择 怎样求 齐次线性方程组求解过程 step1 增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵 step2 讨论方程组的解 step3 无穷解时 进一步将矩阵化为各首非零元为1 所在列其余元素为零的矩阵 step5 求出非齐次线性方程组的特解 step7 求出齐次线性方程组的通解 step8 写出非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组求解过程 step4 写出非齐次线性方程组的同解方程组 step6 写出齐次线性方程组的同解方程组 1 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 会求矩阵的特征值和特征向量 2 了解相似矩阵的概念 性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件 3 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法 结论 4 了解内积的概念 掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法 向量的单位化等 第五章教学要求 第五章教学要求 1 掌握二次型及其矩阵表示 了解二次型秩的概念 了解二次型秩的标准形 规范形的概念 了解正 负惯性指标 数 2 掌握化二次型为标准形的方法 配方法 3 会判定二次型和对应矩阵的正定性等 化二次型为标准形的方法 二次型不出现平方项 只有xixj的乘积项 平方项系数至少有一个不等于零 判别n元实二次型正定的充要条件是 1 A是正定矩阵 2 f的正惯性指数为n 3 f的规范形为 4 f的标准形 5 存在可逆矩阵C 使实对称矩阵A CTC 6 实对称矩阵A合同于I 7 实对称矩阵A的n个特征值全大于零 向量组a1 a2 am线性无关 而添加 形成的向量组a1 a2 am 线性相关 则 可由a1 a2 am线性表示 且表示唯一 结论1结束 计算问题 1 怎样求矩阵A的秩 行 列 则秩 A 行阶梯形矩阵中非零行的行数 最常用 2 怎样求向量组的秩 行 列 以向量组中各向量作为列向量 构成矩阵A 求出矩阵A的秩 也即原向量组的秩 3 怎样判断向量组的相 无 关性 行 列 4 怎样求向量组的一个极大无关组 行 以向量组中各向量作为列向量 构成矩阵A 则B中各首非零元所在列对应的A的部分向量组就为向量组的极大线性无关组 5 怎样利用4 中求出的极大无关组表示其余向量 行 关于矩阵的秩 怎样的情况下矩阵的秩不变 初等变换不改变矩阵的秩 矩阵运算对秩的影响 r A B r A r B r AB min r A r B 行秩 列秩 矩阵的秩 方阵的秩与行列式的关系 设A是n阶方阵 返回 2 方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关 3 设是n阶方阵A的一个k重特征值 则A的属于特征值的特征向量中 极大线性无关组包含的向量个数不多于k个 亦即齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数最多有k个 求正交矩阵Q的步骤 1 求出A的特征多项式的全部不同的根 即为A的全部不同的特征值 2 对每个特征值 解齐次线性方程组求出它的一个基础解系 3 将正交化 单位化 得到一个正交单位向量组是属于特征值的一组线性无关的量 4 将对应于全部不同特征值的线性无关特征向量作为列向量构成矩阵Q 即为所求之正交矩阵 亦即使得Q 1AQ为对角矩阵 其主对角线上的元素即为A的全部特征值 结束 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 一 行列式 1 二阶三阶行列式的计算 2 n阶行列式的计算 性质1行列式与它的转置行列式相等 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 1 利用行列式的性质计算 化为三角形 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例计算行列式 解 2 利用行列式展开计算 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 例 二 矩阵 1 矩阵的逆的求法 1 公式法 伴随法 2 初等变换法 行的初等变换 例1求方阵的逆矩阵 解 公式法 故 初等变换法 即 初等行变换 2 矩阵的秩 矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 例 解 三 向量之间的关系 1 线性组合 向量能由向量组线性表示 定义 存在矩阵 使得 判定 线性表示 存在矩阵 使得 解 阵 有相同的秩 下面把矩阵化为行最简形 法一 向量可由向量组线性表示 从而 其中为任意常数 法二 设 即 也即 其中为任意常数 解得其通解为 故向量可由向量组线性表示 且 其中为任意常数 定义 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 2 线性相关性 定理 判定 例1 解 3 最大无关组及向量组的秩 设有向量组 满足下面两个条件 如果能在中选出个向量 1 向量组线性无关 线性表示 2 向量组中的每一个向量都能由向量组 则称向量组为向量组的最大无关组 最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩 向量组的秩的求法 最大无关组的求法 且列向量组的一个最大无关组为 因此 四 线性方程组的解 定理 元线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 无穷多解 定理 元齐次线性方程组有非零解 则齐次线性 其中为任意实数 非齐次线性方程组的通解 例求解非齐次方程组 解 令 则 为任意常数 法1 法2 令 得 又原方程组对应的齐次方程组的通解是 令 得基础解系 所以原方程组的通解是 为任意常数 五 特征值与特征向量 1 如何求的特征值 解特征方程 特征方程的根即为矩阵的特征值 2 如何求属于特征值的特征向量 解齐次线性方程组 其非零解即为属于特征值的特征向量 1 特征值与特征向量的求法 解 得基础解系为 使得 则 若存在可逆矩阵 1 为矩阵的特征值 2 为对