高中数学辅导高中数学椭圆部题型解答.doc

高中数学辅导高中数学椭圆部题型解答题组一椭圆的定义和标准方程1.(2009陕西高考)“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成+=1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上.反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件.答案：C2.(2009北京高考)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上.若|PF1|=4，则|PF2|=_;F1PF2的大小为_.解析：依题知a=3，b=，c=.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2.又|PF1|=4，|PF2|=2，|F1F2|=2.在F1PF2中由余弦定理可得cosF1PF2=-，F1PF2=120.答案：2120题组二椭圆的几何性质3.设F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且|F1F2|=|F2P|，则椭圆的离心率是 ()A. B.C. D.解析：(-c)2+(c)2=(2c)2，=1，=1，e=.答案：D4.(2009江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆+=1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_.解析：由题意结合图形得，lA1B2：+=1，即-bx+ay=ab， lB1F：+=1，即bx-cy=bc， 由求得：y=，代入得：x=，T(，)，则OT中点M(，).又M在椭圆上，+=1，即4c2+a2+2ac+c2=4a2-8ac+4c2，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0.又0E 答案：2-55.(2009重庆高考)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0).若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为_.解析：在PF1F2中，由正弦定理知=，=，=，即|PF1|=e|PF2|.又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a，将代入得|PF2|=(a-c，a+c)，同除以a得，1-e1+e，得-1E1. 答案：(-1,1)题组三直线与椭圆的位置关系6.过椭圆+=1内的一点P(2，-1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是 ()A.5x-3y-13=0 B.5x+3y-13=0C.5x-3y+13=0 D.5x+3y+13=0解析：设过点P的弦与椭圆交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=-2，(x1-x2)-(y1-y2)=0，kA1A2=.弦所在直线方程为y+1=(x-2)，即5x-3y-13=0.答案：A7.(2010石家庄模拟)过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为 ()A.2 B.-2C. D.-解析：设直线m的方程为y=k1(x+2)，代入椭圆方程，得(1+2k)x2+8kx+8k-2=0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1+x2=-，y1+y2=k1(x1+x2+4)=，P(-，)，k2=-，k1k2=-.答案：D8.(2010青岛摸拟)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30的角，点 P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.(1)求动点M(x1，x2)的轨迹C的方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.解：(1)由已知得直线l1l2，l1：y=x，l2：y=-x，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，y1=x1，y2=-x2，由|PQ|=2得(x+y)+(x+y)=4，即x+4x=4+x=1，动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为+y2=1.(2)直线l的方程为y=kx+2，将其代入+y2=1，化简得(1+3k2)x2+12kx+9=0，设A(x3，y3)、B(x4，y4 )，=(12k)2-36(1+3k2)0k21，且x3+x4=-，x3x4=，AOB为锐角，OAOB0，即x3x4+y3y40x3x4+(kx3+2)(kx4+2)0，(1+k2)x3x4+2k(x3+x4)+40，将x3+x4=-，x3x4=代入上式，化简得0k21且k2b0)，其右准线l与x轴交于点A，椭圆的上顶点为B，过它的右焦点F且垂直于长轴的直线交椭圆于点P，直线AB恰经过线段FP的中点D.(1)求椭圆的离心率;(2)设椭圆的左、右顶点分别是A1、A2，且 =-3，求椭圆方程;(3)在(2)的条件下，设Q是椭圆右准线l上异于A的任意一点，直线QA1、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点.解：(1)椭圆方程为+=1(ab0，c0，c2=a2-b2)，A(，0)，F(c,0)，B(0，b)，P(c，)，FP的中点D的坐标为(c，).直线AB的方程为+=1.D在直线AB上，c+=1.化简得3a2=4c2，e=.(2)A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b).=(-a，-b)， =(a，-b)， =-3，a2-b2=3.由(1)得：a=2b，a=2，b=1，c=.椭圆方程为+y2=1.(3)设直线QA1和QA2斜率分别为k1、k2，则由(1+4k)x2+16kx+16k-4=0.解得xM=，yM=.由(1+4k)x2-16kx+16k-4=0.解得xN=，yN=-.直线MN的方程为=，令y=0，得x=，化简得x=2.yQ=k1(+2)=k2(-2)，=7-4.=-=.x=2=.即直线MN与x轴交于定点(，0).10.(2009山东高考)设椭圆E：+=1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ?若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围;若不存在，说明理由.解：(1)将M、N的坐标代入椭圆E的方程得解得a2=8，b2=4，所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2，其中0R2. 设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y=kx+m， 将其代入椭圆E的方程并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由根与系数的关系得x1+x2=-，x1x2= 因为 ，所以x1x2+y1y2=0. 把代入并整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.联立得m2=(1+k2). 因为直线AB和圆相切，因此R=，由得R=，所以存在圆x2+y2=满足题意.当切线AB的斜率不存在时，易得x=x=，由椭圆E的方程得y=y=，显然 .综上所述，存在圆x2+y2=满足题意.法一：当切线AB的斜率存在时，由得|AB|=4 .令t=，则T1， 因此|AB|2=32t(1-t)=-(t-)2+12.所以|AB|212，即|AB|2.当切线AB的斜率不存在时，易得|AB|=，所以|AB|2.综上所述，存在圆