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2013-2014第二学期量子力学考试辅导提纲第一章 绪论1. 紫外灾难说明了什么2. 德布罗意关系式 ，理解德布罗意波长计算公式，能量是多少电子伏特的电子、离子的德布罗意波长是多少。3. 康普顿效应是什么？验证了什么？4. 戴维孙革末实验是什么？验证了什么？第二章 波函数和薛定谔方程1. 波函数的统计解释。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值）和在该点找到粒子的几率成比例。总之，波函数在空间某点的强度与在该点的单位体积内找到粒子的几率成正比，这就是波函数的统计解释。表示：在时刻，在坐标到、到、到的无限小区域（小体积元内）内找到粒子的概率。为概率密度（已经归一化了）。2. 波函数归一化条件，给一个波函数能够归一化。3. 波函数应满足三个标准化条件：单值性、有限性、连续性。4. 态叠加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性迭加（一般为复数）也是体系的一个可能状态。5. 薛定谔方程（微观粒子的运动方程） （能量算符，动量算符）6. 概率流密度表达式：，以及由它推导出来的质量密度和电流密度。质量密度： 电流密度7. 一维无限深势阱：（1）、一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和本征函数。（2）一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和本征函数。第三章 量子力学中的力学量1. 厄米算符的定义：对于两个任意函数和，如果算符满足下列等式：，则称为厄米算符。厄米算符的本征值为实数证明：设是的属于本征值的本征函数，即，则 于是为实数。另外，正是由于这个性质，量子力学表示力学量的算符都是厄米算符。2. 角动量算符分量的本征值为；角动量平方算符的本征值为，其简并度为；氢原子的简并度为。3. 氢原子的波函数表达式为 n,l,m之间的关系：n=1,2,3 （主量子数）n相同的电子为一个电子层，电子近乎在同样的空间范围内运动，故称主量子数。l=0,1,2,3,n-1 （角量子数） 决定了轨道的形状。m=0， （磁量子数） 决定了原子轨道在空间的取向4. 厄米算符的本征函数的正交、归一、完全性。若是满足一定条件的厄米算符，其中为的本征函数系，本征函数完全性的数学表达式是 ，展开系数；本征函数的正交归一性的数学表达式是；在任意态态中测量，其平均值公5. 算符的对易关系基本对易关系：利用基本对易关系可以证明：；可合并写为： (矢量式)，即角动量算符的定义式。6. 测不准关系。设是代表两力学量的厄米算符，且它们的对易关系为： =，则这两个算符所代表的力学量的测不准原理为：，算符和的对易关系，则，的测不准关系表达式为：第四章 态和力学量的表象1. 波函数的态可以Q表象中的表示。在已知具有分立的本征值，其相应本征函数为，则任意归一化波函数可写为，则在表象中的表示为一个 列 矩阵；归一化公式可以表示为 ；2. 算符的矩阵表示。力学量算符的矩阵是厄米矩阵。在表象中的矩阵元的数学表达式为；力学量算符的矩阵元的狄拉克符号可以表示为。1力学量算符的矩阵都是厄米矩阵。证明: 所以，力学量算符的矩阵都是厄米矩阵。3. 在和的共同表象中，算符的矩阵为，求它的本征值和归一化本征函数。解：的久期方程为：，的本征值为 （3分）的本征方程为，时有：得到：，由归一化条件，取， （3分）所以：，同理可以得到：， （4分）4. 幺正变换 （幺正变换不改变本正值但可以改变本征矢量）证明幺正变换不改变算符的本征值。证明：设算符在表象和表象中的本征值方程分别为： ； 于是： 即幺正变换不改变算符的本征值第五章 微扰理论1. 用微扰理论计算非简并体系能量的二级修正。例1设体系的哈密顿在表象中的表示为，其中，为的能级，为小实数量。试利用微扰理论计算体系能量的二级近似值。解：在表象中，算符的矩阵为一对角矩阵故， 可见：，微扰哈密顿矩阵元为， 带入能量的二级近似公式 则：例