校本教材 阶梯式学习法系列教案 佘维平 邹太云.doc

北大附中云南实验学校校本教学资源阶梯式学习法课程教案（初中高中）数学第二课堂辅导系列编写：佘维平 邹太云2007.6.阶梯式学习法精品课程数学教案初中部分北大附中云南实验学校 邹太云 二七年六月二十七日教案编写说明：本教案针对初中数学教学过程中、以及各地中考试题中涉及到的重点和热点问题，分五个专题做了比较深入的分析和阐述，即：第一讲 数与式；第二讲 函数、方程、不等式；第三讲 图形的运动与变换；第四讲 开放与探究；第五讲 概率与统计。在教案编写上，按照“点击新课标解题策略典例解析课后精练”的模式进行。在例题的选择上，除部分自编题外，其余大都选自近三年全国各地的中考试题。在解题思路的分析中，从寻求解决问题的“思维启动点”切入，以期达到锤炼学生数学思维品质的目的。注意到初、高中学生思维品质的差异，所以选题时在寻求初、高中学生思维的最佳契合点上下了不少功夫。在“课后精练”中，注明了该题适合的学段。第一讲 数与式 一、点击新课标 “数”是指实数的概念和运算，“式”是指整式、分式和根式。这些内容是初中阶段“代数”的基础内容，也是新课程标准要求的基础内容。虽然新课程标准克服了过去对繁难偏旧运算的考查，但对新情境下数与式的知识与方法的灵活运用的新题型考查逐步增多。 二、解题策略 学习本部分知识时，要努力做到概念请，方法多，技能强。运用的数学思想方法主要有代入法、消元法、换元法、分类讨论法、数形结合法等等。三、典例解析31 常规方法透视【例1】（2005 浙江台州 初二、初三）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S =（其中a,b,c为三角形的三边长，S为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S = （其中p = ）（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积S；（2）你能否由公式推导出公式？请试试。【导析】本题以求三角形面积为线索，将我国古代数学家秦九韶的“三斜求积术”和古希腊求三角形面积的海伦公式整合在一起，先让学生分别运用，再让学生由公式推导出公式，这样的命题形式，不论是题目立意、情景创设，还是设问角度都非常新颖。但从考查的知识点来看，却是考查的初中阶段常规的数与式的运算能力，即乘法公式、因式分解、二次根式的运算等多个知识点。【思维启动点】由p = 可得：ab = 2pc ，ac = 2pb ，bc = 2pa，使用整体代入法。解：（1）S = = = = 10. 又p = (578)= 10, S = = =10. （2）a2b2()2= (ab)(ab) = c2(ab)2(ab)2c2 = (cab)(cab)(abc)(abc)= (2p2b)( 2p2a)2p( 2p2c) = p(pa)( pb) ( pc), = 【反思提炼】在上述解答过程中，不仅考查了学生的数与式的运算能力，而且还拓展了学生的知识范围。此外，引例将相关的数学知识放在一起，可以让学生体会数学知识之间的有机联系。提供数学史和我国古代数学家的研究成果的素材，既可以培养学生热爱数学的情感，又能增强学生的民族自豪感，做到了寓教于考之中。32 特例特法点击关于数与式的运算，除须掌握常规方法外，还须留意特例特法，现举几例说明。1、反客为主，答案就“在灯火阑珊处”。【例2】（初三）已知2x = ，求（x）2的值。考查内容：代数式求值，一元二次方程。思维启动点本题若直接代入求值，十分繁琐。若“反客为主”，即将已知条件转化为以为主元的方程，答案唾手可得。解：将已知转化为（）22x 1 = 0,解这个以为“未知数”的方程，得= x，舍去负值，得= x，（x ）2= 3.反思提炼：这种解法抓住了数与式的特点，通过“反客为主”这种角色变换，利用方程思想使问题得到解决，睿智之举，十分了得。2、关注附加条件，增强解题免疫力。【例3】（初二、初三）已知a,b,c为非零实数，且满足= = = k，则一次函数y = kx(k1)的图象一定经过（ ）A、第一、二、三象限 B、第二、四象限C、第一象限 D、第二象限考查内容等比性质和一次函数的图象，以及分类讨论的数学思想方法。思维启动点一次函数y = kx(k1)中的待定系数k隐含在一个等比的比值中，比值k如何确定？尽管题中告知a,b,c均为非零实数，但仍存在abc = 0或abc0两种情况。只有后者才满足等比性质的附加条件，切记！切记！解：当abc = 0时，k = = = 1，这时一次函数的表达式为y = x，它的图象在第二、四象限。当abc0时，由等比性质，得k = = 2，这时一次函数的表达式为y = 2x3，它的图象在第一、二、三象限。以上两种情况的公共部分是图象都经过第二象限，所以应选（D）。反思提炼在解答该问题时，常因思维不缜密，容易忽略掉abc = 0的情况，造成错选（A）。可见，关注定义、定理、公式等的附加条件，可以增强解题的免疫力。3、“数与形，焉能分作两边飞？”【例4】（初三）实数m取何值时，方程x22mxm1 = 0的一个根大于5，而另一个根小于5？考查内容一元一次不等式，一元二次方程以及二次函数，以及它们之间的相互关系。xyo5图1思维启动点方程左式可以看成函数f (x)= x22mxm1借助于二次函数的性质，问题迎刃而解。 .解析：如图1，由题意得f (5)0，并由此解得m的取值范围：m.反思提炼讨论数量关系，就应联想到图形的表现，研究形体特征，也应当联想到数量的表述，数与形是互相转化，互相渗透，相辅相成的。正如数学家华罗庚有词曰：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”四、归纳总结。本课通过四道例题的学习，阐述了在数与式相关问题的解决过程中，数学思想的应用和一些常规方法与特殊方法的应用，对于培养学生多方面能力、“锤炼”学生的思维品质很有裨益。五、课后精炼，能力提升。1、（初三）已知a23a1=0,b23b1=0,且ab，求的值。2、（初三）若abc0，且=，求的值。3、（初三）方程2xx2 = 的正根个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个4、（2005.兰州.初一）已知实数x满足x2 x= 0，那么x的值是（ ） A、1或2 B、1或2 C、1 D、25、（2005.绍兴.初二）已知P = ,Q = (xy)22y(xy)。小敏、小聪两人在x=2，y =1的条件下分别计算了P和Q的值，小敏说P的值比Q大，小聪说Q的值比P大。请你判断谁的结论正确，并说明理由。6、（2005.资阳.初三）已知a = sin60，b = cos45,c = ( )1,d = .从a、b、c、d这4个数中任意选取3个数求和。xy012图2参考答案：1、由方程根的意义可知，a、b是方程x23x1=0的两个根。 由根与系数的关系可得：ab = 3，ab = 1 = = = 112、8或13、分别画出函数y = 2xx2，y = 的图象（如图2），它们的交点为0个。 4、D。注意陷井：x1，否则就不满足x为实数这个条件。5、PQ。小聪的结论正确，理由略。6、abc = abd = acd = bcd = .第二讲 函数、方程、不等式函数、方程、不等式犹如“三剑客”，在初中数学教学中占据相当重要的位置，几乎无处不在又形影不离，时常联袂出现在各类考试之中。 一、点击新课标方程主要有四种类型，即：（1）一元一次方程；（2）可化为一元一次方程的分式方程；（3）二元一次方程组；（4）一元二次方程。不等式主要有两种类型，即：（1）一元一次不等式；（2）一元一次不等式组。函数主要有三种类型，即：（1）一次函数；（2）反比例函数；（3）二次函数。函数、方程、不等式的综合题，主要包括方程根的判别式，方程与几何的综合，方程与不等式的综合，方程与函数的综合几种情况。二、解题策略函数、方程、不等式既是中考的重点也是中考的热点，相关的基本概念和基础知识主要以填空、选择为主，而解答题更注重知识的灵活运用与综合。就解答题而言，主要有以下特点：（1）涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题技巧；（2）涉及的背景材料十分之泛，涉及到社会生活、生产的方方面面；（3）往往题面文字冗长，常令学生抓不住要领，不知如何解答。解题的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学模型。解题的数学思想方法主要是：数形结合、分类讨论、待定系数、方程、转化、函数建模等等。三、典例精析：【例1】（初二）下列四个函数：y = kx（k为常数，k0）； y = kx+b（k，b为常数，k0）；y = （k为常数，k0）； y = ax2（a为常数，a0）。其中，在函数图象所在的每个象限内函数y的值均随着x值的增大而减少的是（ ）A、 B、 C、 D、思维启动点要判断四个函数的增减性，必须在特定条件下画出四个函数的图象，才可做出选择，即：从图中可知满足题设要求的函数只有，故选C。【例2】（2005年江苏盐城，初三）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数，_。思维启动点先写出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c = 0，然后根据题设条件确定a，b，c之值。解析由于题设中要求二次项系数不为1，因此a0且a1，又所构造的方程存在两根，且其两根互为倒数，说明0且a = c0，方程可写成ax2+bx+a = 0，由于0，可解出b2a或b2a，若取a=2，则b取大于或等于4，小于或等于4的值均可，如b=5，则有方程2x2+5x+2 = 0等等。【例3】（初一）关于x的不等式 2xxa A、a2 B、a2 C、a2 D、a2 x8解析解不等式组得 由不等式组的解集的确定方法得解集为：x24a8x24a由于它的两个整数解必为9，10，所以有：1024a11，解得：a2，故选（B）。思维启动点借助图示思考，立马可得答案。反思提炼这是一组训练学生思维能力的优秀题目，主要渗透了数形结合、分类讨论、逆向思维等数学思想和方法。【例4】（2004年哈尔滨，初一）“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。（1）若商场同时购进两种不同型号手机共40部，并将60000元恰好用完，请帮助商场计算一下如何购买？（2）若商场同时购进三种不同型号手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。思维启动点（1）是一个二元一次方程组问题，但要分三种情况来讨论。（2）中对乙种型号手机数目有限制，只要分三种情况来讨论即可，即乙种型号手机分别买6部、7部和8部。解析（1）设购买甲种型号手机x部，乙种型号y部，丙种型号z部，由题意可得：xy = 40， x = 30， 解得1800x600y = 60000. y = 10.xz = 40， x = 20， 解得1800x1200y = 60000. z = 20.yz = 40， y = 20， 解得 （不合题意）600y1200z = 60000. z = 20.所以，有两种购买方法：一是购甲型号手机30部，乙型号手机10部；二是购甲型号手机20部，丙型号手机20部。（2）当y = 6时，由题意可得：x6z = 40， x = 26， 解得1800x66001200z = 60000. z = 8.当y = 7时，由题意得：x7z = 40， x = 27， 解得1800x76001200z = 60000. z = 6.当y = 8时，由题意得：x8z = 40， x = 28， 解得1800x86001200z = 60000. z = 4.所以购买方式有三种，购买三种型号手机数目分别为：26，6，8；27，7，6；28，8，4.反思提炼在列方程组时，找等量关系是关键。一般情况下，题目本身会给出明确要求和信息。本题中的等量关系是：（1）两种手机数量和等于40；（2）两种手机价格和等于60000元。审题时注意：（1）题目中的分号前后可能是两个等量关系；（2）关注每个数据的来源，如本例中的40与60000；（3）有不等关系时要注意大于、不大于、小于、不小于等的确切含义。【例5】（初二）晨曦中学八年级（1）班共有学生50人，据统计，原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元。其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示的关系。（1）求y与x的函数关系式； （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？解析 ：（1）设y与x的函数关系式为y = kxb，根据图象，可知当x = 4时，y = 400；当x = 5时，y = 320. 400 = 4kb， k = 80， 解之，得320 = 5kb. b = 720.y与x的函数关系式为y = 80x720；（2）该班学生买饮料每年总费用为50120 = 6000（元）。当y = 380时，380 = 80x720，得x = 4.25.该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为3804.25780 = 2395（元）。显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少；（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则W = xy = x（ 80x720）=80(x)2+1620当x = 时，W最大值= 1620。要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50aW最大值780，即50a1620780。解得a48.所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯。反思提炼：本题由文字和图象提供相关信息并层次分明地设置了三个阶梯式的问题，融计算、说理于一体，不落俗套，形式新颖，另外，从题目呈现的表象看是一次函数的图象，而实质上是渗透了对待定系数法、数形结合等思想的考查，这种创新着力地体现了新课程标准的理念。【例6】（2005年福建三明，初三）已知二次函数y = x2pxq（p、q为常数，=p24q0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A,B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y = x25x6及图象（如图），可得了表中第2行的相关数据。y = x2pxqpqx1x2dy = x25x6561231y = x2xy = x2x2223（1）在表内的空格中填上正确的数；（2）根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；（3）对于函数y = x2pxq（p、q为常数，=p24q0），证明你的猜想。聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？思维启动点研究问题，发现结论，探求规律，证明猜想是研究性学习考题的一大特点，本考题围绕二次函数解析式中待定字母取值的不同，引发出函数图象中相关量的变化，并提出三个问题，供考生开展探究性学习活动。解析：（1）第三行 q = 0 x1 = 0 d = 第四行 p = 1 = 9 x2 = 1（2）猜想：d2 = .例如：y = x2x2中：p = 1，q = 2，= 9。由x2x2 = 0，得x1 = 2，x2 = 1，d = 3，d2 = 9，d2 = 。（3）证明：令y = 0，得x2pxq = 0，0，设x2pxq = 0的两根为x1、x2，则x1x2 = p，x1x2 =q，d2 =(| x1x2 |)2 =( x1x2)2=( x1x2)24 x1x2 =(p)24q = p24q = 四、课后精炼。y2x = m， 1、（初一）已知方程组 的解x,y满足2xy0，则m的取值范围 2y3x = m1 是（ ）A、m B、m C、m1 D、m12、（2006江西，初一）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前排队的人一样多（设为a人，a8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍每分钟增加5人。（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少？（用含a的代数式表示）（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且达到B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围。（不考虑其他因素）3、（初二）某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，需安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市，这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费是0.8万元。（1）设运输这批苹果和梨的总运费为y（万元），用A型货箱的节数为x（节），试写出y与x的函数关系式；（2）已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种货箱的节数，有哪几种运输方案，请你设计出来；（3）利用函数的性质说明，在上述方案中，哪种方案的总运费最少？最少运费是多少？4、（初二）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造。已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成，需要费用8万元，如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合作20天才能完成，需要费用8.5万元。（1）求由乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合作完成这项工程所需的费用是多少万元？5、（2004灵武开福曲沃乌海 初二）如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此明= 。（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大；（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积最大？请说明理由。（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）6、（初三）已知二次函数y = x2bxc的图象经过点A（C，2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x = 3。 题目中的矩形框部分是一段被黑水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。参考答案：1、A2、思维启动点“此时”是指刚过了2分钟的那一刻，千万别误解其含义，否则会导致错误。转移所花的时间未转移所花的时间。解析：（1）他继续在A窗口排队所花的时间为= 。（2）由题意，得，解得a20，所以a的取值范围是a20。3、解析：（1）y = 400.3x（2）有三种方案： A型28节，B型22节； A型29节，B型21节；A型30节，B型20节。（3）y = 0.3x40y随x的增大而减小，当x = 30时，y最小=400.330=31（万元）即A型30节，B型20节总运费最少，最少费用为31万元。4、解：（1）设由乙队单做需x天，则有：= 1，解得x = 60乙队单做需60天。（2）由题意甲队工作一天需费用840=0.2（万元），设乙队一天需费用y万元，则10y0.22020y = 8.5 y = 0.15甲乙合做一天需费用0.20.15 = 0.35（万元） 甲乙合做完成需天数为1（）= 24（天）甲乙合做需费用为0.3524 = 8.4（万元）5、思维启动点（1）由比例式转换成等积式可求出y与x之间的关系式；（2）中利用配方法可求；（3）中分类讨论比较。解析（1）= ，= ，y = x160.（2）S = xy = x（x160）= x2160x = (x60)24800.当x = 60时，S最大值为4800cm2.（3）设铁桶的底面半径为r，则：当以60cm为高时，底面周长为y = 80cm。2r = 80, r = ，铁桶体积为r260 = cm3。当以80cm为高时，底面周长为60cm.2r = 60, r = ，铁桶体积为r2h = cm3。所以以60cm为高时，围成的铁桶体积最大。6、解析：（1）= 3，= 3，b = 3把A（c，2）代入解析式中，得：2 = c23cc.解得c = 2，解析式为y = x23x2。（2）答案不唯一，如c = 2等。第三讲 图形的运动与变换一、图形的运动1、点击新课标以运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称之为运动型问题，这类问题的显著特点是：图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存。这类命题与一般试题有所区别，可能条件不够完备，也可能结论需要探究，且问题所呈现的形式具有一定的开放性。解答这类问题时，在观察几何图形运动变化的过程中要善于探索并发现一些几何性质、相互关系及规律。特别地，当这类试题以综合考查类知识的深度与难度作为中考压轴题呈现在中考试卷中时，学生要解答此类问题就必须具有扎实的基础知识和灵活的解题能力。解答这类问题时往往需要综合运用转化思想、数形结合思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。2、解题策略运动型问题一般可分为两大类：一类是借助几何图形的三大变换（平移、旋转、翻折）来解决一些几何图形的面积或周长问题等，称之为“以动求静”；另一类是图形在运动中产生函数关系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题又可细分为点动型 、线动型与形动型。解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，只要找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。3、典例解析 3.1 “形”动以动求静【例1】（2006梅州，初三）如图1，两个半圆中，小圆的圆心O在大圆O的直径CD上，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中空白部分的面积等于_。 图1 图2图3思维启动点：欲求空白部分面积，但两圆的半径未知，在图1中较难发现两圆的半径与弦AB的关系，易知空白面积为两个半圆面积之差，故与小半圆在大半圆中的位置无关，若将小半圆与大半圆平移成同心半圆（如图2），阴影部分面积不变。解析设弦AB与小半圆切于点F，连结OF、OB，则OB2OF2=（AB）2，S空白= （OB2OF2）= BF2= 2.【例2】（初三）如图3，风车三角形中，AA1=BB1=CC1=2，AOB1=BOC1=COA1=60，求证SAOB1SBOC1SCOA1.思维启动点题中涉及的三个三角形位置分散，用代数法证显然比较麻烦，若借助平移，将分散的条件集中到关系明显的图形中，结论便昭然若揭。证明：将A1OC沿A1A方向平移A1A长，得AQR；将BOC1沿BB1方向平移BB1长，得B1PR（如图3），则OP=OQ=2，POQ=60.所以POQ是等边三角形，则PQ=2，又因为PRRQ=2，所以P、Q、R三点共线，在等边POQ中，SAOB1SBOC1SCOA1 = SAOB1SB1PRSAQRSOPQ=2 = .反思提炼借助平面几何图形的“三大变换”，让静止的、不规则的图形“动”起来，转化为规则的图形，可称之为“以动求静”。3.2 “点”动以静制动【例3】（初二）如图4，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6），那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？图4解析：（1）QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，于是6t = 2t，解得：t = 2当t =2 秒时，QAP为等腰直角三角形。（2）SQAPC=12612t6（122t）= 36点Q、P运动t（0t6）时，四边形QAPC的面积总保持不变，其面积等于矩形ABCD面积的一半。图5图6（3）有两种情况，如图5和图6所示。 图5中有：= 解得：t = 图6中有：= 解得：t = 30t6 t = 、t = 3都适合题意。当t为秒或3秒时，QAP与ABC相似。反思提炼本题是两个动点的运动型试题，但“动中有静”，巧妙地抓住P、Q两点在运动变化过程中，三角形或四边形保持的相对的“静”，“以静制动”是解决本题的关键所在。3.3 “线”动抓“静”的瞬间【例4】（初三）如图7，正文形OCED与扇形AOB有公共顶点O，分别以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系 ，正方形的两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动，设OC = x，OA = 3. （1）当x = 1时，正方形与扇形不重合的面积是_；此时直线CD对应的函数关系式是_。 图7（2）当直线CD与扇形AOB相切时，求直线CD对应的函数关系式。（3）当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形AOB不重合的面积。解析（1）直接计算就可求得S不重合= 1，y = x1.（2）关键是抓住切线的性质求得点C、D的坐标，设直线CD与扇形AOB切于点P，连结OP，则OPCD，如图8，CD为正方形OCED的对角线，OCD=ODC=45，在RtOCP中，OP=PC=OA=3，OC=3，C、D两点坐标分别为C（3，0），D（0，3）。设直线CD的解析式为y = kx3，将C（3，0）代入，得k = 1, y = x3。（3）应注重分类讨论：如图9，当点E落在上时，连结OE，则OE=OA=3，S不重合= ；如图10，当点C、D分别与A、B重合时，OC=OA=3.S不重合 = S正方形OCEDS扇形AOB= 9. 图8 图9 图10反思提炼本题中，由正方形对角线两个端点的移动，带来了正方形及对角线所在直线的“动”，但“动中有静”，变中有不变，扇形AOB的位置及大小自始至终没有变，解题时应抓住“静”的瞬间，如当CD所在的直线与扇形弧AB相切时，动点C、D的位置也就定下来了。其函数关系式自然也确定下来了，该题突出了对数形结合、分类讨论的数学思想方法的应用与考查，是一道起点低、难度适中的运动型好试题。3.4 “点”动带“线”动，“线”动推“形”动【例5】（初二）如图11，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子，动点P、Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2. 图11（1）当0x1时，求y与x之间的函数关系式。（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值。（3）当1x2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围。（4）0x2时，请在图11给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象。解析（1）是基本题，当0x1时，橡皮筋扫过的几何图形为三角形，这时，AP=2x，AQ = x，y = AQAP = x2,即y = x2.（2）要理解“橡皮筋刚好触及钉子”的意义，当橡皮筋刚好触及钉子时，即线段PQ经过对称中心O，则PQ平分正方形的面积。这时，BP = 2x2，AQ = x，(2x2x)2 = 22，解得x = .（3）当1x时，扫过的几何图形是梯形，这时PB = 2x2，AQ = x，y = AB = 2 = 3x2，即y = 3x2.当x2时，扫过的几何图形是凹五边形（如图12）.作OEAB，E为垂足， BP = 2x2，AQ = x，OE = 1. y = S梯形BEOPS梯形OEAQ = 11 = x， 图12即y = x。180POQ270(4)略。反思提炼本题由两个点的运动带来几何图形面积的变化，但变中有不变，“动中有静”，这里正方形的大小及其对称中心点O不变。另一方面，对动态的被橡皮筋扫过的面积来讲，在一定的时间范围内，当几何图形的相关元素被自变量x替代后，其函数关系式的确定也就简单了。解答（3）小题时要注意分类讨论，至于第（4）小题，当上述的函数关系式求得后，再画出其函数图象，就是水到渠成的事了。二、图形的变换1、点击新课标图形的变换包括图形的平移、旋转、翻折，图形在变换的过程中，对应线段、对应角的大小不变。图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角，图形在翻折前后，对应点的边线的垂直平分线就是对称轴。图形的变换是近几年中考的热点问题。2、解题策略解答与图形的变换相关的问题，关键是寻找图形在变换过程中，相等的线段和相等的角以及平行线。3、典例解析3.1 探究图形变换过程中的等量关系【例1】（初一）如图13，将ABC绕点A顺时针旋转60后，得到ABC，图13且C为BC的中点，则CD:DB等于（ ）A、1：2 B、1：2 C、1： D、1：3思维启动点判断ABC的特征是解答本题的关键，由旋转图形的性质很容易判断ACC是等边三角形，进而判断ABC是30角的直角三角形，那么ABBC，选D。【例2】（初一）如图14，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为_，APB=_。 图14思维启动点这是一道典型题， 第一个填空为解答第二个填空作了暗示。 由旋转图形的性质很容易判断APP是等边三角形， P与P间的距离为6， 由勾股定理的逆定理可以判定BPP是直角三角形， 因 此：APB=150。【例3】（初一）如图15（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD的中点）按顺时针方向旋转。（1）如图12（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。（2）若三角尺GEF旋转到如图12（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。【解析】从图（1）到图（2）到图（3），不变的是OE = OF = OB = OD和45的角，变化的是因图形的位置关系而导致的OBM与OFN的度数不同，在图（2）中，OBM =OFN = 45，在图（3）中，OBM =OFN = 135。总之，OBMOFN的性质不变，全等三角形的对应边BM = FN。 （1） （2） （3） 图153.2 探究因图形变换而产生的函数关系【例4】如图16（1）所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图（2）所示）。将纸片AC1D1沿直线D2B(AB)x方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移。在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。（1）当AC1D1平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的值，使得重叠部分的面积等于原ABC的面积的；若不存在，请说明理由。 （1） （2） （3） 图16思维启动点图形在运动的过程中，对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等。在图（3）中，C1D1与C2D2始终平行且相等，AC1与BC2保持垂直关系，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，因此AD2=BD1，AC1D1AFD2，BC2D2BED1，APBACB。解析（1）D1E=D2F，证明略；（2）由AC1D1AFD2，得= ()2. 因此SAFD2 = SBED1 = ()212 = (5x)2。由APBACB，得SAPB = ()224 = (10x)2.所以y = (10x)2(5x)2 = x2x (0x5) ；（3）存在。当y = SABC时，即x2x = 6.整理，得3x220x25 = 0。解得，x1 = ，x2 = 5.即当x = 或x = 5时，重叠部分的面积等于原ABC面积的。反思提炼数学的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化，图形的运动是新课程的热点，也是中考的热点，让我们在图形运动变化的过程中体验、把握、认知数学的美。4、课后精练1、如图17，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（ ）A、2 B、3 C、2 D、 图172、如图18，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、BC的中点，DEAB，垂足为点E，将ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ） 图18A、2：1 B、1：2 C、3：2 D、2：33、在RtABC中，斜边AB = 4，B = 60，将ABC绕点B旋转60，顶点C运动的路线长是（ ）A、 B、 C、 D、4、如图19，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD。令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH面 积S有最大值？最大值是多少？图20图195、如图20，已知点A（0，1）是y轴上一定点，点B是x轴上一动点，以AB为边，在OAB的外部作BAE=OAB，过点B作BCAB，交AE于点C。（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；（2）当点B在x轴上运动时，设点C的横、纵坐标分别为x，y，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；（3）略。解析及参考答案：1、连结BB，由轴对称图形的对应边相等，知AB=AB；由垂直平分线的性质，知BB=AB。因此ABB是等边三角形，AE=2，选C。2、连结MN交DE于F，根据轴对称图形的性质，知MF=NF；由中位线的性质，知MF=AE，NF=BE，因此AE：BE=2：1。选A。3、RtABC绕点B旋转60的过程，线段BC扫过的图形是一个圆心角为60、半径为2的扇形，点C运动的路线就是一条弧，弧长为，选B。4、这是一道图形的位似（相似）问题。相似图形的对应边成比例。由矩形MFGN矩形ABCD，知= = 2.因此MF=2x，ME=102x，所以S=x(102x)=2x210=2(x)2.当x=时,矩形EMNH的面积S有最大值,最大值是.5、思维启动点问题（1）易解且方法较多；解问题（2）的关键是应用“角平分线+垂线”这个基本图形将点C的横纵坐标融入到某个比例式中，寻找相应的相似三角形。解：（1）在RtABC中，可求得AB2=。OAB=BAC，AOB=ABC=90BOACBA，=，可得AC=。 图21（2）当B不与O重合时，如图21，延长CB，交y轴于点D，过点C作CHx轴，垂足为H，则可证得AC=AD,BD=BC,OB=BH,OD=CH。AO