应用数理统计习题答案_孙荣恒.pdf

2 2 1 42 0 4 3 1 0 140 2 0 1 44 4 0 18 20 1 4 2 800 255 0 10 1 3 0 1 2 10 95 244 0 1 1 961537 2 t n EaDn n Ea N aN ataN nn E ttedt n n n tn PtP nn n n 5 5 125 5 1 5 3 15 1 15 1 15 15 15 1215 12 1 22 1 1 1 5 0 292 PP P P 1 12 12 121 11 1 1 1 1 1 1 k n n nn mnmnmnmn ii Pkpq P MmPmmm Pmmm pqpqqq 应用数理统计 参考答案 习题一 4 5 6 7 8 均值的和 差 等于和的均值 方差的和差都等于方差的和 9 由中心极限定理 0 5 1 0 5 0 1 0 1 0 997 0 50 5 0 1 2 97442 0 5 N aN a n a PaP nn n n 2 2 4 2 4 100 1 0 90 0 33 0 20 2 2 P N aN a aU PaUPU a 挈比学夫不等式 13 0 2 5 1 8 0 1213 8 0 12 13 5 4 12 1 4 12 PP N N 1 1 125 55 11 5 1 5 2 10 1 10 1 10 10 10 1 10 1 1 10 1210 12 1 1 22 1 1 1 1 0 579 PP P PP P 6 1 0 001567 2 800 0 0015 1 800 800 0 0015 x E PP edxe 6 6 3000 0 001564 56 0 2 3000 3000 0 0015 1 x PP edxe 12 12 1 1 11 2 1 1 1 n n nn knknknkn ii P KkPkkk Pkkk pqpqqq 2 2 22 2 1 1 1 222 it it it n e nnene iti t tt n itit n nnn p te t tee n eee N n 12 12 12 12 33 20 3 20 20 1015 1 0 2 0 3 0 3 1 0 50 5 0 3 22 0 67 0 5 NNN N PP 2 Ea D 1 1 2 1 0 1 0 1 n n i i i i n i i na a n NN n n N a nn 10 11 13 14 15 16 17 18 21 22 23 26 则 222 2 2 2 2 2 kkkk kkk kk kkk kk kk Ea EaDEEaa aa E AaD A n aa AN a n 2 2 121212 222 121212 22 12 0 2 2 1 2 1 ii EEa DD EDDD EED EQnEn 2 2 1 2 2 2 1 22 1 0 1 11 1 1 n i i ii iii n i i n i i Ea Ea DD n EDDD nD n DnD ESnD nn EESD n nn 2 2 2 2 222 2 24 24 222 1 11 1 2 1 21 2 1 ns n nsn EnEsO nn nsn DnDsO nnn 1 1232 3 2 121 1 5231 121 2302 3021 A DEEEEAEEA AVarA 1 122 3 1 10 2 1 11 5231 121 2302 3021 B EEEEBEEB BVarB 1 12 2 22 1 1 282 2 12 1 2 2241 1 28116 x xx x edx dx 1 1 2 2 3 122 111 110 2 1115 1 1101 2 2111 1 111100 13011 11003 10110 NAA A A A A 由引理1 2 3 则 的联合分布为 1 1 2 2 3 12 111 111 101 1 1114321 111 111213 0111 1 210 2 N AA A A A A 时与独立 2 44 22 44224 0 2 cov 2 2 n NI EABtr Atr Btr AB EA EBtr Atr B ABEABEA EB tr Atr Btr ABtr Atr Btr AB 11 1122 22 12 1 1 2 2 1 1 0 82 21 77 1224 77 ya yyQ yb ab a b 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 n n n n N aN nn ns nN n n ns nTt n n n 11 22 U 1 1 2 11 11 22 1 11 1 22 0 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 n x nn nn nn n x fx other F xdxx fxnf xF xnx fxnf x F xnx fx yn nf x f y F yF xnnyx 24 又 则 令 则 与独立 则与独立 且 27 33 33 34 1 11 11 111 11 n nn ijn nnn ii ii aa BD n nn 2 0 DDDBD 2 2 1 1 nn i i n nBN aNI i i i a 2 1 1 n i i i a D n B n 1 2 n 2 2 2 2 1 2 2222 2 1 22 2 2 0 112 2 2 22 1 i y n i n i i YaN E dYedy n a D dE dEdE n n nn 2 2 2 2 1 2 2 1 22 2 1 0 3 0 0 3 0 10 10 9 0 3 10 10 0 18 0 30 3 2 0 01 1 0 3 10 i n i i n i i n i i NN P P 2 2 2 0 2 0 1 1 0 3 10 9 9 0 9 90 9 9 0 9932 1 ns Nn t s PP sn s n 1212 1212 2222 1212 2 12 12 3 0 0 18 0 0 18 0 1 0 1 0 180 18 1 1 0 180 18 40 0 9 NN NN P 22 413 22 44 2 2 1313 4 1 0 0 12 10 73 10 73 0 95 0 12 0 12 N PP 22 11 2222 11 22 222 11 1 0 0 1 1 11 2 nn m ii ii n nn ii ii nn m ii ii n NnNm nm nm ab nm abnm 2 22 2 11 2 111 2 2 0 0 1 n mn i i i ni nnn iii iii mNn m Nt mc mnnn 22 22 22 11 2 1 2 2 1 3 1 1 nn m ii ii n n i i n m i i n nm n m F nmd n m 习题二 1 由矩估计法2 1 由矩估计法 2 2 3 4 5 6 3 4 4 8 1 8 2 262 1 2 266 1 74 002 8 1 6 10 74 002 8 8 6 106 857 10 18 1 i i i i aXx Sx n SS n 11 1 2 0 2 3 3 A x EXxdx 11 1 1 0 1 1 2 21 1 A EXxx dx 1 2 1 1 2 1 112 2 222 2212 1 2 2 22 222 1 2 1 11 2 2 x x n i i exdx ex dxAX n AS S S 1 1 1 1 1 2 21 N i N N Ax NN N 1 1 1 0 2 1 1 Axxdx 22 1 2 2 1 1 2 k k Ak k 2 0 2 0 1 0 2 0 0 7 11 0 7 0 525 x a AXA P APedx aa Pap pa 设表示 出现的次数 1 1 1 11 1 1 ln lnln 1 ln ln 1 lnln lnln0 lnln n i i n i i nn ii ii n i i Lc x Lcx L cxncx n n xnc 1 1 1 1 2 2 1 2 ln ln 1 ln ln 111 ln 0 22 ln n i i n i i n i i n i i Lx Lx L x n x 1 11 3 ln ln ln 0 n n i L Ln Ln 1 11 0 0 11 nn nn n nn n n L otherother LL 1 1 11 4 1 ln lnln ln 1 ln 0 1 iii i n xxNx N i n x Nii i nn ii ii LC LCxNx xNx L x N 2 2 1 2 1 2 2 1 22 4 1 2 2 1 1 5 2 ln ln2 2 2 2 ln 2 0 22 1 42 i n x i n i i n ii i n i i Le x L xxLn n 5 6 7 所以不唯一 8 求不出结果 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 6 ln lnln 1 ln ln 0 n cc i i n i i n cc in i Lcx Lcccx Lnc Lcx LL 不能解出 所以由 22 1 1 1 7 1 1 ln 2ln 2 ln 1 ln 1 2 ln 22 0 1 i n x i i n ii i n i i Lx Lxx xn Ln 1 1 max 1 0 11 1 0 n n n i U L LL 1 1 1 min 2 11 2 2 222 n n n i n n U L LL 111 11 1 1 1 2 1 2 1 22 1 1 2 11 22 2 i nin ikl ikl i nn x i ii niin xxxni nn n nn Lf xe xx xxxx Lee n n 为奇 时L 达到最大值 为偶 1 1 1 1111 2222 1 1 11 22 2 n n i n U L or 0 0 11 0 1 0 0 1 1 ln ln ln ln 1 0 i nn xt i ii n in i i i LeLxt Lnn xt xt xnt 0 0 1 000 11 0 01 0 00 1 0 1 0 1 2 ln ln ln 0 i n i i nn xt i ii n ntx n L teL txt L t nt t L tL tLett 1 1 2 12 2 1 12 1 22 1 122 1 2 12 12 121 12 22 222 1 1 2 1 11 ln ln ln 0 ln 0 n i i i x n x n i n i i i Lee xn Ln Ln Lnnn 2 2 2 2 2 22 1 2 0 11 1 20 1 1 0 111 1 2 11 1 2 2 1 x n nn n i ii x n n n i n N aN aN nn EExedx kkn n xedx kn n n n k 11 12 13 15 14 18 17 21 22 22 2 0 22 0 1 0 11 22 2 2 2 112 22 1 i xx i n i i aN Eaxedxxedx EEan nn eD nI 112223 331 112223 331 1231 1 2319 551010 12 33 49131982 2525251010100 145 999 ii EEa DD EaEEa EaEEa EaEEa DaDDDaDD DaDD a a aaDa 都是 的无偏估计量最小 22 12 111122 12 22 112211221 212 2222 11221 212 2222 1211221 21212 2 11212 1 2 22 2 cov 2cov 2 2 1 220 22 a a EaEaa D aD a DaDa D c ac ac Dac Dac ca a ccc c L D c cccc ccc L cc c L c c 112 2 212 12121 22 1212 0 10 1 2 c L ccccc 2 12 2 5 1212 1 2 12 1 11 1 12 12 2 12 1 1 5 25 ln ln 10 10 2 ln 0 10 14 2 4314 ix aa n i n i i nn iiin iii i aaaN aaL ae xaa L a x xaL a a ann N aN a nn nn DDD nnn 12 22 2222 1122 111 1 1414 0 0 3 0 3 nn n DD nnnnnn n nn nnn 1 1 1 11 111 11 11 22 222 1 12 1 1 2 n i i nn UEA DD nn X g xnf xF xnx 的密度函数为 1 1 2 11 2 1 212 2 11 2 111 221 111 221 n n EXnxxdx n DXnxxdx n 11 1 1 2 1 2 1 212 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 111 221 111 221 12 222 1 24 n nn nnnn n n n n n n n n X gxnf xF xn x EXnx xdx n DXnxxdx n EEE DDDD 的密度函数为 2 n 较有效 1212 11221212 22 11221122 222 122112 2 111 1112 2 1 2 321 321 12 620 33 EEDD cccccc D ccc Dc D ccDccD ccc fcccc 又E 令f 则 1 11 222 12 1 2 22 11 1 1 11 ln ln 2 2 i n i i nn ii ii xn i i PED EXAX EXDXE XAX n XX nn e xL ne 1 1 22 ln ln 1 n n i i i i x x n Ln n E 为 的有效估计量 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 11 1 ln ln 1 ln ln ln 1 ln0 ln ln 1 ln lnln 111 n i i n in i i i n in i i i nn ii ii Lnx x Ln x n x Ln xn n xx EE nn nn 1 ii i 1i 1 L f x x 2 1 01 1 111 01 111 1 01 11 00 1 0 ln 0 ln 0 0 ln n n in i nnn nn iiin iii nn n iin ii n i i Txdxdx T nxxx dxdx n Txxdxdx E T TE Tx 000 3 设TU 则E T 0 即 等式左右两边关于 求导得 即 11 0 lnln 11 0 nn ii ii n xx nE T nn 即 0 925 15 1 0 975 15 2 1 0 95 14 1 8 7 0 58 14 2 1448 15 11 1 670 3364 0 31 1 141 0 0848 1 2448 i i i i S at n x t n S xx n nn 的的区间为 所求区间为 22 2 22 1 22 15 2 2 1 2 2 1 2 15 2 2 1 2 2 2 20 95 1 1 15 15 0 766 1 26 119 15 15 3 54 1 5 629 0 766 3 54 i i i i nSnS nn x x nS n x x nS n 的的区间为 所求区间为 2 2 2 2 1 0 95 1 2 1 2 1 2 2 1 23242534 2 10 52 5 778 1 9 1 8595 19 1 5 778 1 8595 20 607 10 1 5 778 1 8595 23 393 10 0 607 3 393 n i i a xnx Stnt n S tn n S tn n 的置信区间为 1 1 11 1 1 1 1 1 1 n i i x x nnnxy ny nn nx y ynnxyn e f xxyey e h y xxy f xxy y ey eye Xnnx n XnEX n E n 所以当时 则 222 12 11 22 12 22 22 122 2 12 2 2 12122 12 2 2 2 11 1 2 2 23 3 55 231 3 55 2 231 3 55 2 aax a aa aa uv N aee R a aE L a aEaa aaaed d ua auve va dvdu 同理 27 即又 又 2 a1 1a2 1a3 1 012 101 210 a1 1a2 1a3 1 111 000 111 23 3 22 135 66 aa R a aR a a a 最小 1 0 1 2 d 000 101 202 110 011 112 220 121 022 a a a a Laa a a a a 1 00 11 22 d 1 111 000 111 222 1111 111213 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 0 1 2 0 1 1 02 00 PPP PPP PPP RdELd La PLa PLa P 2 222 3 333 2121 212223 3131 313233 1 0 1 2 1111 10 1 4242 0 1 2 2 0 1 0 1 00 00 1 1 2 0 RdELd La PLa PLa P RdELd La PLa PLa P Rd 2 dL d 0 1 2 1 3 2 000 111 222 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 PPP PPP PPP 2 10 2 01 Rd dL d 0 1 2 1 3 2 3 33 37 1 37 a1 1a2 1a3 1 112 001 119 dL d 0 1 2 1 3 2 000 111 222 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 PPP PPP PPP 3 1 10 02 1 1 4 Rd d 为最大风险最小估计量 500005000600006000 500003000080000 Laaa 11 22 33 2 11 060003000 22 0 95 06000 0 31800 0 1 8000 18000 min max RdEd RdEd RdEd di 为决策 1 2 1 2 2 0 75 06000 0 251500 0 75 80000 0 256000 Rd Rd 应买 111212 1 11112121 2 3 0 75 0 950 25 0 30 7875 0 75 0 0 950 25 0 3 6000 571 2 0 75 0 950 25 0 3 PP xxPP xx RdE Ldx La PxLa Px RdE Ldx 1 P x x 12122222 0 25 0 0 70 75 0 05 8000 1412 0 2125 La PxLa Px 1 1 111222 571 2 0 7875 1412 0 2125750 1500750750500 B dE Ldx La P xxLa P xx RB d 应请 1 10 110 1 10 111 11 2 10 1 10 10 1 lnln 10 ln 1 ln 10 10 0 1 1 10 iii i n xxx n i nnn x ii iii nn ii ii Bp EXxpp L p xxC pp Cxpxp L p pp xnx n xp pppp p ln 2 10 1 10 1 1 1 1 1 L pn xp ppp n EpC p pp pp RCI p nI pnpp 又 所以有效估计量为 下界为 11 10 110 1 10 4 1 1 1 101 1 101 11 102 1 101 iii nn n xxx n i nxn nx h y xxy f xxy f xxyC yy yy nxnnx p XB nxnnx nxnx pE p nnxnnx 为参数与的贝塔分布的核 所以 习题三 1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 11 13 14 15 10 10 1 11 1 228337446 101010 1 228337 1010 B 1 10 15 0 2 1 15 0 2 10 2 0 80 2 0 80 2 0 8 1 0 624190 03299 0 408 15 0 5 0 5 0 50 5 0 5 i i nn ii ii n i i n i i pBp Pxorxp Pxp CCC Pxp CCC 446 100 5 0 5 0 989260 623050 3662 1 5 1 11 5 1 1 1 5 1 0 93370 0668 11 99 1 5 1 21 52 1 5 1 1 5 0 0668 11 99 P xa x P P xa x P 01 0 2 0 025 500 500 502 6 4957 1 0 9729 9 2 2622 HH x xsTtn s n Tt 未知为拒绝域 而 所以机器工作正常 01 0 2 1000 1000 950 1000 2 51 96 100 5 HH x Uu n 0 拒绝H 即认为元件不合格 01 0 0 025 10 10 10 2 10 10 2 0 5099 1 7097 0 5099 20 1 19 1 7291 HH x xsT s n t 所以接受原假设 即认为均值显著不大于10 01 22 22 1 22 0 04 0 04 10 0 037 8 556 1 0 04 0 04 HH ns n 0 16 919 所以不否定H 即认为 01 22 22 1 22 0 005 0 005 9 0 007 17 64 1 0 005 HH ns n 0 15 507 所以拒绝H 即认为导线不合格 2222 012112 12 22 1 2121 21222 2 2 11 22 22 0 9750 025 1 1 1 1 1 1 59 39 1 74 59 39 0 556 HH FnnorFnn nS nS FF 11 22 12 1 2 0 因为a 与a 未知 所以拒绝域为 SS 所以接受H 2222 012112 2 2 22 11 22 22 0 9750 025 0 4673 0 6298 1 0 4673 1 7 6 5 12 7 6 0 18 HH S nS nS FF 1 12 2 1 2 0 S Sn7 7 0 56 n8 6 0 6298 S 所以接受H 两产品精度无显著差异 012112 112 1 2 22 12 0 975 22 10 1 1 30 9721 799 0 9396 9 2 2622 26 712 1 Ha Haa nn n Ttn SS Tt 2 0 a 未知 为拒绝域 又 接受H 即认为两种产品产量无显著差异 01 22 22 1 2 1 2 1 2 16 2 1 47 9 1 1 22 HH ns n 0 27 488 所以拒绝H 即认为均匀度显著变劣 012112 112 0 975 22 10 1 0 2730 2679 0 06 9 2 2622 0 0250 0726 xy Ha Haa nn xyn Tt SS 2 0 a 未知 接受H 即认为前后均值无显著变化 00100 5 0 22 1010 22 17 00 2 0 95 2 2 22 1 6061 38601 38 1 1 6 12 592 i i ii m ii ii ii HF x HF xF x F x iv x n ee i vv n nn m 2 n 2 1 0 F x 为泊松分布 未知 估计值为 由pp ppp pp 接受H 即能认为分布为泊松分布 00100 5 0 0 8050 805 1010 22 17 00 2 0 95 0 805 0 805 22 1 2002 4233 1 1 4 9 448 i i ii m ii ii ii HF x HF xF x F x iv x n ee i vv n nn m 2 n 2 1 0 F x 为泊松分布 未知 估计值为 由pp ppp pp 接受H 即能认为分布为泊松分布 16 17 18 习题四 1 方差分析表如下 0010 222 1 0 2 0 95 1 10 7491 8005 125 1 800 10 1 1 9 16 919 m i i i HF x HF xF x Pk v n n m 2 n 2 1 0 F x p 接受H 即能认为分布为离散均匀分布 001010 2 0 01 10 22 17 00 2 0 95 0 35 0 01 100 0 01 0 990 368 0 368 1002 4724 1 1 9 16 919 k m ii ii ii HF x HF xF x P XkC x pp n C vv n nn m k10 k 010 2 n 2 1 0 F x p 1 p 未知 估计值为 由pp pp 接受H 即能认为分布 为二项分布 01 0 2 23 0 11 2 2 0 95 2 3 1 1 1 26 2 3 1 0 0479 2 5 991 210 56 2614737210 3012322175 5627059385 ik ik ik HF x Fy HF x Fy rs H n nrs n n abc 22 n1 2 n 0 F x y F x y 拒绝域为 和 患者 健康 和 接受H 即认为慢性气 管炎与吸烟量无关 123 1738868 2667741 3897879 4603159 5824856 6457868 7439191 8936253 9835171 10367679 11738571 12779615 137487 1480 1556 XXX 123 123 222 123 123 820 1071 838 2729 68 33 71 4 64 46 672400 1147041 702244 12 15 13 40 2 37 39 AET TTTT xxx TTT nnnn dfdfdf 方差来源平方和自由度样本方差F值F临界值 组间335 47762167 7380 4623 25 组内13429 537362 959 总和13764 9839 2222 312 123 2 33 2 111 1 335 4776 13429 5 335 4776 2 0 462 2 37 3 25 13429 5 37 i A n i Eij iji i AA EE TTTT S