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华东理工大学 线性代数 作业簿 第五册 学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 任课教师 4 1 向量组的线性相关与线性无关 4 1 向量组的线性相关与线性无关 1 向 量 1 1 3 3 5 T 2 1 3 5 7 T 满 足 12 23 x 则 x 解 x 1 3 6 8 T 2 选择题 1 下列命题正确的是 A 若向量组 1 2 K m 是线性相关的 则 1 可由 2 3 K m 线性表示 B 若向量组 1 2 K m 线性无关 1 2 K m 1m 线性相关 则 1m 可以由 1 2 K m 唯一线性表示 C 若 1 2 K m 线性相关 1 2 K m 亦线性 相关 则 1 1 2 2 K m m 也线性相关 D 若 1 2 K m 线性无关 则 1 2 K 1 m 也线 性无关 解 B 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2 向量 可由 12 s 线性表出的充分必要条件为 A 存 在 不 全 为 零 的 数 12 s k kk使 得 1122 kk ss k L B 12 s 线性相关 C 12 s x 有唯一解 D 1212 ss rr 解 D 3 向量 1 1 1 T 能否由下列向量组线性表示 若能 请表示 出来 1 T0 3 2 1 T0 1 1 2 T0 5 7 3 2 T 0 2 1 1 T 0 3 2 2 T1 0 0 3 解 1 若记矩阵 321 A 则问题转变为非齐次线性方程 组 Ax是否有解 故只需判断 r A是否等于 r A 而 A 1000 1513 1712 M M M 显然 r A 2 3 r A 故 Ax无 解 即 不能由 321 线性表示 2 由 A 1100 1032 1021 M M M 1100 1010 1001 M M M 得 r A r A 故 能由 321 线性表示 且 321 课后答案网 w w w k h d a w c o m 4 已 知 向 量 T 1 T 12 2 T3 3 2 3 T12 1 1 问 取何值时 1 可由 1 2 3 线性表示 且表达式唯一 2 可由 1 2 3 线性表示 且表达式不唯一 3 不可由 1 2 3 线性表示 解 记 321 A 则问题转变为判断非齐次方程组 Ax 是否有唯一解 有无穷多个解以及无解 由 A 123 1312 12 M M M 及A是含参方阵 知可 通过A来讨论 Ax解的情况 A 2 213 3 1 1 当0 且1 且1 时 由克拉默法则知 Ax有唯一 解 即 可由 321 唯一线性表示 当0 时 A 1300 1310 1200 M M M 课后答案网 w w w k h d a w c o m 0131 1 001 2 5 000 2 M M M 即 r A r A 亦即 Ax无解 故 不能由 321 线性 表示 1 时 A 1121 1131 1141 M M M 0000 0100 1211 M M M 即 r A r A 2 3 亦即 Ax有无穷多个解 故 可由 321 不唯一地线性表示 1 时 A 1121 1331 1123 M M M 4000 0120 1211 M M M 即 r A r A 故 不能由 321 线性表示 综合上述得 1 当0 且1 且1 时 即 可由 321 唯一线性 表示 2 当1 时 可由 321 线性表示 且表达式不唯一 3 当0 或1 时 不可由 321 线性表示 课后答案网 w w w k h d a w c o m 5 已知 4 个向量 1 2 3 4 线性相关 且其中任意 3 个向 量都线性无关 试证 必有全不为零的 4 个数 1 k 2 k 3 k 4 k 使得 1 k 1 2 k 2 3 k 3 4 k 4 0 成立 证 由已知 必存在不全为零的四个数 4321 kkkk使下式成立 44332211 kkkk 0 下 证 任 一 个 系 数 均 不 为 零 假 设 存 在 某 一 个 系 数 4 3 2 1 0 jk j 则上式中可去除 j k对应的一项 进而得出余下 的三个向量线性相关 而这与已知的任意 3 个向量都线性无关相 矛盾 故 4321 kkkk全不为零 6 已知向量 1 0 试证 向量组 1 2 K m 线性无关 的充分必要条件是每一个向量 i 都不能由其前面的向量 1 2 K 1 i 线性表示 证 必要性 设存在某个向量 t 可由其前面的t 1 个向量线性表示 mt 即 存 在 不 全 为 零 的 数 121 t K 使 112211 tt K t 成立 即存在不全为零的系数使 000 1112211 mtttt KK 成立 而这显然与 1 2 K m 线性无关相矛盾 充分性 设 1 2 K m 线性相关 则存在不全为零的 数 m 21 K使 成 立0 2211 mm K 依 次 从 课后答案网 w w w k h d a w c o m 21 K mm 中找到第一个非零的数 若全为零 则由0 1 知 0 1 矛盾 不妨设 t 则 1 112211 tt t t K 与 t 不能由 1 2 K 1 t 线性表示的已知条件矛盾 故 1 2 K m 线性无关 7 判别下列各组向量的线性相关性 1 3 2 1 1 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 0 2 1 2 0 0 3 3 2 1 1 4 3 2 6 5 3 解 1 因为存在0 1 k及1 2 k使得 0 0 0 2211 kk成立 所 以这两向量线性相关 解 2 构造矩阵A 111 231 011 001 321 则因为 r A 3 向量个数 知此三个向量线性无关 3 构造矩阵A 642 531 321 则由 r A 2 3 即秩 小于向量个数 知此三个向量线性相关 课后答案网 w w w k h d a w c o m 8 已知向量 T3 2 1 1 T0 1 2 2 Ta 4 3 3 问 a取何值时 1 2 3 线性相关 a取何值时 1 2 3 线性无关 解 构造矩阵 321 A 因为A是方阵 所以可由A的行 列式是否等于零来判断向量组的线性相关性 960 230 321 03 412 321 aa A 15 3a 3 5 a 若5 a 则由0 A知向量组线性相关 若5 a 则由0 A知向量组线性无关 4 2 向量组的秩 4 2 向量组的秩 1 设A B均为n阶非零矩阵 满足OAB 若1 nAr 则 r B 解 0 2 已知OPtQ 963 42 321 是三阶方阵 且OPQ 则 A 6 t时 1 Pr B 6 t时 2 Pr C 6 t时 1 Pr D 6 t时 2 Pr 解 C 课后答案网 w w w k h d a w c o m 3 求下列向量组的秩 并求出一个最大无关组 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 2 1 2 1 2 3 2 1 0 1 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 解 1 构造 4321 A 则由 1 0 2 2 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 1 1 1 0 2 2 A 1 0 2 2 0 1 1 1 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 知 r A 3 即向量组的秩为 3 并可取非零行首非零元所在列对 应的原向量作为最大无关组 取 421 即可 解 2 由 321 B 000 100 010 111 200 020 100 111 111 111 211 111 知 r B 3 即向量组的秩为 3 且最大无关组即向量组本身 4 证明下列两个向量组是等价的 1 T4 1 1 1 T3 0 1 2 T1 1 0 3 2 T2 1 1 1 T1 1 0 2 解 若记 321 A 21 B 由两向量组等价即可以互 相线性表示 知问题转化为矩阵方程BAX 及ABY 同时有解 课后答案网 w w w k h d a w c o m 由非齐次线性方程组 Ax解的理论知BAX 及ABY 有解 的充要条件是 r A r A B及 r B r B A 亦即 r A r B r A B 现由 11010 1 0111 43121 A B M M M 1 1 0 10 0 1 1 21 0 0 000 M M M 知 r A r B r A B 2 即向量组 1 和 2 等价 5 已知向量组 1 e 2 e K n e可由向量组 1 2 K n 线性 表示 试证 1 2 K n 线性无关 其中 i e i 1 2 K n 是n阶单位矩阵的第i列 证 由定理 若向量组A可由向量组B线性表示则向量组A的秩 不大于向量组B的秩 及 n eee 21 K的秩为n 知向量组 n 21 K的秩必大于等于n 而它只含n个向量 故 n 21 K的秩只能为n 亦即 n 21 K的线性无关 6 已知向量组 1 2 K n 线性无关 且 1 1 2 2 2 3 K n n 1 试讨论 1 2 K n 的线性 相关性 解 记矩阵 n A 21 K n B 21 K 依题意 则有 n B 21 K n 21 K 11 11 11 11 OO AC 课后答案网 w w w k h d a w c o m 其中C为n阶方阵 而 为奇数时 为偶数时 n n C 2 0 由 n 21 K线 性无关知矩阵A满秩 所以 当n为 偶 数 时 即C为 降 秩 阵 时 由B AC及 nCrArBr 则AB 0 2 如果mn知AB是降秩阵 即0 AB 2 若nm 则一方面 mnmBr min 另一方面由 BrABrIr 及AB是mm 矩阵知有 Brm 综合得 mBr 8 设A是nm 矩阵 试证1 Ar的充分必要条件是存在非零向 量 使成 T A 证 充 分 性 由 矩 阵 秩 的 不 等 式 性 质 一 方 面 有 min T rrAr 而 为非零向量 故1 T rr 即1 r A 另一方面 1 T rrAr 即1 Ar 综 课后答案网 w w w k h d a w c o m 合得1 Ar 必要性 由矩阵的标准形分解理论 知存在两个可逆矩阵 nnmm QP 使A PNQ 其中N为A的标准形 由1 Ar 知 N 1 0 0 O 即 A P O0 01 Q P 0 0 1 0 0 1 K M Q 1 0 1 0 0 0 PQ K M 若记 0 0 1 M P 1 0 0 T Q K 则由P Q为可逆矩阵