范里安高微第三版1-7章奇数习题答案.pdf

答案答案 1 1 技术技术 1 1假 有许多反例 考虑由生产函数 2 xxf 规定的技术 生产集 2 xyxyY 当然不是凸的 但投入要素集 yxxyv 是凸集 1 3a 1 和b 2 1 5将 i tx 代入 2 1 i得 21 1 21 1 2121 xxtfxxttxtxtxtxf 这意味着 CES 函数显示出不变规模收益 因此规模弹性为 1 1 7令 xhgxf 并假设 xhgxhg 由于 g 是单调的 结果有 xhxh 现在 xthgtxhg 且 xthgx thg 这给出了所需要的 结果 1 9注意 我们可以写成 1 2 21 2 1 21 1 1 21 x aa a x aa a aa 现在直接规定 211 aaab 和 1 21 aaA 1 11 a对于所有0 y 这是闭且非空的 如果我们允许投入为负 等产量线 看起来恰似里昂惕夫技术 除非我们以单位ylog而不是 y 来衡量产出 因此 等产量曲线的形状将是相似的 可以推出这表明了技术是单调且凸的 1 11 b这是非空且非闭的 它是单调且凸的 1 11 c这是正则的 21 xxf的导数都是正的 所以技术是单调的 由于等产 量曲线凸向原点 所以生产函数是凹的是充分的 但不是必要的 为了验证这 点 用生产函数的二阶导数形成一个矩阵 并看它是否为负半定 海赛阵的第一 个主子阵必有一个负的行列式 第二个主子阵必有一个非负的行列式 2 1 2 2 3 1 2 1 2 4 1 xx x xf 2 1 2 2 1 1 21 2 4 1 xx xx xf 2 3 2 2 1 1 2 2 2 4 1 xx x xf 海赛阵 2 3 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 xxxx xxxx 0 4 1 2 1 2 2 3 11 xxD 0 16 1 16 1 1 2 1 1 1 2 1 12 xxxxD所以投入要素集是凸的 1 11 d这是正则 单调且凸的 1 11 e这是非空的 但没有办法生产任何1 y 它是单调且弱凸的 1 11 f这是正则的 为了检验单调性 写下生产函数 2211 bxxxaxxf 并 计算 2 1 2 2 1 1 1 2 1 xxa x xf 仅当 1 2 2 1 x x a 时这才是正的 因而投入要素集并不总是单调的 查看 f 的海赛阵 其行列式为零 且第一主子式为正 所以 f 不是凹的 仅 凭这点不足以证明投入要素集不是凸的 但我们可以说得更详细 f 是凸的 所 以具有下述形式的所有集合都是凸的 221121 ybxxxaxxx 对所有 y 的选择除了边界点外 这正是我们感兴趣 的投入要素集的补集 不等号的方向错了 作为凸集的补集 使得边界线不是 一条直线 我们的投入要素集本身因而不能是凸的 1 11 g 这一函数是一线性与一里昂惕夫函数的连续运用 所以它具有这两种函 数所拥有的所有性质 包括是正则 单调和凸的 2 2 利润最大化利润最大化 2 1对于利润最大化 库恩 塔克定理要求下列三个不等式成立 0 jj j xW x xf p 0 j j W x xf p 0 j x 注意 如果0 j x 那么我们必有 jj xxfpw 2 3在正文中曾为了这一技术而计算供给函数和要素需求 运用那些结果 利 润函数由下式给出 1 1 1 aa a ap w w ap w pwp 为了证明齐次性 注意 1 1 1 wpt ap w tw ap w tptwtp aa a 它意味着 wp 是一个一次齐次函数 在计算海赛阵之前 以下列方式把利润函数分解为 11 1 1 1 111 1 awpaawpwp a a aaa a a a a 其中 a 是严格正的 10 a 海赛阵现在可以写成 2 22 2 2 2 2 w wp pw wp wp wp p wp wpD 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 11 12 2 a wp a a wp a a wp a a wp a a a a aaa a aa a a a a a 这一矩阵的主子式为 0 1 11 12 2 awp a a a a a a 和0 所以 海赛阵是一个正半定矩阵 这意味着 wp 在 wp中是凸的 2 5 从前面的联系中 我们知道 ln ln ln 12121122 xxwwxwxw 微分 我们得 1 ln ln 1 ln ln 12 12 1122 TRSd xxd wwd xwxwd 2 7 a 我们想要最大化wxxx 2 20 一阶条件是0220 wx 2 7 b 由于最优的 x 为零 利润关于 x 的导数在0 x点必为非正的 当0 x或 20 w 有0220 wx 2 7 c 当0 w时 最优的x将为10 2 7 d 要素需求函数为210wx 或者 更确切地说 0 210max wx 2 7 e 利润作为产出的函数为xxwwxxx 20 20 2 将210wx 代入 得 2 2 10 w w 2 7 f 利润对w的导数为 210 w 当然 它是负的要素需求 3 3 利润函数利润函数 3 1 a 由于利润函数是凸的且是要素价格的减函数 我们知道0 ii w 且 0 ii w 3 1 b 它为零 3 1 c 对要素i的需求仅是第i个价格的函数 所以要素i的边际产品可以仅依赖 于要素i的数量 可以退出 221121 xgxgxxf 3 3一阶条件为 00 2 2 21 1 1 w x p aw x p a 可以很容易地解这些方程求出要素需求函数 代入目标函数就得出利润函 数 3 5 如果 i w是严格正的 厂商将永不会运用多于他需要的要素i 这意味着 21 xx 所以利润最大化问题可以写成 22111 maxxwxwpxa 一阶条件为0 21 1 1 wwpaxa 要素需求函数和利润函数是一样的 好像生产函数是 a xxf 一样 但要素价 格为 21 ww 而不是w 为了最大值存在 要求1 a 4 4 成本最小化成本最小化 4 1 令 x为价格 wp下利润最大化的一个投入向量 这意味着 对于所有可允 许的x x必须满足wxxpfwxxpf 假设对于产出 xf x没有使 成本最小化 即存在一个向量 x 满足 xfxf 与0 xxw 然而在 x 下所取得的利润 wxxpfwxxpf wxxpf 这与 x使利润最大化的假设相矛盾 4 3 按照前面习题中的逻辑 我们令边际成本相等 得1 1 y 我们还知道yyy 21 所以我们将这两个方程合并 得 12 yyy 看起来成 本方程为21121 yyyc 然而 经过思考 这不能是正确的 如果 1 1 y 显然在工厂 1 生产每件产品是更好的 有时 我们忽略了隐含的约束 0 2 y 实际的成本函数为 121 12 2 yy yy yc 当 当 4 5 利用行动a的成本是 2211 wawa 利用行动b的成本是 2211 wbwb 厂商将 利用更便宜的一个 所以 2211221121 min wbwbwawayywwc 例如 要素 1 的需求函数由下式给出 其他任意值 之间的与 当 当 ybya wbwbwawayb wbwbwawaya x 11 221122111 221122111 1 当 22112211 wbwbwawa 时 成本函数将是不可微的 4 7 不 数据违反了成本最小化的弱公理 WACM 生产 100 单位产出花费的成 本为 40 但在同一价格下 生产 110 单位的产出花费的成本仅为 38 5 5 成本函数成本函数 5 1 厂商想使生产既定的产出水平的成本最小化 2 2 2 1 21 minyyyc yy yyyts 21 解为 2 y 21 y y 代入目标函数 222 2 22 yyy yc 5 3 考虑第一项技术 如果用了它 那么我们需有yxx 21 2 由于这是线性的 厂商一般会分工 并根据哪一个更便宜而令yx 2 或者 2 1 y x 所以该技术的 成本函数为 2 1 2 min y 同理 另一种技术的成本函数为 2 min 4 3 y 由于必须用两种技术来生产 y 单位的产出 2 min 2 min 4 32 1 21 yyc 5 5 投入要素集不是凸的 由于 21 maxxxy 厂商将使用更便宜的要素 因此 成本函数为 yyc 2121 min 对要素 1 的要素需求函数具有如下形式 21 21 21 1 0 0 当 当或或者 当 y y x 5 7 建立极小化问题 21 minxx yxx 21 代入以得到无约束极小化问题 1 1 min x y x 一阶条件为 2 1 x y 1 他意味着yx 1 根据对称性 yx 2 给定了42 y 所以2 y 由此 可知4 y 5 9 a0 pydad 5 9 b 0 ycpdady 5 9 c 0 cnapDcapynap 5 11 a 0 0 1 1 x 5 11 b ywwww 4321 min 5 11 c 规模收益不变 5 11 d 0 1 0 1 x 5 11 e ywwwwywc 4321 min min 5 11 f 不变的 5 13 a 要素需求函数向下倾斜 所以当非熟练工人的工资增加时 对她们的需 求必下降 5 13 b 给定了0 pl 但根据对偶性 wypwwppl 22 于是有0 wy 5 15 根据函数的线性性 我们知道我们将或者运用 1 x 或者 2 x与 3 x的一个组合 来生产y 根据里昂惕夫函数的性质 我们知道如果我们用 2 x和 3 x来生产y 我 们必须用 3 单位的 2 x和 3 单位的 3 x来生产 1 单位的y 因而 如果使用 1 单位的 1 x的成本小于 2 x和 3 x都使用 1 单位的成本 我们将只使用 1 x 反过来说也是同样 的道理 条件要素需求可以写成 321 321 1 0 3 当 当y x 321 321 2 3 0 当 当 y x 321 321 3 3 0 当 当 y x 如果 321 那么具有 32 xx 及yxx3 21 或yxx3 31 的任一束 321 xxx都使成本最小化 成本方程为 321 min3 yywc 5 17a 21 bxaxy 5 17 b 注意 这一函数恰似一个线性函数 只是 1 x 和 2 x 的线性组合将生产 2 y而 不是 y 所以 我们知道如果 1 x相对便宜 我们将只使用 1 x 而不使用 2 x 5 17 c 成本函数为 min 21 2 b w a w yywc 6 6 对偶性对偶性 6 1 生产函数为 2121 xxxxf 条件要素需求具有如下形式 ji ji ji i ww ww wwy x 当之间的任意值与 当 当 y0 0 6 3 该成本函数必须是两种价格的增函数 所以 a 和 b 都是非负的 该成本函数 必须是两种价格的凹函数 所以 a 和 b 均小于 1 最后 该成本函数必