2010年5月高等数学竞赛试卷评析.pdf

西南科技大学 2009 2010 学年第二学期 高等数学 期末考试试卷 试卷 第页 共页 1 西南科技大学 2009 级高等数学竞赛试题评析 西南科技大学理学院 鲜大权 考试时间 2010 年 5 月 15 日 评卷人 得分 一 选择 4 小题 共 12 分 1 函数在点 处连续是它在该点偏导数存在的 zfy xy 00 0 0 xy xy 0 0 x A 必要而非充分条件 B 充分而非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 答 D 既非充分又非必要条件 反例1 在点的两个偏导数存在 但在该点不连续 0 1 yxf 反例2 2 yx 0 0 0 x f 2 yxf在点连续 但 0 均不存在 0 0 y f 2 设u y x arctan 则 u x A y xy 22 B x xy 22 C y 2 xy 2 D x xy 22 解 22 2 1 1 uyy y 2 xxx x y AB 即选A 3 曲线弧上的曲线积分和BA ABBA 上的曲线积分有关系 A f x y dsf ABBA x y ds B f x y dsf x y d s ABBA f x y dsf x y ds ABBA f x y dsfxy d C 0 D 0 s 777 3 ln sin DDD 答 因为关于弧长的曲线积分与曲线弧的方向无关 因此选B 4 设 12 Ixydxdy Ixydxdy Ixy dxdy 其 中D是 由 x 0 y 0 1 2 xy x y 1所围成的区域 则I1 I2 I3的大小顺序是 学院 班级名称 学号 姓名 教师 密 封 线 以 内 答 题 无 效 A I1 I2 I3 B I3 I2 I1 C I1 I3 I2 D I3 I1 I2 答 选C 参考单元作业题 设平面区域 D 由直线 2 1 yx1 yx 0 与两坐标轴 0 y D dxdyyxI 9 1 ln 9 2 D x围成 若 Ixydxdy D dxdyyxI 9 3 sin 1 I 则它们之间的大小顺序为 A 32 II B 123 III C D 231 III 213 III 图 f x yxy 解 积分区域如图 函数 在区域D内无极值 在边界有最大值1 和最小值 1 2 999 n10sin ln sin ln lxyxyxyxyxyxy 99 ln sin DDD 从而 9 xydxdyxydxdyxydxdy 所以点 11 24 为非极值点 函数 无极大值点 在点 z 2 3 1 3 2 ACB 处取极小值 注 教材P 110关于二元函数极值存在充分性定理中的判别式 用行列式记忆为 xxx yxyy zz D x y zz 0 yxfxy y 12 设闭区域为D上的连续函数 且 22 yxD 1 22 dudvvufyxyxf yxf Adudvv 8 D 求 解 设 在已知等式两边求区域D上的二重积分 有 uf D 从而 sin 23 22 000 112 1 cos 3323 rrdrd 所以 21Ad 8 2 dxdy A dxdyy D 1 2 xdxdyyxf DD 故 12 623 A 于是 22 42 1 323 f x yxy D f u v dudvA注 D AdxdyAS D 是一个实数 所以 f t 0 在参考 1997 III 设函数 上连续且满足方程 2 222 42 4 1 2 t xyt 2 tefxydx dy 求ff t 解 由极坐标有 222 22 000 111 2 222 tt f 222 4xyt xydxdydfr rdrrfr dr 22 4 0 1 2 2 t t terfr fdr t 2 4 88 t 两边对 求导得 f ttetf t f t 22288 4424 8 4 tdttdt ttt 的一阶线性非齐次微分方程有 解此关于 teedtc etdtc etc e 8f t 0 11 由已知有fc 2 24 41 t 因此 f tte y注 一阶线性非齐次微分方程p x yq x p x dxp x dx yq x edxc e 的通解公式为 13 计算二重积分 D xdxdy 其中D是由抛物线 2 1 2 yx 及直线y x 4所围成的区域 2 4 西南科技大学 2009 2010 学年第二学期 高等数学 期末考试试卷 试卷 第页 共页 4 解 原式 2 444 1 22 2 4 23 1 8 2 x x xdxdyxxx dx 1 14 计算I 2yzdv 其中 是由x2 z2 1 y 0 y 1所围的位于z 0部分的立体 解 2 11 00 2 dIx 1 0 d2yzdz x y 111 22 000 2 2 d 1 1 3 x yxxdx 1 0 15 已知L是由 22 xyy x所确定的平面域的边界线 求 L dsyx 22 cos 解 22 cos L dxys 2 1 2 000 12cosdcosdcos 2 dxxt 4 xx 2 2 1cos 4 1sin 0 2sin x 1cos 4 1sin2 16 计 算 曲 线 积 分 L yxxsin 2 dyyxydx cos 222 式 中L是 正 向 圆 周 22 xy 2 解 L的参数方程为 cos 2 02 sin 2 t xt yt 2 0 sincoscos 222 L xdxydytd 22 0 1 cos cos0 22 2 tt 评卷人 得分 四 证明 1小题 共8分 17 试证曲面的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数 xyza 3 xyz 000 证明 曲面上点处的切平面法向量为 ny zz xx y 000000 yyx yzz 0000 0 所以切平面方程为y zxxz x 00000 即 x x y y z z333 1 000 故得切平面与三个坐标平面所围四面体的体积 Vxyz 1 6 333 9 2 000 3 a为常数 xyza a参考单元作业题参考单元作业题 试证曲面0 上任何点处的切平面在各坐标轴 上的截距之和等于 a 证 令 F x y zxyza 000 P xyz 曲面上任一点 则曲面点处的法向量为 P 000 111 222 x