2012年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理.pdf

上海市教育考试院 保留版权保留版权 数学 理 2012 第1页 共4页 2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷 理工农医类 后二位 校验码 号 码 考生注意 1 答卷前 考生务必在答题纸上将姓名 高考准考证号填写清楚 并在规定的区域内 贴上条形码 PF 制作 2 本试卷共有 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一一 填空题 本大题填空题 本大题共有共有 14 题 题 满分满分 56 分 分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果 每个空格填对得结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 计算 3i 1i i 为虚数单位 2 若集合 210Axx 12Bx x 则AB 3 函数 2cos sin1 x f x x 的值域是 4 若 2 1 n 是直线 l 的一个法向量 则 l 的倾斜角的大小为 结果用反三角 函数值表示 PF 制作 5 在 6 2 x x 的二项展开式中 常数项等于 6 有一列正方体 棱长组成以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 体积分别记为 12 n V VV 则 12 lim n n VVV 7 已知函数 x a f xe a 为常数 若 f x在区间 1 上是增函数 则 a 的取值范围 是 8 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面 则该圆锥的体积为 9 已知 2 yf xx 是奇函数 且 1 1f 若 2g xf x 则 1 g 数学 理 2012 第2页 共4页 10 如图 在极坐标系中 过点 2 0 M的直线 l 与极轴的夹角 6 若将 l 的极坐标方程写成 f 的形式 则 f PF 制作 11 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人都选择其中两个项目 则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 结果用最简分数表示 12 在平行四边形 ABCD 中 3 A 边 AB AD 的长分别为 2 1 若 M N 分别是边 BC CD 上的点 且满足 BMCN BCCD 则AM AN 的取值范围是 13 已知函数 yf x 的图像是折线段ABC 其中 0 0 A 1 5 2 B 1 0 C 函数 yxf x 01x 的图像与 x 轴围成的图形的 面积为 PF 制作 14 如图 AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱 2BC 若 2ADc 且2ABBDACCDa 其中 a c 为常数 则 四面体 ABCD 的体积的最大值是 二二 选择题选择题 本大题本大题共有共有 4 题题 满分满分 20 分分 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸 的相应编号上 将代表答案的小的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 若12i 是关于 x 的实系数方程 2 0 xbxc 的一个复数根 则 答 A 2b 3c B 2b 3c C 2b 1c PF 制作 D 2b 1c 16 在 ABC中 若 222 sinsinsinABC 则 ABC的形状是 答 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 17 设 4 1234 1010 xxxx 5 5 10 x 随机变量 1 取值 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x的概率均 为 0 2 随机变量 2 取值 12 2 xx 23 2 xx 34 2 xx 45 2 xx 51 2 xx 的概率也均为 0 2 若记 1 D 2 D 分别为 1 2 的方差 则 答 A 12 DD B 12 DD C 12 DD D 1 D 与 2 D 的大小关系与 1 x 2 x 3 x 4 x的取值有关 l xMO D A B C 数学 理 2012 第3页 共4页 18 设 1 sin 25 n n a n 12nn Saaa 在 12100 S SS中 正数的个数是 答 A 25 B 50 C 75 D 100 PF 制作 三三 解答题 本大题解答题 本大题共有共有 5 题 题 满分满分 74 分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 底面 ABCD E 是 PC 的中点 已知2AB AD2 2 2PA 求 1 三角形 PCD 的面积 PF 制作 2 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知函数 lg 1 f xx PF 制作 1 若0 1 2 1fxf x 求 x 的取值范围 2 若 g x是以2为周期的偶函数 且当01x 时 有 g xf x 求函数 yg x 1 2 x 的反函数 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为原点 以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处 如图 现假设 失事船的移动路径可视 为抛物线 2 12 49 yx 定位后救援船即刻沿直线匀速 前往救援 救援船出发 t 小时后 失事船所在位置的 横坐标为7t PF 制作 1 当0 5t 时 写出失事船所在位置 P 的纵坐标 若 此时两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 P A B C D E x A O y P PF 制作 数学 理 2012 第4页 共4页 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知双曲线 22 1 2 1Cxy 1 过 1 C的左顶点引 1 C的一条渐近线的平行线 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积 PF 制作 2 设斜率为 1 的直线 l 交 1 C于 P Q 两点 若 l 与圆 22 1xy 相切 求证 OPOQ 3 设椭圆 22 2 4 1Cxy 若 M N 分别是 1 C 2 C上的动点 且OMON 求证 O 到直线 MN 的距离是定值 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 PF 制作 对 于 数 集 12 1 n Xx xx 其 中 12 0 n xxx 2n 定 义 向 量 集 Ya as tsXtX 若对任意 1 aY 存在 2 aY 使得 12 0a a 则称 X 具有性质 P 例如 1 1 2 具有性质 P 1 若2x 且 1 1 2 x 具有性质 P 求 x 的值 2 若 X 具有性质 P 求证 1X 且当1 n x 时 1 1x 3 若 X 具有性质 P 且 1 1x 2 xq q 为常数 求有穷数列 12 n x xx的通项公 式 上海市教育考试院 保保留版权留版权 高考 2012 数学 理 答案 第1页 共6页 2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷 理工农医类 答案要点及评分标准 说明 1 本解答列出试题的解法 如果考生的解法与所列解法不同 可参照解答中评分标准 的精神进行评分 PF 制作 2 评阅试卷 应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅 当考生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时 可视影响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半 如果有较严重的概念性错误 就不给分 解答 一一 第 第 1 题题至至第第 14 题 题 PF 制作制作 1 1 2i 2 1 3 2 3 53 22 4 arctan2 5 160 6 8 7 7 1 8 3 3 9 1 10 1 sin 6 11 2 3 12 2 5 13 5 4 14 22 2 1 3 c ac PF 制作 二二 第 第 15 题至第题至第 18 题 题 题 号 15 16 17 18 代 号 B C A D 三三 第 第 19 题题至至第第 23 题 题 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 PF 制作 1 因为PA 底面 ABCD 所以PACD 又ADCD 所以CD 平面 PAD 从而CDPD 3 分 因为 2 2 22 22 3PD 2CD 所以三角形 PCD 的面积为 1 2 2 32 3 2 6 分 PF 制作 P A B C D E PF 制作 高考 2012 数学 理 答案 第2页 共6页 2 解法一解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 则 2 0 0 B 2 2 2 0C 1 2 1E 1 2 1AE 0 2 2 0BC 8 分 设AE与BC的夹角为 则 42 cos 222 2 AE BC AE BC 4 PF 制作 由此知 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 12 分 解法二解法二 取 PB 中点 F 联结 EF AF 则 EFBC 从 而AEF 或其补角 是异面直线 BC 与 AE 所成的角 8 分 在 AEF中 由2EF 2AF 2AE 知 AEF是 等腰直角三角形 所以 4 AEF 因此 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 12 分 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 1 由 220 10 x x 得11x PF 制作 由 22 0lg 22 lg 1 lg1 1 x xx x 得 22 110 1 x x 3 分 因为10 x 所以1221010 xxx 21 33 x 由 11 21 33 x x 得 21 33 x 6 分 2 当 1 2 x 时 2 0 1 x 因此 2 2 2 lg 3 yg xg xgxfxx 10 分 由单调性可得 0 lg2 y 因为3 10yx 所以所求反函数是3 10 0 lg2 x yx 14 分 P A B C D E x y z P A B C D EF 高考 2012 数学 理 答案 第3页 共6页 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 1 0 5t 时 P 的横坐标 7 7 2 P xt 代入抛物线方程 2 12 49 yx 得 P 的纵坐标3 P y 2 分 由 949 2 AP 得救援船速度的大小为949海里 时 4 分 由 7 tan 30 OAP 得 7 arctan 30 OAP 故救援船速度的方向为北偏东 7 arctan 30 弧度 6 分 2 设救援船的时速为 v 海里 经过 t 小时追上失事船 此时位置为 2 7 12 tt 由 222 7 1212 vttt PF 制作 整理得 22 2 1 144337vt t 10 分 因为 2 2 1 2t t 当且仅当1t 时等号成立 所以 22 144 233725v 即25v 因此 救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 14 分 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 1 双曲线 2 2 1 1 1 2 x Cy 左顶点 2 0 2 A 渐近线方程 2yx 过点 A 与渐近线2yx 平行的直线方程为 2 2 2 yx 即21yx 解方程组 2 21 yx yx 得 2 4 1 2 x y PF 制作 2 分 所以所求三角形的面积为 12 28 SOA y 4 分 2 设直线 PQ 的方程是yxb 因直线 PQ 与已知圆相切 故1 2 b 即 2 2b 6 分 由 22 21 yxb xy 得 22 210 xbxb 设 11 P x y 22 Q x y 则 12 2 12 2 1 xxb x xb PF 制作 高考 2012 数学 理 答案 第4页 共6页 又 1212 y yxb xb 所以 2 12121212 2 OP OQx xy yx xb xxb 2222 2 1 220bbbb 故OPOQ 10 分 3 当直线 ON 垂直于 x 轴时 1ON 2 2 OM 则 O 到直线 MN 的距离为 3 3 当直线 ON 不垂直于 x 轴时 设直线 ON 的方程为ykx 显然 2 2 k 则直线 OM 的方程为 1 yx k 由 22 41 ykx xy 得 2 2 2 2 2 1 4 4 x k k y k 所以 2 2 2 1 4 k ON k 同理 2 2 2 1 21 k OM k PF 制作 13 分 设 O 到直线 MN 的距离为 d 因为 2222 2 OMONdOMON 所以 2 2222 11133 3 1 k dk OMON 即 3 3 d 综上 O 到直线 MN 的距离是定值 16 分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 1 选取 1 2 ax Y 中与 1 a垂直的元素必有形式 1 b 2 分 所以2xb 从而4x PF 制作 4 分 2 证明证明 取 111 ax xY 设 2 as tY 满足 12 0aa 由 1 0st x 得0st 所以 s t 异号 因为1 是 X 中唯一的负数 所以 s t 之中一为1 另一为 1 故1X 7 分 假设1 k x 其中1kn 则 1 01 n xx 高考 2012 数学 理 答案 第5页 共6页 选取 11 n ax xY 并设 2 as tY 满足 12 0aa 即 1 0 n sxtx 则 s t 异号 从而 s t 之中恰有一个为1 若1s 则 11n xtxtx 矛盾 若1t 则 1nn xsxsx 矛盾 所以 1 1x 10 分 3 解法一解法一 猜测 1i i xq 1 2 in 12 分 记 2 1 1 kk Axx 2 3 kn 先证明 若 1k A 具有性质 P 则 k A也具有性质 P 任取 1 as t k s tA 当 s t 中出现1 时 显然有 2 a满足 12 0aa 当1s 且1t 时 则 1s t PF 制作 因为 1k A 具有性质 P 所以有 211 as t 111 k s tA 使得 12 0aa 从而 1 s和 1 t中有 一个是1 不妨设 1 1s 假设 11k tA 且 1k tA 则 11k tx 由 1 1 0 k s tx 得 11kk stxx 与 k sA 矛 盾 所以 1k tA 从而 k A也具有性质 P PF 制作