2009年全国高考试卷(文科数学)(浙江卷).pdf

2009200920092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷浙江卷 数数数数学学学学 文科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 5 页 选择题部分 1 至 2 页 非选择题部 分 3 至 5 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共 50 分 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 球的表面积公式棱柱的体积公式 2 4SR VSh 球的体积公式其中S表示棱柱的底面积 h表示棱柱的高 3 3 4 RV 棱台的体积公式 其中 R 表示球的半径 3 1 2211 SSSShV 棱锥的体积公式其中 S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 1 3 VSh h表示棱台的高 其中S表示棱锥的底面积 h表示棱锥的高如果事件 A B互斥 那么 P ABP AP B 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设U R R R R 0 Ax x 1 Bx x 则 U AB I A 01 xx B 01 xx C 0 x x 1 B 命题意图 本小题主要考查了集合中的补集 交集的知识 在集合的运算考查对 于集合理解和掌握的程度 当然也很好地考查了不等式的基本性质 解析 对于 1 U C Bx x 因此 U AB I 01 xx 是 0 x 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 2 A 命题意图 本小题主要考查了命题的基本关系 题中的设问通过对不等关系的分 析 考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度 解析 对于 0 x 0 x 反之不一定成立 因此 0 x 是 0 x 的充分而不必 要条件 3 设1zi i是虚数单位 则 2 2 z z A 1i B 1i C 1i D 1i 3 D 命题意图 本小题主要考查了复数的运算和复数的概念 以复数的运算为载体 直 接考查了对于复数概念和性质的理解程度 解析 对于 22 22 1 121 1 ziiii zi w w w k s 5 u c o m 4 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 4 C 命题意图 此题主要考查立体几何的线面 面面的位置关系 通过对平行和垂直的 考查 充分调动了立体几何中的基本元素关系 解析 对于 A B D 均可能出现 l 而对于 C 是正确的 w w w k s 5 u c o m 5 已知向量 1 2 a a a a 2 3 b b b b 若向量c c c c满足 cabcabcabcab cabcabcabcab 则c c c c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 5 D 命题意图 此题主要考查了平面向量的坐标运算 通过平面向量的平行和垂直关系 的考查 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 解析 不妨设 Cm n u r 则 1 2 3 1 acmnab rrrr 对于 cab rrr 则有3 1 2 2 mn 又 cab rrr 则有 30mn 则有 77 93 mn 6 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B 在椭圆上 且BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB uuu ruuu r 则 椭圆的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 6 D 命题意图 对于对解析几何中与平面向量结合的考查 既体现了几何与向量的交汇 也体现了数形结合的巧妙应用 解析 对于椭圆 因为2APPB uuu ruuu r 则 1 2 2 2 OAOFace w w w k s 5 u c o m 7 某程序框图如图所示 该程序运行后输出的k的值是 A 4B 5 C 6D 7 7 A 命题意图 此题考查了程序语言的概念和基本的应用 通过对程序语言的考查 充 分体现了数学程序语言中循环语言的关键 解析 对于0 1 1ksk 而对于1 3 2ksk 则2 38 3ksk 后面是 11 3 382 4ksk 不符合条件时输出的4k 8 若函数 2 a f xxa x R R R R 则下列结论正确的是 A a R R R R f x在 0 上是增函数w w w k s 5 u c o m B a R R R R f x在 0 上是减函数 C a R R R R f x是偶函数 D a R R R R f x是奇函数 8 C 命题意图 此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识 通过对量词的 考查结合函数的性质进行了交汇设问 解析 对于0a 时有 2 fxx 是一个偶函数 9 已知三角形的三边长分别为3 4 5 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3B 4C 5D 6 9 C 命题意图 此题很好地考查了平面几何的知识 全面而不失灵活 考查的方法上面 的要求平实而不失灵动 既有切线与圆的位置 也有圆的移动 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于 圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能实现 10 已知a是实数 则函数 1sinf xaax 的图象不可能 是 w w w k s 5 u c o m 10 D 命题意图 此题是一个考查三角函数图象的问题 但考查的知识点因含有参数而 丰富 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度 解析 对于振幅大于 1 时 三角函数的周期为 2 1 2TaT a Q 而 D 不符合 要求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了2 非选择题部分 共 100 分 注意事项 1 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上 不能答在试题卷上 2 在答题纸上作图 可先使用 2B 铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a w w w k s 5 u c o m 11 15 命题意图 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式 通过对数列知 识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq w w w k s 5 u c o m 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体 的体积是 3 cm 12 18 命题意图 此题主要是考查了几何体的三视图 通过 三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求 与表面积和体 积结合的考查方法 解析 该几何体是由二个长方体组成 下面体积为1 3 39 上面的长方体体积为3 3 19 因此其几何体的体积为 18 13 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 w w w k s 5 u c o m 13 4 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画 线性区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 14 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下 则在区间 4 5 上的数据的频数 为 14 30 命题意图 此题考查了频率分布直方图 通过设问既考查了设图能力 也考查了运用图表解决 实际问题的水平和能力 解析 对于在区间 4 5的频率 组距的数值为0 3 而总数为 100 因此频数为 30w w w k s 5 u c o m 15 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价 该地区的电网销售电价 表如下 高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 单位 千瓦时 高峰电价 单位 元 千瓦 时 低谷月用电量 单位 千瓦时 低谷电价 单位 元 千瓦 时 50 及以下的部分0 56850 及以下的部分0 288 超过 50 至 200 的部 分 0 598超过 50 至 200 的部分0 318 超过 200 的部分0 668超过 200 的部分0 388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为200千瓦时 低谷时间段用电量为100千瓦 时 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元 用数字作答 15 148 4 命题意图 此题是一个实际应用性问题 通过对实际生活中的电费的计算 既考查了函数的概念 更侧重地考查了分段函数的应用w w w k s 5 u c o m 解析 对于应付的电费应分二部分构成 高峰部分为50 0 568 150 0 598 对于低峰 部分为50 0 28850 0 318 二部分之和为148 4w w w k s 5 u c o m 16 设等差数列 n a的前n项和为 n S 则 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 16 12 T T 成等比 数列 16 812 48 TT TT 命题意图 此题是一个数列与类比推理结合的问题 既考查了数列中等差数 列和等比数列的知识 也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w w w k s 5 u c o m 解析 对于等比数列 通过类比 有等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 812 48 TT TT 16 12 T T 成等比数列 w w w k s 5 u c o m 17 有20张卡片 每张卡片上分别标有两个连续的自然数 1k k 其中0 1 2 19k L 从这20张卡片中任取一张 记事件 该卡片上两个数的各位数字之和 例如 若取到 标有9 10的卡片 则卡片上两个数的各位数字之和为9 1010 不小于14 为A 则 P A w w w k s 5 u c o m 17 1 4 命题意图 此题是一个排列组合问题 既考查了分析问题 解决问题的能力 更 侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 解 析 对 于 大 于 14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有 5 种 情 况 即 7 8 8 9 16 17 17 18 18 19 而基本事件有 20 种 因此 P A 1 4 w w w k s 5 u c o m 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 且满足 2 5 cos 25 A 3AB AC uuu r uuu r I 求ABC 的面积 II 若1c 求a的值 18 解析 5 3 1 5 52 21 2 cos2cos 22 A Aw w w k s 5 u c o m 又 0 A 5 4 cos1sin 2 AA 而3 5 3 cos bcAACABACAB 所以5 bc 所以ABC 的面积为 2 5 4 5 2 1 sin 2 1 Abc 由 知5 bc 而1 c 所以5 b 所以5232125cos2 22 Abccba 19 本题满分 14 分 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB o P Q分 别 为 2 AE AB的中点 I 证明 PQ平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 19 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 20 本题满分 14 分 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常 数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 20 解析 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 Q成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 21 本题满分 15 分 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R R R R I 若函数 f x的图象过原点 且在原点处的切线斜率是3 求 a b的值 II 若函数 f x在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解析 由题意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 3 2 0 0 0 aaf bf 解得0 b 3 a或1 a 2 函数 xf在区间 1 1 不单调 等价于 导函数 xf 在 1 1 既能取到大于 0 的实数 又能取到小于 0 的实数 即函数 xf 在 1 1 上存在零点 根据零点存在定理 有 0 1 1 ff 即 0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 0 1 1 5 2 aaa 解得15 上一点 4 A m 到其焦点的距离为17 4 I 求p与m的值 II 设抛物线C上一点P的横坐标为 0 t t