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第 1 页 共 8 页 华中农业大学 2013 年大学数学竞赛试题 非数学专业组 试卷满分 100 分时间 180 分钟答题形式 闭卷 题 号一二三四五六七总 分 满分30121012101214 得 分 一 计算下列各题 要求写出主要步骤 本大题共 5 小题 每小 题 6 分共 30 分 1 求 sin1 sin1 sin1 lim 2 xx x x 0 2 求曲线1lnln yx所围成图形的面积 本题 得分 班级姓名学号 装 订 线 第 2 页 共 8 页 3 计算 dVzyx 2 其中1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 4 计算 dsyxI 3 2 22 其中0 0 2222 a zyx azyx 5 求级数 1 1 n n n 的和 第 3 页 共 8 页 二 本题 12 分 设函数 yxzz 有二阶连续偏导数 并且满足 02 2 22 2 2 y z C yx z B x z A 其中 0 2 ACB 若令 yxv yxu 试确定常数 的值 使原方程变为 0 2 vu z 并求出 yxzz 本题 得分 第 4 页 共 8 页 三 本题 10 分 在曲面0 2222 zyxxzzyyx上点 0 0 0 处的切平面 内求一点 P 使点 P 到点 2 1 2 A和点 2 1 3 B的距离的平方和为最小值 本题 得分 装 订 线 第 5 页 共 8 页 四 本题 12 分 设函数 yxfz 为具有二阶连续偏导数的二次 齐次函数 即对任何tyx 成立 2 yxfttytxf 1 证明 2 2 yxfyxf y y x x 2 设D是由4 22 yxL所围成的闭区域 证明 dyxgradfdivdsyxf D L 本题 得分 装 订 线 第 6 页 共 8 页 五 本题 10 分 设 f t 在 0 上连续 且满足 222 2 4 224 2 1 tyx t dxdyyxfetf 求 f t 本题 得分 第 7 页 共 8 页 六 本题 12 分 设函数 y 具有连续导数 在围绕原点的任意 分段光滑简单闭曲线L上 曲线积分 24 2 2 L y dxxydy xy 的值恒为同 一常数 1 证明 对右半平面0 x 内的任意分段光滑简单闭曲线C 有 24 2 0 2 C y dxxydy xy 2 求函数 y 的表达式 本题 得分 第 8 页 共 8 页 七 本题 14 分 证明方程0cos8 32
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