2009年广东高考(理科)数学试题(附答案).pdf

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 1 页 共 11 页 绝密 启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不 准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号 或题组号 对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项符合要求的 1 已知全集UR 集合 212 Mxx 和 21 1 2 Nx xkk 的关系 的韦恩 Venn 图如图 1 所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 2 设z是复数 a z表示满足1 n z 的最小正整数n 则对虚数单位i a i A 8 B 6 C 4 D 2 3 若函数 yf x 是函数 0 1 x yaaa 且的反函数 其图像经过点 a a 则 f x A 2 log x B 1 2 logx C 1 2 x D 2 x 4 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa w w w k s 5 u c o m 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 2 页 共 11 页 A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 w w w k s 5 u c o m 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是w w w k s 5 u c o m A 和 B 和 C 和 D 和 6 一质点受到平面上的三个力 123 F FF 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为w w w k s 5 u c o m A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 w w w k s 5 u c o m 7 2010 年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其 余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有w w w k s 5 u c o m A 36 种 B 12 种 C 18 种 D 48 种 8 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的 速度曲线分别为vv乙 甲和 如图 2 所示 那么对于图中给定的 01 tt和 下列判断中一定正确 的是 A 在 1 t时刻 甲车在乙车前面 w w w k s 5 u c o m B 1 t时刻后 甲车在乙车后面 C 在 0 t时刻 两车的位置相同 D 0 t时刻后 乙车在甲车前面 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 12 题 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 3 页 共 11 页 9 随机抽取某产品n件 测得其长度分别为 12 n a aa 则图 3 所示的程序框图输出的 s s表示的样本的数字特征是 注 框图中的赋值符号 也 可以写成 10 若平面向量a b满足1 ba ba 平行于x轴 1 2 b 则 a w w w k s 5 u c o m 11 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且G上一点到G的两 个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 12 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若0EX 1DX 则a b 二 选做题 13 15 题 考生只能从中选做两题 13 坐标系与参数方程选做题 若直线 2 21 1 kty tx l t为参数 与直线 2 12 xs l ys s为参数 垂直 则k 14 不等式选讲选做题 不等式 1 1 2 x x 的实数解为 15 几何证明选讲选做题 如图 4 点 A B C是圆O上的点 且 0 4 45ABACB 则圆O的面积等于 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分12分 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 0 2 1 求 sin和 cos的值 2 若 10 sin 0 102 求cos 的值 w w w k s 5 u c o m 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 4 页 共 11 页 17 本小题满分12分 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得的 API 数据按照区间 50 0 100 50 150 100 200 150 250 200 300 250 进行分组 得到频率分布直方图如图 5 1 求直方图中x的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已知7812557 1282 7 365 2 1825 3 1825 7 9125 123 9125 8 1825 3 573365 18 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体 1111 ABCDA B C D 的棱长为 2 点E是正方 形 11 BCC B的中心 点F G分别是棱 111 C DAA的中点 设点 11 E G 分别是点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的正投 影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线 1 FG平面 1 FEE z y x E1 G1 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 5 页 共 11 页 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 19 本小题满分 14 分 已知曲线 2 Cyx 与直线 20lxy 交于两点 AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域 含边界 为 D 设点 P s t是L上的任一点 且点P与点A和点B均不重合 1 若点Q是线段AB的中点 试求线段PQ的中点M的轨迹方程 w w w k s 5 u c o m 2 若曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与D有公共点 试求a的最小值 20 本小题满分 14 分 已知二次函数 yg x 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 yg x 在1x 处 取得极小值1 0 mm 设 g x f x x 1 若曲线 yf x 上的点P到点 0 2 Q的距离的最小值为2 求m的值 2 k kR 如何取值时 函数 yf xkx 存在零点 并求出零点 W w w k s 5 u c o m 21 本小题满分 14 分 已知曲线 22 20 1 2 n Cxnxyn 从点 1 0 P 向曲线 n C引斜率为 0 nn kk 的切线 n l 切点为 nnn P xy 1 求数列 nn xy与的通项公式 2 证明 13521 1 2 sin 1 nn n nn xx xxxx xy 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 6 页 共 11 页 参考 参考答案 1 B 解析 由 212 Mxx 得31 x 则 3 1 NM 有 2 个 选 B 2 C 解析 a i 1 n i 则最小正整数n为 4 选 C 3 B 解析 xxf a log 代入 a a 解得 2 1 a 所以 f x 1 2 logx 选 B 4 C 解 析 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 则 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 选 C w w w k s 5 u c o m 5 D 解析 选 D 6 D 解析 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以72 3 F 选 D 7 A 解析 分两类 若小张或小赵入选 则有选法24 3 3 1 2 1 2 ACC 若小张 小赵都入选 则有选法12 2 3 2 2 AA 共有选法 36 种 选 A w w w k s 5 u c o m 8 A 解析 由图像可知 曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t 0 1 t与x轴所围成图形面积大 则在 0 t 1 t时刻 甲车均在乙车前面 选 A w w w k s 5 u c o m 9 解析 s n aaa n 21 平均数 10 解析 0 1 ba或 0 1 则 1 1 1 2 0 1 a或 1 3 1 2 0 1 a 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 7 页 共 11 页 11 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 12 解析 由题知 12 11 cba 0 6 1 ca 1 12 1 211 222 ca 解得 12 5 a 4 1 b 13 解析 1 2 2 k 得1 k 14 解析 1 1 2 x x 2 3 02 2 1 02 21 22 x x xx x xx 且2 x 15 解析 解法一 连结OA OB 则 0 90 AOB 4 AB OBOA 22 OA 则 8 22 2 圆 S 解 法 二 2224 45sin 4 2 0 RR 则 8 22 2 圆 S 16解 1 a与b互相垂直 则0cos2sin ba 即 cos2sin 代入 1cossin 22 得 5 5 cos 5 52 sin 又 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 2 0 2 0 22 则 10 103 sin1 cos 2 cos 2 2 sin sin cos cos cos 17 解 1 由图可知 150 x 365 2 1825 3 1825 7 50 9125 123 150 9125 8 1825 3 解得 18250 119 x 2 219 50 365 2 50 18250 119 365 3 该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 5 3 365 219 50 365 2 50 18250 119 则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 8 页 共 11 页 5 2 5 3 1 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 78125 76653 5 3 5 2 5 3 5 2 1 166 7 077 7 CC 18 解 1 依题作点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E 1 G 则 1 E 1 G分别为 1 CC 1 DD的中点 连结 1 EE 1 EG ED 1 DE 则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积 其底 面 11FG DE面积为 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS 221 2 1 22 2 1 又 1 EE面 11FG DE 1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE 2 以D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别作x轴 y轴 z轴 得 1 2 0 1 E 1 0 0 1 G 又 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 则 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 01 1 0 1 FEFG 01 1 0 11 FEFG 即FEFG 1 11 FEFG 又FFEFE 1 1 FG平面 1 FEE 3 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 则 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 设异 面直线 11 E GEA与所成角为 则 3 3 3 2 1sin 19 解 1 联立 2 xy 与2 xy得2 1 BA xx 则AB中点 2 5 2 1 Q 设线段PQ 的中点M坐标为 yx 则 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又点P在 曲线C上 2 2 1 2 2 5 2 xy化简可得 8 11 2 xxy 又点P是L上的任一点 且不与点A和 点B重合 则2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 中点M的轨迹方程为 8 11 2 xxy 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 9 页 共 11 页 4 5 4 1 x 2 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 即圆E 25 49 2 22 yax 其圆心坐标为 2 aE 半径 5 7 r 由图可知 当20 a时 曲线 222 51 240 25 Gxaxyya 与点D有公共点 当0 a时 要使曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与点D有公 共 点 只 需 圆 心E到 直 线 20lxy 的 距 离 5 7 2 2 22 aa d 得 0 5 27 a 则a的最小值为 5 27 20 解 1 依题可设1 1 2 mxaxg 0 a 则aaxxaxg22 1 2 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm fxx xx 设 oo P x y 则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时 2 PQ取得最小值 即 PQ取得最小值2 当0 m时 2 222 m 解得12 m 当0 m时 2 222 m 解得12 m 2 由 120 m yfxkxk x x 0 x 得 2 120k xxm 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yfxkx 有一零点 2 m x 当1k 时 方程 有二解 4410mk x y o xA xB D 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 第 10 页 共 11 页 若0m 1 1k m 函数 yfxkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 若0m 1 1k m 函数 yfxkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 当1k 时 方程 有一