2013届万学海数一答案.pdf

1 20132013 届万学公共课学员届万学公共课学员 8 8 月份模拟测试题答案月份模拟测试题答案 数学一数学一 答题注意事项答题注意事项 1 考试要求考试要求 考试时间考试时间 180 分钟分钟 满分满分 150 分分 2 基本信息基本信息 学员姓名学员姓名 分数分数 2 一 选择题一 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 把所选 项前的字母填在题后的括号内 1 在 1 0 1 0 0 x x x f x e x 在0 x 处 A 极限不存在 B 极限存在但是不连续 C 连续但不可导 D 可导 答案 C 解析 先考虑极限 0 lim 0 x f x 0 lim 0 x f x 极限存在 0 0f 故连续 再考虑可导性 0 0 0 lim0 0 x f xf f x 0 0 0 lim1 0 x f xf f x 所以不可导 故答案选 C 2 设 f x g x是恒大于零的可导函数 且 0 fx g xf x g x 则当axb 时 有 A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 答案 A 解析 设 f x F x g x 则 2 0 fx g xf x g x F x gx 则 F x在axb 时单调递减 所以对axb F aF xF b 即 f af xf b g ag xg b 得 f x g bf b g x axb A 为正确选项 3 设 f x y与 x y 均为可微函数 且 0 y x y 已知 00 xy是 f x y在约束 条件 0 x y 下的一个极值点 下列选项正确的是 A 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy B 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy C 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy D 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy 答案 D 解析 方法 1 化条件极值问题为一元函数极值问题 3 已知 00 0 x y 由 0 x y 在 00 x y 邻域 可确定隐函数 yy x 满足 00 y xy dy xydx 00 xy是 f x y在条件 0 x y 的一个极值点 0 xx 是 zf x y x 的极值点 它的必要 条件是 00 0000 x xx x f xyf xydzdy dxxydx 0 000000 00 0 x y x x f xyf xyxy xyxy 若 00 0 x fx y 则必有 00 0 y fxy 或 00 0 x x y 因此不选 A B 若 00 0 x fx y 则 00 0 y fxy 否则 0 0 x x dz dx 因此选 D 方法 2 用拉格朗日乘数法 引入函数 F x yf x yx y 有 0 1 0 2 0 xxx yyy fx yx y fx yx y x y F F F 00 00 00 0000 00 00 0000 0 0 0 y y y yx x y xy fxy xy xy fxyxy fxy xy fxyfxy 代入 1 得 今则 故选 D 4 设 2222 1 0 S xyzazS 为S在第一卦限中的部分 则有 A 1 4 SS xdSxdS B 1 4 SS ydSxdS C 1 4 SS zdSxdS D 1 4 SS xyzdSxyzdS 答案 C 解析 方法 1 直接法 本题中S在xoy平面上方 关于yoz平面和xoz平面均对称 而 f x y zz 对 x y均为偶函数 则 1 12 0 24 SSxS zdSzdSzdS 性质性质 又因为 1 S上将x换为y y换为z 1 S不变 称积分区域 1 S关于 x y z轮换对称 从而将被积函数也作此 4 轮换变换后 其积分的值不变 即有 111 444 SSS zdSxdSydS 选项 C 正确 方法 2 间接法 排除法 曲面S关于yoz平面对称 x为x的奇函数 所以0 S xdS 而 1 S x d S 中0 x 且仅在yoz面上0 x 从而 1 0 S xdS A 不成立 曲面S关于zox平面对称 y为y的奇函数 所以0 S ydS 而 1 0 S xdS 所以 B 不成立 曲面S关于zox平面对称 xyz为y的奇函数 所以0 S xyzdS 而 1 0 S xyzdS 所以 D 不成立 选 C 5 设 m n A 矩阵经过若干次初等行变换后得到B 现有 4 个结论正确的是 A的行向量均可由B的行向量线性表示 A的列向量均可由B的列向量线性表示 B的行向量均可由A的行向量线性表示 B的列向量均可由A的列向量线性表示 A B C D 答案 D 解析 由题设A经初等行变换得到B知 有初等矩阵 12 s P PP使得 2 1 s PPPAB 记 2 1s PPPP 则 ij m m Pp 是可逆矩阵 将 A B均按行向量分块 有 1112111 2121222 111 m m mmmmm ppp ppp PAB ppp 这表明 1122 1 2 iiimmi pppim 故B的行向量均可由A的行向量线性表出 因 ij m m Pp 是可逆矩阵 所以两边同乘 1 P 得 11 221 mm P 故故A的行向量均可由B的行向量线 性表出 所以答案选 D 6 若三阶矩阵A与B相似 矩阵A的特征值为1 1 2 B是矩阵B的伴随矩阵 则行列式 1 1 2 AB 5 A 16 B 1 4 C 4 D 1 2 答案 A 解析 由 1 1 A A 及 3 1 i i A 知 1 1 2 A 再根据相似矩阵有相同的特征值 知矩阵B的特征 值为1 1 2 又知2B 从而 1 2 1 31 11 22816 2 ABA BABB A 故应选 A 7 设 A B C三个事件两两独立 则 A B C相互独立的充分必要条件是 A A与BC独立 B AB与A C独立 C AB与AC独立 D AB与AC独立 答案 A 解析 A B C相互独立 A B C三个事件两两独立且 P ABCP A P B P C 现在题设条件中已有 A B C三个事件两两独立 因此只要检查 P ABCP A P B P C 当选项 A 成立时 P ABCP A P BC 但题设条件 A B C三个事件两两独立 所以有 P BCP B P C 总之当 A 成立时 有 P ABCP A P BC P A P B P C 若 A B C相互独立 显然A与BC独立 所以选项 A 正确 8 设随机变量 X Y在区域 0Gx yaxaayaa 上服从均匀分布 则概率 222 P XYa A 随a的增大而增大 B 与a无关是个定值 C 随a的增大而减小 D 随a的变化增减不定 答案 B 解析 222 222 2 44 xya dxdy P XYa a 二 填空题二 填空题 本小题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 9 设 f x可导 且 1 00 0 2 f f 已知方程 f yy xee 确定隐函数 yy x 则曲线 yy x 在 6 点 1 0处的法线方程为 答案 21xy 解析 因为 f yy xee 两边取对数得到 ln xfyy 将方程两端对x求导 得到 1 fy yy x 将1 0 xy 代入 得1 0 1 1 fyy 再将 1 00 0 2 f f 代入得到 12 y 于是曲线 yy x 在点 1 0处的法线方程为 1 1 2 yx 即21xy 10 设 f x连续 且 0 arctan x tf xt dtx 则 1 0 f x dx 答案 1 2 解析 令xtu 则 0 0000 xxxx x tf xt dtxu f uduxu f u duxf u duuf u du 所以 00 arctan xx xf u duuf u dux 上式两端对x求导 得 2 0 1 1 x f u duxf xxf x x 即 2 0 1 1 x f u du x 令1x 则 1 0 1 2 f x dx 11 设函数 18126 1 222 zyx zyxu 单位向量 1 1 1 3 1 n 则 1 2 3 u n 答案 3 3 解析 设 f x y z有连续的一阶偏导数 0 cos cos cosl 为给定的向量l的单位向量 则 f x y z沿l方向的方向导数计算公式为 coscoscos ffff lxyz 因 为 18126 1 222 zyx zyxu 所 以 3 x x u 6 y y u 9 z z u 且 向 量n的 111 cos cos cos 333 7 于是所求方向导数为 1 2 3 u n 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 12 设0a xa xgxf 其他 若 10 0 而D表示全平面 则 D dxdyxygxfI 答案 2 a 解析 由题知 D dxdyxygxfI dxdya xyx 10 10 2 111 222 00 1 x x adxdyaxx dxa 13 已知三维向量空间的一组基为 123 1 1 0 1 0 1 0 1 1 TTT 则向量 2 0 0 T 在上 述基下的坐标是 答案 1 1 1 解析 设 112233 xxx 则 123 x x x就是 在 123 下的坐标 代入各分量 有 123 2110 0101 0011 xxx 解方程组 得 123 1 1 1xxx 故 在 123 下的坐标为 1 1 1 14 分别在区间 1 0 2 与 1 1 2 内任取出一个数 则 两数之和不小于 5 6 的概率为 答案 7 9 解析 在区间 1 0 2 与 1 1 2 内任取两个数 分别记为x与y 记 5 6 Axy 如图所示 在有限区域 1 1 0 1 2 2 Dx yxy 中 任取一点 任何一点被取到都是等可能的 该试验是几何概型 事件A等价于样本点落入阴影部分 x y 1 2 1 2 1 3 1 o 8 1 15 0 1 2 26 Ax yxyxy 所以 11111 7 22233 11 9 22 A D S P A S 三 解答题三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 设 x y uf y z 求du及 2u y z 解析 1212 22 xyydxxdyzdyydz duf df dff yzyz 3 分 1122 22 11 xy f dxffdyf dz yyzz 5 分 12 2 1ux ff yyz 7 分 2 12222 2222 11 uxyy fff y zyzzzz 12222 232 1xy fff yzzz 10 分 16 本题满分 10 分 设 1 D是由抛物线 2 2yx 和直线 2xa x 及0y 所围成的平面区域 2 D是由抛物线 2 2yx 和 直线0y xa 所围成的平面区域 其中02a 1 试求 1 D绕x轴旋转而成的旋转体体积 1 V 2 D绕y轴旋转而成的旋转体体积 2 V 2 问当a为何值时 12 VV 取得最大值 试求此最大值 解析 1 2 2 25 1 4 2 32 5 a Vxdxa 2 分 2 2 224 2 0 202 2 a y Vaadyaa 5 分 2 54 12 4 32 5 VVVaa 3 4 1 0 dV aa da 命 得1a 7 分 9 当01a 时0 dV da 当12a 时0 dV da 因 此1a 是V的 唯 一 极 值 点 且 是 极 大 值 点 9 分 所以是V的最大值点 129 max 5 V 10 分 17 本题满分 10 分 设 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 0 0 1 1ff 常数0 0ab 证明 1 存在 0 1 使 a f ab 2 存在 0 1 使 ab ab ff 解析 1 用连续函数零点定理 命 a xf x ab 2 分 有 0 0 1 0 故知存在 0 1 使 0 即有 a f ab 4 分 2 在区间 0 与 1 上 对 f x分别用拉格朗日中值定理知 存在 0 与 1 使 0 1 01 ffff ff 7 分 再以 0 0 0 1 1 a fff ab 代入 9 分 便得 1 1 1 abab ababab ffff 10 分 18 本题满分 10 分 求 sin cos xx L Ieym xy dxeym dy 其中L为由点 0 A a到点 0 0 O的上半圆周 22 0 xyax a m为常数 解析 作定向辅助线 0 0 OA yxa 由L与OA围成的区域记为D 它是半径为 2 a 圆心为 0 2 a 的上 半圆 2 分 记sin x Peym xy cos x Qeym 在D上用格林公式得 x y L a A O 10 LL OAOA IPdxQdyPdxQdyPdxQdy 4 分 OA D QP dxdyPdxQdy xy 5 分 注意到 在OA上0 0ydy 在D上coscos xx QP eyeymm xy 6 分 于是 0 a D Imxdxmdxdy 8 分 222 111 4 2228 a mamma 10 分 19 本题满分 10 分 1 验 证 函 数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y xx n 满 足 微 分 方 程 x yyye 2 利用 1 的结果求幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数 解析 1 36933 1 11 3 3 3 nn n xxxxx y x nn 6 9 的 收 敛 域 是 因 而 可 在 上逐项求导数 得 33 11 1 3 3 nn nn xx y x nn 31 1 3 1 n n x n 1 分 同理得 32 1 3 2 n n x y n 2 分 从而 32313 1111 1 1 32 31 3 nnnn nnnn xxxx y xy xy x nnnn x e 4 分 2 微分方程 x yyye 对应的齐次线性方程为0yyy 其特征方程为 2 10 11 其特征根为 13 22 i 所以其通解为 2 12 33 cossin 22 x yeCxCx 6 分 设非齐次方程的特解形式为 x yce 代入原非齐次方程得 xxxx cececee 所以 1 3 c 故微分方程 x yyye 的通解为 2 12 331 cossin 223 x x yeCxCxe 8 分 当0 x 时 有 1 12 1 0 1 3 131 0 0 223 yC yCC 得 12 2 0 3 CC 9 分 于是幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数为 2 231 cos 323 x x y xexex 10 分 20 本题满分 11 分 已知 1234 1 0 2 3 1 1 3 5 1 1 2 1 1 2 4 8 TTTT aa 及 1 1 3 5 Tb 1 a b为何值时 不能表示成 1234 的线性组合 2 a b为何值时 有 1234 的唯一的线性表示式 并写出该表示式 3 a b为何值时 有 1234 的无穷多线性表示式 并写出该表示式 解析 设 11223344 xxxx 按分量写出 则有 1234 234 1234 1234 1 21 23 2 43 35 8 5 xxxx xxx xxaxxb xxxax 1 分 对方程组的增广矩阵作初等行变换 有 12 11111 01121 23243 35185 1111111111 0112101121 01210010 0225200010 A b ab a abab aa 3 分 所以 1 当1 0ab 时 1 r Ar A b 方程组无解 即是不存在 1234 x x x x使得 11223344 xxxx 成立 不能表示成 1234 的线性组合 5 分 2 当1a 时 4r Ar A b 方程组有唯一解 21 0 111 T babb aaa 故 有唯一表达式 且 1234 21 0 111 babb aaa 7 分 3 当1 0ab 时 24r Ar A b 方程组有无穷多解 8 分 此时 1111110210 0112101121 0000000000 0000000000 A b 解得 121212 2 21 T xkk kkk k 10 分 故 有无穷多表达式 且 1211221324 2 21 kkkkkk 其中 12 k k为任意常数 11 分 21 本题满分 11 分 设二次型 22 1234341234 222f x x x xaxxx xx x 所对应的矩阵A有一个特征值是 3 求 1 a的值 并写出二次型的矩阵表达式 2 用正交变换将二次型 2T fx A x 化为标准形 并写出所用的正交变换及所得到的标准形 3 判断二次型 2T fx A x 是否为正定二次型 并证明你的结论 13 解 析 1 二 次 型 所 对 应 的 矩 阵 0100 1000 001 0012 A a 因 为 3 是 矩 阵A的 特 征 值 故 38 31 0EAa 解出2a 2 分 二次型的矩阵表达式为 T fx Ax 其中 1234 0100 1000 0021 0012 T xx xx xA 3 分 2 0100 1000 0021 0012 A 2 1000 0100 0054 0045 A 23 1000 01001054 1 9 0 00540145 0045 EA 1234 1 9 5 分 对应于 123 1 求解方程组 2 1 0EAx 2 1 00000011 00000000 00440000 00440000 EA 基础解系为 123 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 TTT 对应于 4 9 求解方程组 2 4 0EAx 2 4 80001000 08000100 00440011 00440000 EA 基础解系为 4 0 0 1 1 T 可以看出 1234 已经是相互正交的 7 分 14 对 1234 进行单位化 12 12 12 34 34 34 1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1 1 22 TT TT 8 分 取 1234 1000 0100 11 00 22 11 00 22 Q 则Q为正交矩阵 作正交变换xQy 则二次型 2T fx A x 化为标准形 2222 1234 9fyyyy 10 分 3 22 TAA 由于 2 A的特征值为1 1 1 9全大于零 所以二次型 2T fx A x