2013年广东高考文科数学A卷试题及答案(PDF)版.pdf

1 2013201320132013 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 文科 数学 文科 数学 文科 数学 文科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 考场号 座位号 填写在答题卡上 用 2B 铅笔讲试卷类型 A 填涂在答题卡相应的位置上 将条形码横贴在 答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试题与答题卡一并交回 参考公式 参考公式 锥体的体积公式为 1 3 VSh 其中 S 为锥体的底面积 h 为锥体的高 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 10101010 小题小题 每小题每小题 5 5 5 5 分分 满分满分 50505050 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 设集合 2 20 Sx xxxR 2 20 Tx xxxR 则ST A 0 B 0 2 C 2 0 D 2 0 2 2 函数 lg 1 1 x f x x 的定义域是 A 1 B 1 C 1 1 1 D 1 1 1 3 若 34i xyii x yR 则复数xyi 的模是 A 2B 3C 4D 5 4 已知 51 sin 25 那么cos A 2 5 B 1 5 C 1 5 D 2 5 2 2 1 2 1 5 执行如图 1 所示的程序框图 若输入n的值为 3 则输出s的值是 A 1B 2C 4D 7 6 某三棱锥的三视图如图 2 所示 则该三棱锥的体积是 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 1 7 垂直于直线1yx 且与圆 22 1xy 相切于第一象限的直线方程是 A 20 xy B 10 xy C 10 xy D 20 xy 8 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 l l 则 B 若l l 则 C 若l l 则 D 若 l 则l 9 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 1 0 F 离心率等于 2 1 则 C 的方程是 A 1 43 22 yx B 1 34 22 yx C 1 24 22 yx D 1 34 22 yx 10 设 a a a a是已知的平面向量且 0 0 0 0 a a a a 关于向量 a a a a的分解 有如下四个命题 给定向量 b b b b 总存在向量 c c c c 使 abcabcabcabc 给定向量 b b b b和 c c c c 总存在实数 和 使 abcabcabcabc 给定单位向量 b b b b和正数 总存在单位向量 c c c c和实数 使 abcabcabcabc 给定正数 和 总存在单位向量 b b b b和单位向量 c c c c 使 abcabcabcabc 上述命题中的向量 b b b b c c c c和 a a a a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 1 s i i 1 i n i 1 s 1 n s s i 1 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 5 5 小题 考生小题 考生作答作答 4 4 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 5 5 分 满分分 满分 20202020分分 一 必做题 一 必做题 11111111 13131313 题题 11 设数列 n a是首项为1 公比为2 的等比数列 则 1234 aaaa 12 若曲线 2 lnyaxx 在点 1 a处的切线平行于x轴 则a 13 已知变量 x y满足约束条件 1 11 03 y x yx 则z xy 的最大值是 二 选做题 二 选做题 14141414 15151515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线C的极坐标方程为2cos 以极点为原点 极轴为x轴的 正半轴建立直角坐标系 则曲线C的参数方程为 15 几何证明选讲选做题 如图 3 在矩形 ABCD 中 3AB 3BC BE AC 垂足为E 则ED 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 6 6 小题 满分小题 满分 80808080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 2cos 12 f xxxR 1 求 3 f 的值 2 若 33 cos 2 52 求 6 f 17 本小题满分 13 分 从一批苹果中 随机抽取 50 个 其重量 单位 克 的频数分布表如下 分组 重量 80 85 85 90 90 95 95 100 频数 个 5102015 1 根据频数分布表计算苹果的重量在 90 95 的频率 2 用分层抽样的方法从重量在 80 85 和 95 100 的苹果中共抽取 4 个 其中重量在 80 85 的有几个 3 在 2 中抽出的 4 个苹果中 任取 2 个 求重量在 80 85 和 95 100 中各有 1 个的概率 3 E E E E C C C CB B B B D D D DA A A A 4 4 G G G G E E E E F F F F A A A A B B B B C C C C D D D D 5 D D D D G G G G B B B B F F F F C C C C A A A A E E E E 18 本小题满分 13 分 如图 4 在边长为 1 的等边三角形ABC中 D E分别是 AB AC边上的点 ADAE F是BC的中 点 AF与DE交于点G 将ABF 沿AF折起 得到如图 5 所示的三棱锥ABCF 其中 2 2 BC 1 证明 DE 平面BCF 2 证明 CF 平面ABF 3 当 2 3 AD 时 求三棱锥FDEG 的体积 F DEG V 19 本小题满分 14 分 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 1 441 nn SannN 且 2514 a a a构成等比数 列 1 证明 21 45aa 2 求数列 n a的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 12231 1111 2 nn a aa aa a 到直线 20l xy 的距离为 3 2 2 设P为直线l 上的点 过点P作抛物线C的两条切线 PA PB 其中 A B为切点 1 求抛物线C的方程 2 当点 00 P xy为直线l上的定点时 求直线AB的方程 3 当点P在直线l上移动时 求AFBF 的最小值 21 本小题满分 14 分 设函数xkxxxf 23 Rk 1 当1 k时 求函数 xf的单调区间 2 当0 2 当2n 时 2 1 4411 nn San 22 11 4444 nnnnn aSSaa 2 22 1 442 nnnn aaaa 1 02 nnn aaa 当2n 时 n a是公差2d 的等差数列 2514 a a a 构成等比数列 2 5214 aaa 2 222 824aaa 解得 2 3a 由 1 可知 2 121 45 4 1aaa 21 3 12aa n a是首项 1 1a 公差2d 的等差数列 数列 n a的通项公式为21 n an 3 12231 1111111 1 33 55 72121 nn a aa aa ann 11111111 1 2335572121 111 1 2212 nn n 20 解 1 依题意 023 2 22 c d 解得1c 负根舍去 抛物线C的方程为 2 4xy 2 设点 11 A xy 22 B xy 00 yxP 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 抛物线C在点A处的切线PA的方程为 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 7 2 11 4 1 xy 1 1 2 yx x y 点 00 yxP在切线 1 l上 10 1 0 2 yx x y 同理 20 2 0 2 yx x y 综合 得 点 1122 A x yB xy的坐标都满足方程yx x y 00 2 经过 1122 A x yB xy两点的直线是唯一的 直线AB的方程为yx x y 00 2 即 00 220 x xyy 3 由抛物线的定义可知 12 1 1AFyBFy 所以 121212 111AFBFyyyyy y 联立 2 00 4 220 xy x xyy 消去x得 222 000 20yyxyy 22 1200120 2 yyxyy yy 00 20 xy 2 222 000000 21 221AFBFyyxyyy 2 2 000 19 22 5 2 22 yyy 当 0 1 2 y 时 AFBF 取得最小值为 9 2 21 解 2 321fxxkx 1 当1k 时 2 321 4 1280fxxx f x在R上单调递增 2 当0k 时 2 321fxxkx 其开口向上 对称轴 3 k x 且过 0 1 i 当 2 4124330kkk 即 30k 即 3k 时 令 2 3210fxxkx 解得 22 12 33 33 kkkk xx 注意到 21 0kxx 从而 21 0kxx f x 的最小值 mf kk 2 32322 222222 1 0