1.1.1两个基本计数原理.docVIP

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教材分析第1章计数原理江苏省宿迁市马陵中学范金泉本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具一、课程标准关于计数原理的表述及教学要求1表述：计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题2教学要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题（2）排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题（3）二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题二、课程标准与教学大纲在要求上的主要变化12002年4月由教育部颁布实施的教学大纲，将这一部分的教学内容的标题定为排列、组合、二项式定理，教学目标规定为：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题2对比2003年4月由教育部颁布的课程标准，一是章节名称变为计数原理，突显了计数原理的基础地位，同时在教学要求上，发生了明显的变化，主要变化有：（1）“计数原理”的要求由“掌握”变为“通过实例，总结出加法计数原理、分步乘法计数原理”；（2）“排列、组合”的要求也由“理解排列、组合的意义”变为“通过实例，理解排列、组合的概念”，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3）关于“排列数、组合数”，则由“掌握排列数计算公式，掌握组合数计算公式和组合数的性质”变为“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”（4）“二项式定理”由“掌握二项式定理和二项展开式的性质”变为“能用计数原理证明二项式定理”，省去了“二项展开式的性质”，并给出了参考例题1以上变化，主要是为了防止教学过程中“人为地加深难度，对知识点进行深挖”（5）教学课时也有所变化，教学大纲规定为18课时，而课程标准规定为14课时，减少了学时数三、江苏省普通高考数学学科考试说明中“计数原理”部分的考试范围与要求层次考试内容要求层次ABC计数原理加法原理与乘法原理排列与组合二项式定理四、江苏高考考题计数原理作为选修内容，只能出现在江苏省普通高考数学试卷的附加题部分，由于这一部分内容的考点较多，故涉及排列、组合、二项式定理的考题仅在2008年江苏省普通高考数学试卷中出现，为第23题（真题如下）：请先阅读：在等式cos2x2cos2x1（xR）的两边求导，得：（cos2x）（2cos2x1），由求导法则，得（sin2x）24cosx（sinx），化简得等式：sin2x2cosxsinx（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1x）n （xR，整数n2），证明：n （1x）n-11（2）对于正整数n3，求证：（i）0；（ii）0；（iii）本题重在考查二项式定理，并融入了导数的内容！（1）证明：在等式（1x）n两边求导得：n （1x）n-1n，故n （1x）n-11（2） （i）在等式n（1x）n-1中，令x1，则有0两边同乘以1得，0即0（ii）对等式n（1x）n-1再求导，得n（n1）（1x）n-2令x1，则有0两边乘以(1)2，得0由（i）得0（iii）因为所以五、江苏省数学学科关于计数原理的教学建议1分类计数原理和分步计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法教学中应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不是机械地套用公式通过对实际问题的分析，确定解决该问题是需要分类，还是需要分步，再选用相应的公式计算在本章的教学中，应注意控制题目的难度，避免繁琐的、技巧性过高的计数问题2在解决问题时，要让学生正确理解“完成一件事”的具体含义是什么，怎样才算“完成”，以及采用何种方式“完成”3解决计数应用问题的关键是设计完成一件事的过程，教学中要引导学生合理设计完成这件事的过程4解决本章的应用题，方法灵活多样，教学中要引导学生多方向地思考，选择最佳方案，使一些较复杂的问题得到简化5在教学中，可通过试验、画简图等方法帮助学生将问题直观化，进而寻求解题途径在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证本章教学约需14课时，具体分配如下：11两个基本计数原理约2课时12排列约3课时13组合约3课时14计数应用题约1课时15二项式定理约3课时本章复习与小结约2课时六、本章教学中应注意的几个问题1教材开篇在列举一些贴近生活的典型实例的基础上，用明确的语言指出了两个计数原理与加法、乘法运算之间的关系，并提出“不通过一个一个地数而确定这个数”的问题，从而使学生体会学习计数原理的必要性由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性，是训练学生推理技能的好素材.面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，可以达到以简驭繁、化难为易的效果2“完成一件事情”是一个比较抽象的词汇，它比学生熟悉的“完成一件工作”、“完成一项工程”的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生辨析例如：“从甲地到乙地”、“从甲地经丙地再到乙地”、“从中任取一本书”、“从中任取数学书、语文书各一本”、“从19这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数”等等，这些都是原理中所说的“完成一件事情”排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”、“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”建议在概念和例题的教学中，都要求学生先思考并说出要完成的一件事情是什么在实际应用中，学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同例如，在分析“从19这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数？”时，学生容易把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理3排列与组合的区别就是是否有“一定顺序”，为了让学生理解其含义，要结合实例进行认真分析例如，学生熟悉的排队问题中，“从前到后”、“从左到右”、都是“一定顺序”；安排工作时“上午在前下午在后”也是“一定顺序”；“从19这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”等等最后要使学生明确，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列4关于“一个排列”与“排列数”、“一个组合”与“组合数”的区别与联系，不应抽象地解释与强调，而应多通过实例引导学生分析5关于组合数公式的推导，不要急于求成，而要通过具体的实例加以引导例如课本是通过从a，b，c三个元素中每次取出两个元素给出的，在此基础上，又通过表1-3-1给出了从四个元素中每次取出三个的组合数与排列数的对比，进一步引导学生理解组合与组合数的计算，以及组合数与排列数的关系6一题多解在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证7二项式定理是本章的重点内容，二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”与以往教科书比较，猜想不是通过对中n取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对展开式的项的特征进行分析这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路在二项式定理的推导中，学生自觉地联系到两个计数原理是不容易的为此，教科书安排了如下过程：1在“情境问题”中给出了,的展开式，导出了的展开式问题；2详细写出用多项式乘法法则得到，的展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；3用组合知识分析的展开式中应有的项，以及每一个项的构成原由，得出系数的计数方法，从而得出的展开式从上述安排可以看到，得到二项式定理的猜想及其证明方法的核心就是应用两个计数原理总之，计数问题是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是根据实际问题的需要而提出的，教学中，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入课堂，而计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题，涉及大量的物理、生物、计算机的专业知识，体现了学