2014江苏高考数学.pdf

unconsciously hurt the feelings of someone who is used to zaijian 冶 摇摇In short not only has the inclusion poisoned Chinese it may also bring about distance between the Chinese people 数 学 玉 试 题 参考公式 第 3 题 摇 摇 圆柱的侧面积公式 S圆柱侧 cl 其中 c 是圆柱底面的周长 l 为母线长 圆柱的体积公式 V圆柱 Sh 其中 S 是圆柱的底面积 h 为高 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 共计70 分 请把答案填写在 答题卡相应位置上 踿踿踿踿踿踿踿踿 1 已知集合 A 2 1 3 4 B 1 2 3 则 A疑B 摇 银摇 2 已知复数 z 5 2i 2 i 为虚数单位 则 z 的实部为摇 银摇 3 右图是一个算法流程图 则输出的 n 的值是摇 银摇 4 从 1 2 3 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数 则所取 2 个数的 乘积为 6 的概率是摇 银摇 5 已知函数 y cosx 与 y sin 2x 渍 0臆渍 仔 它们的图象有一个 横坐标为 仔 3 的交点 则 渍 的值是摇 银摇 第 6 题 6 为了了解一片经济林的生长情况 随机抽测了其中 60 株 树木的底部周长 单位 cm 所得数据均在区间 80 130 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 60 株 树木中 有摇 银摇 株树木的底部周长小于 100 cm 7 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an 中 若 a2 1 a8 a6 2a4 则 a6的值是摇 银摇 8 设甲 乙两个圆柱的底面积分别为 S1 S2 体积分别为 V1 V2 若它们的侧面积相等 且S1 S2 9 4 则 V1 V2 的值是 摇 银摇 9 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 x 2y 3 0 被圆 x 2 2 y 1 2 4 截得的弦长 为摇 银摇 10 已知函数 f x x2 mx 1 若对于任意 x沂 m m 1 都有 f x b 0 的左 右焦点 顶点 B 的坐标为 0 b 连结 BF2并延长交椭圆于点 A 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另 一点 C 连结 F1C 1 若点 C 的坐标为 4 3 1 3 且 BF2 2 求椭圆的方程 2 若 F1C彝AB 求椭圆离心率 e 的值 18 本小题满分 16 分 如图 为保护河上古桥 OA 规划建一座新桥 BC 同时设立一个圆形保护区 规划要求 新桥 BC 与河岸 AB 垂直 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆 且古桥 两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m 经测量 点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处 点 C 位于点 O 正东方向170 m 处 OC 为河岸 tan蚁BCO 4 3 1 求新桥 BC 的长 2 当 OM 多长时 圆形保护区的面积最大 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x ex e x 其中 e 是自然对数的底数 1 证明 f x 是 R 上的偶函数 2 若关于 x 的不等式 m f x 臆e x m 1 在 0 上恒成立 求实数 m 的取值范围 3 已知正数 a 满足 存在 x0沂 1 使得 f x 0 a x3 0 3x 0 成立 试比较 ea 1与 ae 1的大小 并证明你的结论 20 本小题满分 16 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 若对任意的正整数 n 总存在正整数 m 使得 Sn am 则称 an 是 H 数列冶 1 若数列 an 的前 n 项和 Sn 2n n沂N 证明 an 是 H 数列冶 2 设 an 是等差数列 其首项 a1 1 公差 d 0 则 t 1 所以 m臆 t 1 t2 t 1 1 t 1 1 t 1 1 对任意 t 1 成立 因为 t 1 1 t 1 1逸2 t 1 1 t 1 1 3 所以 1 t 1 1 t 1 1 逸 1 3 当且仅当 t 2 即 x ln 2 时等号成立 因此实数 m 的取值范围是 1 3 3 解 令函数 g x ex 1 ex a x3 3 x 则 g忆 x ex 1 ex 3a x2 1 当 x逸1 时 ex 1 ex 0 x2 1逸0 又 a 0 故 g忆 x 0 所以 g x 是 1 上的单调 增函数 因此 g x 在 1 上的最小值是 g 1 e e 1 2a 由于存在 x0沂 1 使 ex0 e x0 a x3 0 3x 0 0 成立 当且仅当最小值 g 1 0 故 e e 1 2ae e 1 2 02 令函数 h x x e 1 lnx 1 则 h忆 x 1 e 1 x 令 h忆 x 0 得 x e 1 当 x沂 0 e 1 时 h忆 x 0 故 h x 是 e 1 上的单调增函数 所以 h x 在 0 上的最小值是 h e 1 注意到 h 1 h e 0 所以当 x沂 1 e 1 哿 0 e 1 时 h e 1 臆 h x h 1 0 当 x沂 e 1 e 哿 e 1 时 h x h e 0 所以 h x 0 对任意的 x沂 1 e 成立 淤 当 a沂 e e 1 2 e 哿 1 e 时 h a 0 即 a 1 e 1 lna 从而 ea 1 h e 0 即 a 1 e 1 lna 故 ea 1 ae 1 综上所述 当 a沂 e e 1 2 e 时 ea 1 ae 1 20 本小题主要考查数列的概念 等差数列等基础知识 考查探究能力及推理论证能力 满分 16 分 1 证明 由已知 当 n逸1 时 an 1 Sn 1 Sn 2n 1 2n 2n 于是对任意的正整数 n 总存 在正整数 m n 1 使得 Sn 2n am 所以 an 是 H 数列冶 2 解 由已知 得 S2 2a1 d 2 d 因为 an 是 H 数列冶 所以存在正整数 m 使得 S2 am 即 2 d 1 m 1 d 于是 m 2 d 1 因为 d 0 所以 m 2 0 y 0 证明 1 x y2 1 x2 y 逸9xy 揖必做题铱 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域 踿踿踿踿踿踿踿内作答 解答时应 写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 盒中共有 9 个球 其中有 4 个红球 3 个黄球和 2 个绿球 这些球除颜色外完全相同 1 从盒中一次随机取出 2 个球 求取出的 2 个球颜色相同的概率 P 2 从盒中一次随机取出 4 个球 其中红球 黄球 绿球的个数分别记为 x1 x2 x3 随机 变量 X 表示 x1 x2 x3中的最大数 求 X 的概率分布和数学期望 E X 23 本小题满分 10 分 已知函数 f0 x sinx x x 0 设 fn x 为 fn 1 x 的导数 n沂N 1 求 2 f1 仔 2 仔 2 f2 仔 2 的值 2 证明 对任意的 n沂N 等式n fn 1 仔 4 仔 4 fn 仔 4 2 2 都成立 数学域 附加题 参考答案 21 揖选做题铱 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题主要考查圆的基本性质 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 因为 B C 是圆 O 上的两点 所以 OB OC 故蚁OCB 蚁B 第 21 A 题 又因为 C D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 故蚁B 蚁D 为同弧所对的两个圆周角 所以蚁B 蚁D 因此蚁OCB 蚁D B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识 考查运算求解能力 满分 10 分 摇 解 由已知 得 住琢 12 1 x 2 y 2 2y 2 xy 注琢 11 2 1 2 y 2 y 4 y 因为 住琢 注琢 所以 2 2y 2 xy 2 y 4 y 故 2 2y 2 y 2 xy 4 y 解得 x 1 2 y 4 所以 x y 7 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题主要考查直线的参数方程 抛物线的标准方程等基础知识 考查运算求解能力 满分 10 分 解 将直线 l 的参数方程 x 1 2 2 t y 2 2 2 t 代入抛物线方程 y2 4x 22 得 2 2 2 t 2 4 1 2 2 t 解得 t1 0 t2 8 2 所以 AB t1 t2 8 2 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题主要考查算术 几何平均不等式 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 因为 x 0 y 0 所以1 x y2逸3 3 xy2 0 1 x2 y逸3 3 x2y 0 故 1 x y2 1 x2 y 逸3 3 xy2 3 3 x2y 9xy 摇 22 揖必做题铱本小题主要考查排列与组合 离散型随机变量的均值等基础知识 考查运算求解 能力 满分 10 分 解 1 取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球 2 个黄球或 2 个绿球 所以 P C2 4 C 2 3 C 2 2 C2 9 6 3 1 36 5 18 摇 2 随机变量 X 所有可能的取值为 2 3 4 X 4 表示的随机事件是 取到的 4 个球是 4 个红球冶 故 P X 4 C4 4 C4 9 1 126 X 3 表示的随机事件是 取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球 或 3 个 黄球和 1 个其他颜色的球冶 故 P X 3 C3 4C 1 5 C 3 3C 1 6 C4 9 20 6 126 13 63 于是 P X 2 1 P X 3 P X 4 1 13 63 1 126 11 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表 X234 P 11 14 13 63 1 126 因此随机变量 X 的数学期望 E X 2伊11 14 3伊13 63 4伊 1 126 20 9 23 揖必做题铱本题主要考查简单的复合函数的导数 考查探究能力及运用数学归纳法的推理 论证能力 满分 10 分 1 解 由已知 得 f1 x f 忆 0 x sinx x 忆 cosx x sinx x2 于是 f2 x f 忆 1 x cosx x 忆 sinx x 2 忆 sinx x 2cosx x2 2sinx x3 所以 f1 仔 2 4 仔2 f2 仔 2 2 仔 16 仔3 故 2 f1 仔 2 仔 2 f2 仔 2 1 2 证明 由已知 得 x f0 x sinx 等式两边分别对 x 求导 得 f0 x x f 忆 0 x cosx 即f0 x x f1 x cosx sin x 仔 2 类似可得摇 2 f1 x x f2 x sinx sin x 仔 摇 3 f2 x x f3 x cosx sin x 3仔 2 4 f3 x x f4 x sinx sin x 2 仔 摇 下面用数学归纳法证明等式 n fn 1 x x fn x sin x n仔 2 对所有的 n沂N 都成立 32 i 当 n 1 时 由上可知等式成立 ii 假设当 n k 时等式成立 即 k fk 1 x x fk x sin x k仔 2 因为 k fk 1 x x fk x 忆 k f 忆 k 1 x fk x x f 忆k x k 1 fk x x fk 1 x sin x k仔 2 忆 cos x k仔 2 x k仔 2 忆 sin x k 1 仔 2 所以 k 1 fk x x fk 1 x sin x k 1 仔 2 因此当 n k 1 时 等式也成立 综合 i ii 可知等式 n fn 1 x x fn x sin x n仔 2 对所有的 n沂N 都成立 令 x 仔 4 可得 n fn 1 仔 4 仔 4 fn 仔 4 sin 仔 4 n仔 2 n沂N 所以 n fn 1 仔 4 仔 4 fn 仔 4 2 2 n沂N 政摇 治摇 试摇 题 一 单项选择题 本大题共 33 小题 每小题 2 分 共计 66 分 在每题给出的四个选项中 只有 一个选项是最符合题意的 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇1 2014 年 2 月 27 日 十二届全国人大常委会第七次会议决定将 12 月 13 日设立为 A 抗日战争人民烈士纪念日B 中国人民抗日战争胜利纪念日 C 反法西斯人民烈士公祭日D 南京大屠杀死难者国家公祭日 2 在 2013 年发生的下列新闻事件中 体现政府积极转变职能的是 淤商务部终止对美部分进口车双反措施 于国务院决定取消和下放部分行政审批项目 盂设立上海自由贸易试验区 实施 负面清单管理冶 榆中共中央政治局决定成立全面深化改革领导小组 A 淤于B 淤榆C 于盂D 盂榆 3 2013 年 12 月 中共中央办公厅印发了 关于培育和践行社会主义核心价值观的意见 在 社会主义核心价值观中 社会层面的价值取向是 A 爱国 守法 明礼 诚信B 爱国 敬业 诚信 友善 C 富强 民主 文明 和谐D 自由 平等 公正 法治 4 2014 年 3 月 24 日 第三届核安全峰会在荷兰海牙举行 这次峰会的主题是 A 加强核安全 防范核恐怖主义B 加强核安全 防范核霸权主义 C 加强核合作 防止核事故发生D 加强核合作 防止核武器扩散 5 霾单冶是淘宝网公布的 2013 年度消费关键词之一 截至 2013 年 11 月 30 日 全国 淘友冶 花了 8 7 亿元在口罩 空气净化器等对抗雾霾用品上 与一年前相比 购买口罩的人多了 181 购买空气净化器的人多了 131 对这一经济现象解读正确的是 A 满足消费需求 生产防霾产品 促进经济发展 B 市场