2014年高考数学解答题新解集萃(续).pdf

编者按 年高考数学解答题新解集萃 征文本期将刊登完毕 参加本期文稿审理和选编的老师有 缪林 江苏 胡全勇 甘肃 石亮 北京 郑良 安徽 张琥 江苏 胡书军 河北 本刊对上述老师的辛勤工作及读者的积极供稿表示 衷心感谢 理科第 题 如图 四棱锥 中 底面是 以 为中心的菱形 底面 为 上一点 且 求 的长 求二面角 的正弦值 解 如图 连接 底面 则 在 中 由 得 且 槡 在 中 由余弦定理得 解得 槡 因为 且 槡 由勾股定理得 解得 槡 重庆市朝阳中学 吕鹏 解法 由 底面 得 又 则 平面 从而 又 且 所以 与二面 角 的平面角互补 其正弦值相等 在 中 由勾股定理得 连接 在 中 由勾股定理得 在 中 由余弦定理得 槡 则 槡 即 二面角 的正弦值为槡 吕鹏 解法 由解法 可知 的平面角的正弦 值等于 与 所成角的正弦值 记 由 即 展开得 即 槡 解得 槡 则 槡 即二面角 的正弦值为槡 吕鹏 解法 由解法 得 又 记 二面角 的平面角为 由 平 方 得 即 槡 解得 槡 则 槡 即二面角 的正弦值为 槡 安徽省灵璧县第一中学 郑良 理科第 题 设椭圆 的左 右焦点分别为 点 在椭圆上 槡 的面积为槡 求椭圆的标准方程 设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴的上方 有两个交点 且圆在这两个交点处的两条切线互相垂 直并分别过不同的焦点 求圆的半径 解 过程略 解法 设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴 的上方有两个交点为 圆心为 垂直且相交于 则四边形 为正方形 点 在 轴上 由椭圆的对称性得 设圆的半 径为 则 槡 不妨设 槡 槡 代入 解得 槡 山东省宁阳县第一中学 刘才华 解法 设圆心在 轴上的圆 与椭圆交于 两点 两切线交点为 则四边形 为正方 形 由圆和椭圆的对称性知 若 在 轴上方 则由 得 重 合于椭圆上顶点 不满足条件 若 在 轴下方 此时 必过 设点 的 坐 标 为 槡 槡 又 联立解得 槡 或 舍去 故 到 轴的距离为槡 由 四 边 形 为 正 方 形 得 圆 的 半 径 为 槡 吕鹏 解法 同解法 若 在 轴下方 此时 必 过 故直线 的方程为 与 联立解得 把 代入直线 的方程得 即 的坐标为 把 代入直线 的方程得 即 的坐标为 故 槡 槡 由 四边形 为正方形得圆的半径为 槡 吕鹏 江苏省徐州市铜山区棠张中学 王兴民 解法 延长 交 轴于点 四边形 为边长为 的正方形 中 槡 槡 槡 所以 槡 在 中 即 槡 槡 所以 槡 王兴民 理科第 题 设 槡 若 求 及数列 的通项公式 若 问 是否存在实数 使得 对所有 成立 证明你的结论 解 略 解法 若 则 槡 解得 故猜得 下面用数学归纳法证明 当 时 假设当 时结论成立 即 因为 由函数 槡 在 上 递减可知 槡 槡 所 以 当 时 槡 槡 也就是说 当 时 结论成立 综上所述 可知 下面用数学归纳法证明 当 时 槡 假设当 时结论成立 由上知 由 函 数 槡 在 上递减知 当 时 槡 槡 槡 槡 即当 时结论成立 综上所述 得证 所以存在实数 使得 对所有 成立 重庆市第八中学校 苑繁宝 解法 当 槡 通过配方和分子有理化可知 令 槡 则 为双 曲线的一部分 从 图 中 可 以 发 现 可用数学归纳 法证明 郑良 理科第 题 已知首项都是 的两个数列 满足 令 求数列 的通项公式 若 求数列 的前 项和 解 由 可知 解法 导数法 槡 当 时 两边求导得 当 槡 时 则有 安徽省灵璧县第一中学 郑良 江西省泰和中 学 钟小文 解法 裂项相消法 令 则 则有 解得 所以 所以 郑良 文科第 题 的内角 的对边分别 为 已知 槡 求 的值 求 的面积 解 解法 如图 作 交 于点 设 由 槡 有 槡 槡 又 得 易得 有 所以 槡 槡 可得 槡 槡 黑龙江省大庆市实验中学 赵冬梅 广西桂林 市第四中学 孔祥胜 解法 槡 槡 槡 槡 槡 建立如图 所示的直角坐标系 由 槡 得直线 的方程为 槡 由 槡 得直线 的方程为 槡 联立 槡 槡 得 槡 由 槡 得 槡 赵冬梅 臧浩 解法 作 垂足为 由已知可得 槡 如图 在 中 有 槡 在 中 槡 陕西师范大学附中 崔菊敏 解法 如图 作 交 于 可知 由已知可得 槡 在 中 有 槡 以下同解法 崔菊敏 解法 由 知 为 中点 所以 槡 槡 槡 槡 槡 槡 孔祥胜 解法 由 知 槡 槡 槡 孔祥胜 臧浩 理科第 题 已知等差数列 的公差为 前 项和为 且 成等比数列 求数列 的通项公式 令 求数列 的前 项和 解 略 解法 归纳猜想证明 于是猜想得出 下面利用数学归纳法证明 当 时 由上述推理可知猜想成立 假设当 时猜想成立 即 成 立 而 于是 当 时 也就是说当 时猜想也成立 综合 可知对任意的 猜想都成立 即 黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉 山东省 嘉祥县第一中学 任宪伟 解法 当 为偶数时 所以 当 为奇数时 所以 综上得 为偶数 为奇数 黑龙江省大庆市实验中学 赵冬梅 河南省渑 池高级中学 杨尧伟 理科第 题 设函数 为常数 是自然对数的底数 当 时 求函数 的单调区间 若函数 在 内存在两个极值点 求 的取值范围 解 由函数 可得 当 时 而 则 于是当 时 当 时 所以函数 在 上为减函数 上 为增函数 任宪伟 湖北省阳新县高级中学 邹生书 解法 当 时 取对数得 令 则 当 时 单调递减 当 时 单调递增 又因为当 时 函数 在 内存在两个极值点 当且仅当 即 时 解得 山东省滕州市第一中学新校 陈兵 解法 函数 在 内存在两个极值点 内 有两个实数根 则 由 得 设 如图 所示 过点 作 的切线 设切 点 由导数的几何意义得 解得 过点 作直线 则直线 的斜率为 所以 孔德泉 邹生书 解法 由 知 当 时 在 上单 调递减 不存在极值点 所以 又 所以函数 在 内存在两个极值点 相当于 在 内有两个零点 问题转化成 与 在 内有两个 不同交点 因为 所以 易求 在 上单调递减 在 上单调递增 且 于是 结合草图 可得 与 在 内 有两个不同交点的条件是 即函数 在 内存在两个极值点的 的取值范围是 山东省日照市实验高级中学 刘祥波 解法 分离参数法 要使函数 在区间 内存在两个极值点 只需方程 在区间 内有两个不同的实根 即 在区间 内有两个不同的实根 当 时 由 得 设 则 当 时 当 时 于是函数 在 上为减函数 上为 增函数 而当 时 结合函数 的图象便知 当 时 在区间 内有两个不同的实根 即函数 在区 间 内存在两个极值点 陈兵 任宪伟 黑龙江省密山市第一中学 朱红岩 解法 数形结合法 设 要使 在区间内有两个不同的实根 只需当 时 函数 与 有两个不同的交点 设直线 与函数 相切 切 点为 而 则 解得 再者直线 是过点 的直线 则 如图 根据图形可知当 即当 时 函数 与 有两个不同的 交点 故所求的 的取值范围是 任宪伟 陈兵 解法 函数 在 内存在两个极值点 则 在 有解 即 当 时 显然 不成立 当 时 研究 在 内有解 设 当 时 当 时 所以函数 在 上是增函数 在 上是减 函数 函数 在 内存在两个极值点 则 所以 的取值范围是 朱红岩 理科第 题 已知抛物线 的 焦点为 为 上异于原点的任意一点 过点 的 直线 交 于另一点 交 轴的正半轴于点 且有 当点 的横坐标为 时 为 正三角形 求 的方程 若直线 且 和 有且只有一个公共 点 证明直线 过定点 并求出定点坐标 的面积是否存在最小值 若存在 请 求出最小值 若不存在 请说明理由 解 解法 由 及 为正 三角形可得 槡 代入 得 则 或 由 可得 所以 的方程为 山东省宁阳县第一中学 刘才华 解法 根据当点 的横坐标为 时 为 正三角形可得 解得 或 当 时 点 点 符合题意 当 时 点 点 不符合题意 则 故 的方程为 陈兵 任宪伟 解法 根据题意不妨设 槡 易知 因为 为正三角形 且点 在 轴的正半轴 所以 所以 槡 槡 即 解得 或 舍去 故抛物线 的方程为 山西省运城市康杰中学 李清娟 解法 所以 所以 因为 当 时 为 正 三 角 形 所 以 解得 故抛物线 的方程为 山东省临清市第一中学 齐永明 由召栋 解法 因为 由抛物线定义知 因为 位于 轴的正半轴 所以 当点 的横坐标为 时 为正三角 形 故 中点的横坐标为 即 所以 所以 的方程为 山东省宁阳县第一中学 陈新伟 解法 过 向抛物线准线作垂线 垂足 为 则 所以 因为 故 又 所以四边形 为平行四边形 故 设 对于曲线 当 时 槡 所 以 槡 所 以 槡 槡 因为直线 且 和 有 且只有一个公共 点 所 以 即 故 所以 故当 时 所以直线 的方程为 又因为 所以直线 的方程为 所以直线 恒过 定点 当 时 直线 过 综上 直线 恒过定点 由 得直线 的方程为 设 与 轴的交点坐标为 则 则 槡 槡 设 直 线 的 方 程 为 代入 得 则 所以 因为 所以 槡 槡 槡 槡 等号当且仅当 时成立 故 的面积存在最小值 陈新伟 山东省莱州市第一中学 王国兴 解法 由 得 设 由 得 则 于是 因为 设直线 的方程为 代 入 得 由题意得 则 设 则 由 和 得 所以直线 过定点 定点 坐标为 刘才华 解法 设点 的坐标为 则点 的坐标为 抛物线 在 轴下 方的部分所对应的函数为 槡 其导函数为 槡 则 槡 解 得 即点 的坐标为 当 即 时 直线 的方程为 整理得 过定点 当 即 时 直线 的方程为 也过定点 于是直线 过定点 即抛物线的焦点 其 坐标为 设点 根据三点 共线可知 则 整理得 因 则 解得 故点 的坐标为 则 于是 槡 当且仅当 且 即 时等号成立 故 的面积存在最小值 其值为 任宪伟 陈兵 解法 设 由 得 所以 所以 设直线 的方程为 代入抛物线 的 方程得 因为 和 有且只有一个公共点 所以 即 所以点 的坐标为 即 当 即 时 所以直线 的方程为 即 又直线 所以 即 从而 直 线 的 方 程 可 化 为 即直线 过定点 当 即 时 直线 的方程为 显然过点 综上 直线 恒过定点 李清娟 解法 由 解法 易得直线 的方程为 代入抛物线 的方程得 所以 槡 槡 槡 点 到 直 线 的 距 离 槡 槡 槡 所以 的 面 积 又直线 所以 所以 当且仅当 时 成立 此时 面积 的最小值为 李清娟 王国兴 文科第 题 在平面直角坐标系 中 椭圆 的离心率为槡 直线 被 椭圆 截得的线段长为 槡 求椭圆 的方程 过原点的直线与椭圆 交于 两点 不是椭圆 的顶点 点 在椭圆 上 且 直线 与 轴 轴分别交于 两点 设直线 的斜率分别为 证明存 在常数 使得 并求出 的值 求 面积的最大值 解 解法 由 槡 得 所 以椭圆方程为 将 代入方程得 由 槡 得 所 以椭圆方程为 刘才华 山东师范大学附属中学 袁竞 解法 由题意知 槡 设 槡 则 椭圆 的方程可化简为 将 代入可得 槡 因此槡 槡 槡 解得 所以 椭圆 的方程为 袁竞 解法 设直线 与椭圆 的交点坐标为 由条件得 槡 所以 因而 槡 解得 槡 故椭圆 的方程为 袁竞 解法 设直线 与椭圆 的交点为 不 妨设 为在第一象限的交点 利用等腰直角三角形的 性质 易求出点 坐标为 槡 槡 将点 坐标代 入 以下步骤同解法 袁竞 解法 设 则 设直线 的方程为 则 又 所以 因为 故 由题意知 所以 即 因而 设直线 的方程为 令 得 即 所以 即 因此存在常数 使得结论成立 袁竞 山东省德州市第一中学 马英 解法 设 则 由椭圆的对称性 不妨设 设直线 的方程为 由 可得 解得 槡 因此 槡 同解法 得到 设直线 的方程为 令 得 槡 即 槡 所以 槡 槡 即 因此存在常数 使得结论成立 袁竞 解法 由 知直线 的方程为 令 得 即 又由 知 可得 的面积 因为 槡 所以 槡 槡 槡 当且仅当 时等号成立 此时 取得最大值 所以 的面积的最大值为 袁竞 马英 解法 由 知设直线 的方程为 令 得 槡 即 槡 由 知 槡 可得 的面积 槡 槡 因为 当且仅当 时等号成立 此时 取得最大值 所以 的面积的最大值为 袁竞 刘才华 理 文 科第 题 在 中 内角 的 对边分别为 且 已知 求 和 的值 的值 解 略 解法 由题意知 所以 安徽省灵璧县第一中学 郑良 山西省运城市 康杰中学 李清娟 解法 在边 上取点 使 则 所以 设 则 在 中 根据余弦定理可得 即 解得 所以 在 中 即 李清娟 理科 第 题 如 图 和 所在平面互相垂直 且 分 别 为 的中点 求证 求二面角 的正弦值 解 证法 所以 黑龙江省七台河市高级中学 何昌俊 何卓 证法 在平面 中过 作 垂足为 连接 因为平面 平面 所以 平面 又 因 为 所以 所以 因为 所以 平面 因 为 平面 所以 又因为 所以 甘肃省兰州市荟文补习学校 胡全勇 解法 过 作 垂足为 因为 和 所在平面互相垂直 所以 平 面 所 以 在 平 面 上 的 投 影 面 为 过 作 垂足为 连接 由条件可求 槡 槡 所以二面角 的余弦值为 槡 所以二面角 的正弦值为 槡 何昌俊 何卓 解法 因为平面 平面 且 为 的中点 过 作 垂足为 因为 所以 槡 即 槡 所以 槡 槡 所以 过 作 垂 足为 因为 平面 所以 为所求二 面角的平面角 因为 所以 槡 槡 则 槡 槡 槡 所以 槡 胡全勇 理科第 题 在平面四边 形 中 将 沿 折 起 使得平面 平面 如 图 所示 求证 若 为 中点 求直线 与平面 所成角的正弦值 解 略 利 用 体 积 法 取 的 中 点 连 接 因为 所以 平面 又 分别是 的中点 易知 平 面 从而由题设易计算得 槡 槡 槡 槡 由海伦公式 得 槡 设点 到平面 的距离为 则由 知 槡 从而直线 与平面 所成角的正弦值为 槡 湖南省岳阳市第十四中学 魏建军 安徽省灵 璧县第一中学 郑良 理科第 题 已知双曲线 的两条渐近线分别为 求双曲线 的离心率 如图 为坐标原点 动直 线 分别交直线 于 两点 分 别 在 第 一 四 象 限 且 的面积恒为 试探究 是否 存在总与直线 有且只有一个公共 点的双曲线 若存在 求出双曲线 的方程 若不存在 说明理由 解 略 由 知 双曲线 的方程 为 假设存在这样的双曲 线 与直线 有且只有一个公共点 则该直线与双曲线相切 如图 设 切点为 则直线 的方程 为 与 轴的交点为 与两渐近线的交点 所 以 所以 因此总存在与直线 有且只有一个公 共点的双曲线 且其方程为 福建省福州市格致中学 宋建辉 文科第 题 如图 在三棱锥 中 平面 求证 平面 若 为 中点 求三 棱锥 的体积 解 略 解法 如图 取 中点为 连接 取 的中点 连接 易知 平面 所以 槡 槡 郑良 解法 点 为 线 段 中 点 所 以 郑良 理科第 题 已知函数 为常 数 的图象与 轴交于点 曲线 在点 处 的切线斜率为 求 的值及函数 的极值 证明 当 时 证明 对任意给定的正数 总存在 使得 当 时 恒有 解 略 证法 当 时 当 时 令 则 当 时 得 当 时 得 所以 在 上单调递增 在 上单调递减 当 时 取得极大值 即 当 时 故当 时 福建省泉州市第一中学 黄耿跃 证法 当 时 只需证明当 时 设 则 令 解之得 当 变化时 变化情况如下表 单调递减极小值 单调递增 故当 时 在 上有极小值为 又 故当 时 即当 时 福建省福州市第十六中学 侯雪花 证法 令 则 令 解得 令 解得 或 所以 在 上单调递减 在 上单调递增 在 上单调递减 当 时 当 时 所以当 时 与 图象总有交点 设 交点中横坐标最大的为 则当 时 恒 有 即 黄耿跃 福建省漳州市第一中学 林志展 证法 由 知函数 在 上是增函数 在 上是减函数 故 在 上 有极大值为 又 故函数 的图象大致为图 当 时 在 上均有 即 可取 使得当 恒有 当 时 在 上 在 上 可取 使得当 恒有 当 时 由 的图象可知 的 图象与 交于两点 可取 使得当 时 恒有 由 可知对任意给定的正数 总存在 使得当 恒有 侯雪花 黄耿跃 理科第 题 已知定义在 上的函数 的最小值为 求 的值 若 为正实数 且 求证 解 解法 表示在数轴上 到 和 的距离之和 当 或 时 这个距离之和大 于 和 的距离 当 时 这个距离之和 为定值 所以 的最小值 江苏省睢宁县古邳中学 苗勇 解法 公式法 因为函数 所以 的最小值 甘肃省兰州市荟文补习学校 胡全勇 证法 由 知 由 三式相加得 整理即得 苗勇 云南省弥勒县第一中学 孔繁文 证法 由 知 两边平方得 而 代入整理即得 苗勇 福建省漳州市厦门大学附属实验中学 林运来 李婧 证法 由 知 构造向量 由 得 槡 槡 整理得 苗勇 孔繁文 林运来 李婧 证法 由 知 因为 是 下凸 函 数 由 琴 生 不 等 式 得 即 所以 苗勇 证法 由 知 不妨设 则 所以 胡全勇 证法 构造二次函数 则 因为 对任意 恒成立 所以 所以 孔繁文 理科第 题 如图 正方形 的边长为 分别为 的中点 在五棱锥 中 为棱 的中点 平面 与棱 分别 交于点 求证 若 底 面 且 求直 线 与平面 所成角 的 大 小 并 求 线 段 的长 解 同一法 设 线段 的中点是 可得 所以点 共面 直线 与平面 相交于点 又相交于点 所以点 重合 得 注 此证法还证得了点 是线 段 的中点 黑龙江省大庆市实验中学 赵冬梅 北京市丰 台区第二中学 甘 解法 如图 设 线段 的 中 点 是 作 垂 足 为 由 平面 得 所以 平面 在等腰 中得 槡 因为 平面 所以点 到平面 的距离相等 都是槡 所以可求得直线 与平面 所成角的正弦值为 所以所求角的大小为 设线段 的中点是 平面 交直线 于 由 得平面 平面 又这两个平行平面与平面 的交线分别是 所以 得 同理有 得 又 所以 又 所以 甘 解法 由 为棱 的中点 得 将五棱锥 补 全为正方体 如图 所示 平面 延展为正方 体的对角面 直线 与平面 所成角为直线 与 平 面 所 成 的角 连接 相交于点 为直线 与平面 所成的角 因为 所以直 线 与平面 所成角为 由平面 平面 得 与平面 的交点 必在 上 把截面 取出 如图 由 得 由 得 黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉 理科第 题 已知函数 求证 若 在 上恒成立 求 的 最大值与 的最小值 解 证法 数形 结合法 满足 下证当 时 如图 为角 的终边与单位圆的交点 为正切 线 即 由 扇形 得 得证 江苏省睢宁县古邳中学 苗勇 解法 当 时 即 的图象恒在直线 的 上方 恒在直线 的下方 而当直线 与 相切时 当直线 过点 时 如图 所示 所以 的最大值为 的最小值 为 苗勇 解法 设 设 则 当 时 函数 在 上 是减函数 即有 则函数 在 上是减函数 且有 又 故 因为 在 上恒成立 故有 所以 的最大值是 的最小值是 黑龙江省密山市第一中学 朱红岩 陕西省西 安市曲江第一中学 孔超华 解法 由图 可知 扇形 扇形 代入 式得 上式各项取倒数 得 各项乘以 得 当 趋于 时 上面不等式中 趋向 而最 右面也是 由夹逼准则便有 因为 是偶函数 图象关于 轴对称 所以 左 右极限相等 都等于 所以 所以 的 最小值为 求 的值同解法 北京市顺义区牛栏山第一中学 李振涛 王淑 玲 陕西省宝鸡市陈仓区虢镇中学 刘宗博 吝丹 理科第 题 已知椭圆 求椭圆 的离心率 设 为原点 若点 在椭圆 上 点 在直 线 上 且 求直线 与圆 的位置关系 并证明你的结论 解 过程略 槡 解法 设 槡 其中 由于 得 所以 槡 解得 槡 即 槡 在 中 斜边上的高 槡 槡 槡 槡 槡 槡 所以直线 和圆 相切 苗勇 刘宗博 解法 设 则 且 所以 直线 的 方 程 为 即 记圆心 到直线 的距离为 则 将 式代入 式得 即 槡 所以直线 和 相切 甘 江苏省南京市大厂高级中学 仝建 解法 作 垂足为 设 的坐标 分别为 得 再由 得 所以 可证 由 得 所以 槡 所以直线 与圆 相切 解法 极坐标方法 设 与 轴方向夹角为 设 则点 由题意知 点 的坐标为 或 不妨先证第一种 即 的情形 化简为 将点 坐标代入椭 圆方程 得 解 得 槡 将点 坐标全用 表示 列出 直线方程 再求原点 到直线 的距 离 槡 直线 与圆 相切 用同法可 求出 时 直 线与 圆 相切 陕西省安康市江北高级中学 郝安军 理科第 题 函数 讨论 的单调性 设 证明 解 略 由 知 以下用数学归纳法证明 当 时 成立 假设当 时 则 即 解得 一方面 由 得 即 得 即 故 以上各式相加得 得 即 另一方面 由 得 即 得 即 故 以上各式相加得 得 即 当 时 成立 所以 黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉 理科第 题 如图 四 边形 为 正 方 形 平 面 垂足为 交 于点 证 明 平 面 求二面角 的余弦值 解 证明略 如图 过点 作 可证二 面角 的 平 面 角 为 设 在 和 中 利 用 等 积 法 可 求 得 槡 在 中 由勾股定理得 槡 从 而求得 槡 广东省中山市坦洲实验中学 邓凯 理科第 题 设数列 的前 项和为 满足 且 求 的值 求数列 的通项公式 解 解法 根据已知 可得 解得 广东省珠海市第一中学 樊彦朝 广东省开平 市开侨中学 莫世理 广东省东莞市实验中学 唐光 明 山东省曹县第三中学 王维 陕西省麟游县中学 韩红军 广东省佛山市三水区三水中学 吴超 安 徽省安庆市第一中学 洪汪宝 解法 由 知 可得 又 可得 所以 樊彦朝 陕西省蓝田县城关中学 靳小平 解法 根据 可得 整理得 因此 对任意 所以 当 时 又 所以 根据 可得 所以 当 时 又 所以 樊彦朝 莫世理 吴超 洪汪宝 解法 根据 则 当 时 两式相减 并整理得 当 时 变形得 当 时 故 当 时 因此 当 时 又 所以 樊彦朝 唐光明 王维 韩红军 吴超 洪汪宝 解法 先猜想 再证明 由 猜测 下面用数学归纳法证明 证法 第一数学归纳法 当 时 猜想显然成立 假设当 时 根据 那么 当 时 两式作差 并整理得 当 时 则当 时 所以 当 时 也成立 综合 可知 对任意的 都有 樊彦朝 唐光明 王维 韩红军 洪汪宝 证法 第二数学归纳法 当 时 命题显然成立 假设当 时 即 可 得 则当 时 根 据 已 知 可解得 所以 当 时 也成立 综合 可知 对于任意的 都有 成立 樊彦朝 文科第 题 设各项均为正数的数列 的前 项和为 且 满足 求 的值 求数列 的通项公式 证 明 对 一 切 正 整 数 有 解 过程略 证法 由 知 当 时 显然成立 当 时 由此得证 吴超 陕西省乾县杨汉中学 姚利娟 汪仁林 广东省开平市开平一中 吴绮霞 安徽省灵璧县第一 中学 郑良 江苏省常熟市中学 查正开 甘肃省天 水市第一中学 宫前长 证法 当 时 所以 所以 郑良 韩红军 证法 设 如图 所示 显然区间 上的 个小矩形的面积之和小于曲线 与直线 直线 以及 轴围成的封闭图形 的面积 所 以 吴绮霞 理 文 科第 题 已知椭圆 的一个焦点为 槡 离心率为槡 求椭圆 的标准方程 若动点 为椭圆 外一点 且点 到椭圆 的两条切线互相垂直 求点 的轨迹方程 解 椭圆 的标准方程为 过程 略 解法 当切线 的斜率均存在时 设 切线 的方程为 将其代入椭圆 的方程并整理得 依题意此方程的判别式 整理得 所以 的方程为 槡 用 代 替 可 得 的 方 程 为 槡 得 即 因为点 是 的交点 所以 易验证 切 线 或 的 斜 率 不 存 在 时 点 仍满足 所以动点 的轨迹方程为 注 当切线 的斜率均存在时 也可把切 线 的方程设为 韩红军 莫世理 吴超 广东省雷州市第八中学 魏欣 邓春梅 广东省佛山市第四中学 王新骇 解法 当两条切线斜率均存在且不为 时 设过 点 的切线 的方程为 设椭圆上 任一点为 则点 到 的距离为 槡 若 与 椭圆相切 则 槡 即 又两切线垂直 则 即 当一条切线的斜率不存在 另一条切线斜率为 时 易知 满足 综上 点 的轨迹方程为 江苏省南京市第二十九中学 张盛冬 解法 当两条切线斜率均存在且不为 时 设过 点 的直线 的方程是 椭圆上任 一点为 若相切 则 存在最 大 最小 值 由柯西不等式 当且仅当 时取等号 则 时 直线 为切线 整理 得 以下同解法 略 张盛冬 解法 过点 作椭圆 的两条切线 设 切点分别为 则直线 的方程 为 当 时 由 消 去 得 于是 同理 因为 且 所以 将 的值代入上式并整 理得 又点 为椭圆外一点 所以 即 所以 当 时 所得符合题意的两切线的交点也 满足方程 故所求方程为 莫世理 王新骇 理 科 第 题 设 函 数 槡 其中 求函数 的定义域 用区间表示 讨论 在 上的单调性 若 求 上满足条件 的 的集合 用区间表示 解 令 由于 所以方程 的两根 为 槡 槡 方程 的两根为 槡 槡 且 当 时 槡 槡 槡 槡 所以 函 数 的 定 义 域 为 槡 槡 槡 槡 莫世理 解法 令 它们的对称轴都是直线 当 槡 时 且 都单调递减 此时 单调 递减 所以 槡 单调递增 当 槡 时 且 都单调递增 此时 单调 递增 所以 槡 单调递减 当 槡 时 且 都单调递减 此时 单调增 所以 槡 单调递减 当 槡 时 且 都单调递增 此时 单调递减 所以 槡 单调递增 莫世理 解法 令 得 槡 槡 且 槡 槡 槡 槡 设 则 槡 槡 当 槡 在 槡 上是增函数 当 槡 在 槡 上是减函数 当 槡 在 槡 上是增函数 当 槡 在 槡 上是减函数 吴超 不等式 方程 的两根为 和 方程 的两根为 槡 槡 由于 所以 所以 上满足条件 的 的集合为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 莫世理 理科第 题 已知函数 求 的单调递增区间 若 是第二象限角 求 的值 解 略 解法 由 可 得 由 槡 槡 可得 从而有 或 若 由于 是第二象限角 故 从而 槡 若 由于 是第二象限角 故 从而 槡 综上所述 槡 或 槡 陕西省西安市田家炳中学 冯恒仁 四川省内 江师范学院 罗仕明 江西省泰和中学 钟小文 解法 设 则 同解法 可得 则有 槡 槡 即 由 是第二象限角 有 从而有 槡 或 槡 即 槡 或 槡 罗仕明 江苏省伍佑中学 周金国 解法 由 得 又因为 是第二象限角 且 则有 即 有 当 时 由 是第二象限角 有 从而 槡 当 时 即 知 槡 若 槡 由 是第二象限角 有 槡槡 槡 槡槡 从而 槡 若 槡 则 槡槡 槡 槡槡 从而 槡 综上可得 槡 或 槡 罗仕明 理科第 题 设等差数列 的公差为 点 在函数 的图象上 若 点 在函数 的 图象上 求数列 的前 项和 若 函数 的图象在点 处的 切线在 轴上的截距为 求数列 的前 项和 解 略 函数 的图象在点 处的切 线方程为 它在 轴上的截距为 由题意 解得 从而 即 下面探求 的前 项和 解法 黑龙江省大庆实验中学 赵冬梅 陕西省靖边 中学 赵世念 解法 由 则 浙江省杭州市普通教育研究室 王红权 四川 省泸州市叙永一中 张炜 解法 由 则 设 则 当 且 时 此时 于是 赵冬梅 赵世念 周金国 理科第 题 已知椭圆 的焦距为 其短轴的两个端点与长轴的一个端点构 成正三角形 求椭圆 的标准方程 设 为椭圆 的左焦点 为直线 上任意一点 过 作 的垂线交椭圆 于点 证明 平分线段 其中 为坐标原点 当 最小时 求点 的坐标 解 椭圆 的标准方程为 过程 略 解法 由 得点 的坐标为 设点 的坐标为 则 设 是直线 上的任意一点 则 因为 所以 即 故 直线 的方程为 将 代入 消去 整理得 则 设 线段 的中点 因为 是 方程的两个根 故有 所以 则 所 以 所以点 在 上 故 平分线段 由两点间的距离公式得 槡 由 弦长 公 式 得 槡 槡 所 以 槡 槡 槡 槡 槡 当且仅当 即 时 最 小 故点 的坐标为 或 黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉 湖北省 阳新县高级中学 邹生书 解法 当 轴时 显然成立 当 不与 轴垂直时 设 的中点 由 相 减 得 由 可得 即 又直线 的方程为 令 得点 所以 从而 所以 平 分线段 最小时 即 最大 而 如图所 示 过 点 作 直 线 的垂线 垂足为 过 作 与 延长线交于点 四 点 共 圆 或利用 所以 同理可得 即 设直线 的方程为 代入 得 于是 槡 槡 令 则 槡