2018-2019学年杭州市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（ ）A2x+y1=0Bx2y5=0Cx2y+7=0D2x+y+5=0【答案】D【解析】设所求直线为，根据垂直关系，得到直线的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答案.【详解】设直线为，所求直线为因为两直线垂直，所以斜率乘积为，故直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得：，故选：D.【点睛】本题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简单题.2设是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】D【解析】由面面垂直与线面平行的位置关系结合充分必要条件的定义进行判断【详解】由推不出，反之由也推不出，应该是既不充分又不必要的条件故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，根据充分必要条件的定义判断相应命题的真假即可3空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为( )ABCD【答案】C【解析】【详解】分析：求出点关于平面的对称点，关于原点的对称点，直接利用空间中两点间的距离公式，即可求解结果.详解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，关于原点的对称点，则间的距离为，故选C.点睛：本题主要考查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4若满足，则的最大值为（）A8B9C2D1【答案】A【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键5下列说法的正确的是A经过定点的直线的方程都可以表示为B经过定点的直线的方程都可以表示为C不经过原点的直线的方程都可以表示为D经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为 【答案】D【解析】考虑斜率不存在和平行于x轴的直线，利用排除法。【详解】经过定点的直线的方程都可以表示为但斜率不存在时，无法表示，故A错，同理B错。斜率不存在和平行于x轴的直线也无法表示，故C错。所以D正确。故选D。【点睛】本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况。6已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A若，且，则B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C若，则D若，则【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于(A)若,且,则，只有m,n相交时成立，故错误(B)若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则可能是斜交，故错误(C)若，则，可能在平面内，错误(D)若，则，则另一条也垂直，故成立，因此选D.【考点】空间中点线面的位置关系的运用点评：主要是考查了空间中点线面的位置关系的运用，属于基础题7若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】求出圆心与半径，则圆上至少有三个不同点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离；从而求直线的斜率的取值范围【详解】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，设直线的斜率为，则，直线的方程为，则有，解得：，即的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题8设x，y满足约束条件，则取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】作出可行域，其中表示与连线斜率，利用此几何意义可求解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），其中表示与连线斜率，故选：B.【点睛】本题考查简单的非线性目标函数的线性规划问题，作出可行域是解题基础理解目标函数的几何意义是解题关键9已知棱长为2的正四面体，点为上一定点，点为棱上的动点，设与平面所成的角为，则的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】设是的中心，过作交于，则为直线与平面所成的角，设出，就可求得此角的余弦【详解】如图，是的中心，连接，过作交于，连接，平面，平面，为直线与平面所成的角，设，则，正四面体棱长为2，则，在中，在中，时，时，时，取得最小值即的最小值是又，的最小值是故选：A.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，作出直线与平面所成的角是解题关键解题中还要注意点是棱上的点，不是直线上的点，否则易得错误结论10设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】若为定值，则，由直线与圆相切结合图象可得的范围，从而得出正确选项【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线与圆相切时，当时，圆在直线上方，当时，圆在直线下方，若为定值，则，因此只有D满足故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查一元二次不等式表示的平面区域，利用数形结合法易得解二、填空题11设点为轴上一点，并且点到直线的距离为6，则点的坐标为_.【答案】或【解析】设点坐标，由点到直线距离公式求解【详解】设，则，解得或9.所以点坐标为或故答案为：或【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键12若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为_.【答案】6【解析】求出圆心到直线距离的最大值即可得结论【详解】直线过定点，圆心到直线的距离最大时，与直线垂直，最大距离就是，所以圆上的点到直线距离的最大值为5+1=6.故答案为：6.【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最大值，由圆的性质知此最大值就是圆心到直线的距离的最大值加上半径13设是的二面角内一点，,分别为垂足，,则的长为_.【答案】【解析】由题意，由余弦定理可知，所以点睛：本题考查空间几何体由二面角的定义而知，过作公共边的垂线，交于点，则就是二面角的平面角，由四边形内角和，得到，利用余弦定理解得答案14如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为_【答案】.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，因为圆锥侧面积为，设正方形边长为，则，正四棱锥的斜高为，正四棱锥的侧面积为，故答案为.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.15已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为_.【答案】或【解析】由题意可知，所以中点坐标为，圆心在直线的中垂线上，故过圆心满足直线，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，由勾股定理可知解得：当时，；当时，得解。【详解】上有两个点和,为一元二次方程的两个根，故，那么，所以中点坐标为，因为圆心在直线的中垂线上，故过圆心的直线为，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线的距离构成直角三角形，由勾股定理可知解得：当时，；当时，所以圆的方程为或。【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为。16设命题：实数满足：，命题：实数满足，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是_.【答案】【解析】命题中点组成集合，命题中点组成集合，题意说明，由集合的包含关系可得【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图内部（含边界），不等式表示的平面区域是以为圆心为半径的圆及内部，如图，若是的必要不充分条件，则圆在内部，圆心到直线的距离为，所以，即故答案为：【点睛】本题考查必要不充分条件的应用，考查不等式组表示的平面区域解题方法是数形结合思想法17如图为一几何体的三视图，则其外接球的体积为_.【答案】【解析】由三视图还原几何体，得出线面位置关系，然后找出外接球球心，求得半径，由体积公式计算体积【详解】由三视图知该几何体是三棱锥，底面，底面中作交延长线于，则，从而，设是的外心，则，过作平面，则，只要取，则为外接球球心，故答案为：【点睛】本题考查球的体积，解题关键是由三视图还原原几何体，得出三棱锥中的线面间的位置关系。三棱锥外接球球心在过它的各面外心且与此面垂直的直线上三、解答题18设命题：实数满足，命题：实数满足.（1）若，若同为真命题，求实数x的取值范围.（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出命题为真时变量的取值范围，然后求交集即可；（2）同样求出命题为真时变量的取值集合，由充分不必要条件得出集合的包含关系，从而得参数取值范围【详解】命题：实数满足，命题：实数满足.（1）若，命题：实数满足，解得.命题：实数满足，解得.若同为真命题，则，解得.实数的取值范围.（2）命题：实数满足，化为：，.若，且是的充分比必要条件，则是的充分比必要条件，解得：.实数的取值范围是.【点睛】本题考查由复合命题真假及充分必要条件求参数范围解题关键把问题转化为集合间的包含关系19已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程.（2）过点的直线交圆于两点，当时，求直线方程.【答案】（1）；（2）和【解析】（1）可设，由可得参数，及半径，得圆方程；（2）利用半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形可得弦心距为1，斜率存在时设直线方程，再由点到直线距离公式求得斜率，斜率不存在的直线检验是否满足题意【详解】（1）圆心在直线上，可设，利用可得，解得，圆心，半径，故圆的方程为：；（2），半弦长为，利用半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形可得，弦心距为1，故直线满足题意，设另一直线方程为，即，由解得，所求方程为，即.故所求直线的方程为和.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题，直线与圆相交问题要注意利用垂径定理，即弦中点与圆心连线垂直于弦20在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点分别为中点.（1）求证：平面.（2）若.求二面角的余弦值.求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2），【解析】（1）取中点，连结，可证都与平面平行，从而得面面平行，又得证线面平行；（2）证明后，以以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角得二面角，由以上证明可得与平面垂直，因此棱锥换底求体积，即【详解】（1）证明：取中点，连结，四边形是矩形，点分别为中点.，平面，平面，平面，同理平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，四边形是矩形，平面平面，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则.二面角的余弦值为.解：，平面，到平面的距离，三棱锥的体积：.【点睛】本题考查证明线面平行，用向量法求二面角，考查求棱锥的体积证明线面平行可用线面平行的判定定理，也可用面面平行的性质求三棱锥体积，注意可换底，换一个高易求的面作为底计算21已知圆心在轴上的圆与直线切于点、圆.（1）求圆的标准方程；（2）已知，圆于轴相交于两点（点在点的右侧）、过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点、问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由、【答案】（1）；（2）存在;实数【解析】（1）由点在切线上，求出参数，设圆心，由圆心到切线距离为半径可求得，也求得半径，得圆标准方程；（2）直线求出圆与的交点坐标，设，过且不垂直轴的直线的方程为：，代入圆方程，用韦达定理得，计算，由求得，同时说明直线斜率不存在时也满足条件即得结论【详解】（1）设圆心，点在直线上，即，由题意得，解得，圆心，半径，故圆的方程为：；（2）在圆的方程中令可得，得，在