线性代数复习提纲 2012.ppt

线性代数 一 行列式的计算方法二 线性方程组的解法三 逆矩阵的计算方法四 矩阵秩的计算方法五 向量组的线性相关性的判定方法六 向量组的最大无关组的计算方法七 方阵的特征值与特征向量的计算方法 复习提纲 第一章行列式及其性质 2 3阶行列式的对角线法则 n阶行列式的定义 行列式的6个性质 行列式按行 列 展开定理 计算行列式 运用行列式的性质 化简 及按行或列展开定理 降阶 N阶特殊行列式的计算 如有行和 列和相等 范德蒙行列式 2 n阶行列式的计算 性质1行列式与它的转置行列式相等 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 1 利用行列式的性质计算 化为三角形 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 2 利用行列式展开计算 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 第二章矩阵 矩阵的运算 乘法一般不满足交换律和消去律行列式乘积定理 AB A B kA kn A 伴随矩阵及其性质 AA A A A E 可逆矩阵及其性质 逆矩阵的计算 方法1 利用伴随阵 方法2 利用初等行变换 求解线性方程组Ax b 克拉默法则 Cramer sRule 条件 方程的个数 未知数的个数 亦即 系数矩阵A为方阵 解的性态 当系数矩阵A的行列式非零时 亦即 系数矩阵A为可逆阵时 方程组有唯一解 并可由行列式的比值来表示 当系数矩阵A的行列式为零时 亦即 系数矩阵A为奇异阵时 方程组无解或有无穷多解 第三章矩阵的初等变换 矩阵的三种初等行或列变换 用初等变换求矩阵逆 用初等变换求解矩阵方程AX B或XA B 含参数的线性方程组解的情况的讨论 矩阵Am n的秩 求解线性方程组Ax b 基本方法 消元法 消元法之数学表达 对增广矩阵 A b 进行初等变换 解的性态定理 n元线性方程组Ax b 其中A为m行n列矩阵 亦即 线性方程组由m个方程构成 i 无解的充要条件是R A R A b ii 有惟一解的充要条件是R A R A b n iii 有无限多解的充要条件是R A R A b n 求得解的性态 将增广矩阵 A b 初等变换为行阶梯形矩阵 然后应用解的性态定理 第四章向量组的线性相关性 本章复习时要注意一个特点 向量组矩阵线性方程组 1 求出方程组的解作组合系数 矩阵表示形式 复习 向量 向量组的线性表示 向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题 表示系数为列 2 向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题 线性无关 线性相关 方阵 方阵 求向量组的一个极大无关组 以向量组中各向量作为列向量 构成矩阵A 则B中各非零行的首列对应的A的部分向量组就为向量组的极大线性无关组 怎样利用极大无关组表示其余向量 求出向量组的极大无关组 2 行阶梯形矩阵B行最简形矩阵C根据行最简形矩阵列向量的分量 用极大无关组表示其余向量 行 初等变换 求解线性方程组Ax b 解的结构定理 i 设m n矩阵A的秩为r 则齐次线性方程组Ax 0的通解为其中 向量组称为该齐次方程组的基础解系 ii n元非齐次线性方程组Ax b的通解为求得解的结构 将增广矩阵 A