老教材线段角大节精析.doc

初中数学初中数学 经典教材系列 老人教版初中几何第一册第一章 线段、角一、教法建议抛砖引玉 学生初次接触到几何这一独立的的课程.不少学习过几何的人感到几何难学,其实几何不难学. 从内容上看, 几何学习不单纯停留在数量关系方面，而要兼顾数量和图形两个方面，重点研究图形的性质；就思维方法而言，要求较高的逻辑思维能力，所以一开始就要指导学生正确的学习方法，从生活实际抽象出几何图形，掌握图形性质，建立几何语言，培养逻辑思维能力.指点迷津 直线、射线、线段是平面几何最基本的图形，要严格区分这三个概念. 画图，表示的应该准确无误，学习时要先理解后画图，并熟悉画图工具的使用.角和角的有关概念，是平面几何中最重要的基本概念. 课本上用两种方法讲述了角的概念. 首先要搞清角的定义，它指出了角的两个基本属性：（1）两条射线；（2）两条射线必须有公共点. 由此可知，角的大小与边的长短无关，且为正确表示角提供了基础. 课本上还利用运动的观点，根据角的形成讲述了另一个定义，为平角和周角的形成提供了条件. 关于定义、公理的教学. 平面几何是研究平面图形性质的学科. 图形性质是用定义、公理和定理的形式描述的. 定义是从原始概念（不定义的概念）开始的，定理是以公理为基础推衔的. 定理是需要推理论证的，但由于知识的限制，不能过早的出现，因而先出现定义和公理，以便学生即早的了解学习几何的基本内容. 学习开始就要注意把概念的文字语言、几何图形和字母符号表达结合起来，从这三方面来理解概念训练学生（1）根据几何语言画出相应的图形来，（2）依据图形的字母写出几何符号表示的数量关系；（3）能依据图形和几何符号表达式的关系，翻译成文字语言. 二、学海导航入门导引 学会几何语言. 几何的文字语言有它的独立风格，如“点在直线上”，“延长至，使”“反向延长”“顺次截取”“有且只有”等等. 这些语言可分两类，一类是从学习几何图形的定义和性质中来；一类是从画几何图形的动作中来，因而对几何图形性质的描述词句，要一一认真理解其定义，并学会应用；对动作语言，要在画图中学习，边想、边画、边叙述. 学会画图和认图. 画图要力求正确、整洁、美观. 首先要学会使用画图工具，如直尺、圆规和量角器. 画直线要直，画直角要成90，这是学好几何的基本功，作业要认真仔细，不能涂涂抹抹. 学会看图也很重要. 辨认图形要根据图形的定义，不能想当然. 如下图. （1） 哪条线是直线？（2）哪个角是钝角？l1、l2、l 3都是是直线，l1是标准位置下的直线，相对于标准位置的直线，可称作“变式”图形. l1、l2、l3都是钝角，l1是标准位置下的图形，l2、l3是相对于标准位置下的“变式”图形. 经常总结对比. 总结、比较是学好知识的重要方法，学习几何也不例外. 开始学习几何概念比较多，且有相似或相近的概念，这样用比较法区分它们的异同，有助于学好几何知识. 如：直线、射线、线段；周角、平角、钝角、直角、锐角；互为余角、互为补角；两点间的距离，点到直线的距离等等. 掌握几何图形的文字叙述语言、图形和符号表示的三位一体. 如：角的定义叙述为，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 图形 表示：AOB或1 思维基础I 直线、射线、线段概念直线射线线段AB aOALA BL图形画法及表示法过A、B两点画直线AB或直线L，直线AB或直线L画射线OA射线OA射线L连结AB线段AB或线段a端点无一个两个延长线无可向一方延长可向两方延长基本性质两点确定一条直线，两条直线相交只有一个交点两点之间线段最短II 角精典解题思维训练: 选择填空图中，圆周上有5个点，过每两点画一条直线，共可以画_条直线，这些直线在圆中有_个交点. 揭示思路：过两点可以画几条直线？两条直线相交有几个交点？根据公理“过两点有且只有一条直线”，又根据直线的性质，每两条直线相交，只有一个交点，所以图中可以画. AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE；CD、CE；DE共10条. 交点有A、B、C、D、E；F、G、H、M、N共10个. 思维训线练3 选择填空一个锐角的余角，是这个锐角的补角的，这个锐角是（ ）（A）22.5 （B）67.5 （C）36 （D）72揭示思路：题目中说了几种角？题目中叙述了几个角的关系？什么是锐角？什么是互余的角？什么是互补的角？题目中说了三个角，一个锐角和它的余角，这个余角的补角. 为了说明它们的相互关系，可设这个锐角为，它的余角为，这个余角的补角为. 则有下述关系：+=90+=180= 解得 =67.5故应选择（B）思维训练4 选择填空画一个钝角AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，在角的内部画一条射线OC，使AOC=90.根据上述题目要求，画出了下列四个图形. 请问哪个图形符合题目的要求. 正确答案是（ ） 揭示思路：什么是角？什么是钝角？什么是角的顶点？什么是角的边？90的角是什么角？明确上述概念后，逐一用题目要求的条件去衡量.（A）射线OC作到了AOB的外部了.（B）90角作成了以OB为一边了，则AOC90.（C）射线OC作到AOB的外部了，又90角以OB为一边了.（D）符合条件.应选择（D）错例研究思维训练1 下列说法错在什么地方.（1）延长射线OP；（2）画一条长5cm的直线；（3）一条直线上从左至右依次有A、B、C三个点，则射线AC比射线BC长；（4）直线可看成平角；（5）补角是余角的2倍.揭示思路：直线、射线、线段各有什么特征？什么是平角？什么是互余的角？什么是互补的角？上述5个说法都是错误的.根据直线、射线、线段的特征和属性，可以规纳为：直线没有端点，向两方无限延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸，它们的长度都不能度量，不能比较长短，直线不能延长. 所以（1）（2）（3）都不正确.只有线段可以延长，可以度量，可以比较长短，射线只能向一方延长.角与直线、射线的意义不同. 一条直线不是一个平角，平角是有公共端的两条射线组成的，两条射线恰好在一条直线上，直线不是两条射线，它也没有端点.单独说一个角是余角，是补角是没有意义的. 互余的角和互补的角说的是两个角的关系.如果两个角互为余角时，一个角是另一个角的余角. 两个角互为补角时，一个角是另一个角的补角. 所以说“补角是余角的两倍”是错误的.思维训练2 下面画图是错误的，正确的应该怎么画.已知线段a、b、c（a b）画一条线段等于a - b + c.揭示思路： 画一条线段等于已知线段 a，怎样画？画一条线段等于两条已知线段a，b的和，怎么画？画一条第线段等于两条已知线段 a、b（a b ）的差，怎样画？画一条线段等于已知线段a. 画一条射线AC，在射线AC上用圆规截取AB= a . AB就是所要求画的线段. 已知线段a 画一条线段等于两条已知线段a、b的和.画一条直线，在直线上画一条线段AB= a，再在AB的延长线上画线段BC= b，线段AC= a + b. 画一条线段等于两条已知线段a、b（ a b）的差.在直线上画线段AB = a , 再在线段AB上画线段AC或BC等b. BC或AC就是所要求的线段. BC= a - b AC = c - b 本例 a - b + c正确的画图是 a + c - b 即CD = a + c - b = a - b + c . 为所要求的线段.减去的线段要从整体线段的一端去减，不能从中间去减.创新园地 将两块直角三角板叠在一起，使直角的顶点重合于O（如图）（1）AOB + DOC 是多少度？能确定吗？ （2）AOD与COB 是什么关系？ （3）AOB与DOC 是什么关系？三、智能显示心中有数 本章概念多，它又是以后学习的基础，要注意培养概括、阅读和表达能力，需要注意检查的概念有：有关直线的公理和性质，有关线段的公理，角和角的分类，线段中点和角平分线等.动手动脑 1. 下列关系式与图形所表示的条件，不相符的是（ ）.（A）AB + CB = AD - BC （B）AC + CD = AB - BD（D）AB - CD = AC + BD（D）AD - AC = CB - DB2. 平面内有两两相交的三条直线，如果说最多有m个交点，最少有n个交点.那么m-n的值是（ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3. 从点O发出的5条射线，可以组成的角最多有（ ）.（A）4个 （B）5个 （C）7个 （D）10个4. C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，下列式子不正确的是（ ）. （A）CD = CB （B）AB = 2AC （C）BD = AB （D）CD = AB - BD 5. 已知线段a、b、c（ a b），画一条线段等于： （1）2 a - b （2）2 ( a - b ) 6. 已知线段AB = 18 cm，M是AB中点，C是AB上一点，且AC = 5BC， 求MC的长. 7. 若A与B互为补角，且A：B = 1：2，求A - B的度数. 8. AOC = 30，BOC = 120，OD平分AOC， OE平分BOC， 求EOD的度数.参考答案：1. A 2. B 3. D 4. D 5. 略 6. 6 cm 7. 20 8. 75 四、同 步 题 库 一、填空题 1. 长度，叫做两点间距离. 2. 和 都是直线的一部分. 3.已知AB=a厘米，CD=b厘米，若a=b，则AB CD,若ab，则AB CD，若CDAB，a b. 4.已知线段AB=8，延长AB到C，使AC=3AB，M、N为AB、BC的中点，则NM= . 5.角可以看成一条 绕着一个端点从一个位置 另一个位置所成的图形. 6.两角的 这两个角叫互为补角， 的补角相等. 7.如图1-10，用三种方法分别表示角 ， ， . 图1-10 图1-11 8.比较两个角的大小可能有 、 、 . 9.如图1-11，AOC和BOD都是直角，则角 =角 . 10.38.32= 度 分 秒. 11.若=1730，则它的余角是 ，补角是 . 12.如图1-12，BOC= - = - = - - . 图1-12 图1-13 13.如图1-13中有 个角，把它们表示出来 . 14.下列各角中57、3512、125、90、13729、35612、52135、120、17542是锐角 个，钝角的有 个. 15.若1和2互补，21-2=30，则1= ，2= . 二、选择题 16.如图1-14中共有线段 条. (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 图1-14 图1-15 17.下列说法正确的是 . （A）由两条射线组成的叫角 （B）射线就是周角，直线就是平角 （C）如图1-5中AOB可以用O表示 （D）AOB和BOA是同一个角 18.下列说法正确的是 . （A）如果=180-，则是补角 （B）如果+=90，则是余角 （C）40的角是50的角的余角 （D）余角是补角的一半 19.若一个角的余角等于它的补角的，则这个角的度数为 . （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 20.下面说法错误的是 . (A)B是线段AC的中点，则BC=AC （B）直线上一点和它一旁的部分叫射线 （C）一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线 （D）同角的余角相等 21.如果一个角等于它的余角的3倍，那么这个角是它补角的 . (A) (B) (C) (D) 22.一个角比它的补角的一半少30，那么这个角等于 . (A)30 (B)45 (C)40 (D)90 23.互为补角的两个角 . (A) 只和位置有关 （B）只和数量有关 （C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关 24.如图1-16，AOB=COD=BOE，那么相等的角有 对. (A)2 (B)3(C)4 (D)5 25.如果1和2是邻补角，且12，那么2的余角是 . (A)(1+2)(B)1 (C)(1-)(D）1-2 图 1-16 26在同一平面内有4个不重合的点，经过每两点作一直线，最多可作直线的条数是 . (A)4(B)5(C)6 (D)7 27.如图1-17，把一个平角分成若干个角，其中锐角有 个. (A)5(B)5(C)7(D)8 图1-17 28.如果A、B、C三点在同一直线上，A到B的距离是8厘米，B到C的距离是3厘米，那么A、C两点的距离是 . （A）11厘米（B）5厘米 （C）5或11厘米（D）无法确定 29.从2时整到4时30分，时针转过的角度为 . (A)25(B)65(C)75（D）135 30.点M与点N的距离为20厘米，有一点Q，如果QM+QN=20厘米，那么下列结论正确的是 . （A）点Q必在线段MN的延长线上 （B）点Q必在线段NM的延长线上 （C）点Q必在线段MN外 （D）点Q必在线段MN上 31.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=3AB，在BA的延长线上取一点D，使DA=2AB，求 (1) 线段AC等于线段AB的几倍？ （2）线段AB等于线段DB的几分之几？ （3）线段DB等于线段DC的几分之几？ 32.计算 180-1103735 33.计算 171435 34.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的,求这个角. 35.一个锐角和它的邻补角以及它的余角的和是直角的,求这个锐角? 36.如图1-18,A、O、E三点在一条直线上，AOC=BOD=105，BOC=50，求DOE的度数. 图1-18 37.线段AB=54cm，C是AB的中点，D是AC上的一点，且CD=2AD，E是BC的中点，求线段DE的长. 38.如图1-19，AC=BD，E为CD的中点，求证：E为AB的中点. 39.如图1-20，AOD=BOE，OC是DOE的平分线，求证：OC是AOB的平分线. 图1-19 图1-20 40.B、C两点把线段AD分成2:3:4三部分，M是线段AD的中点，CD=12厘米，求（1）MC的长；（2）AB:BM的值.参 考 答 案 同步题库 一、填空题 1.连结两点的线段 2.射线、线段 3.=， 4.12 5.射线，旋转到 6.和为平角，同角或等角 7. ，AOB，O 8.大于、小于或等于 9.AOB、DOC 10.381912 11.7230、16230 12.AOC，AOB，BOD，COD，AOD，AOB，COD 13.8，D，A，B，C，DAC，BAC，DCA，ACB 14.4,4 15.70,110 二、选择题 16.D 17.D 18.C 19.B 20.C 21.C 22.C 23.B 24.D 25.C 26.C 27.B 28.C 29.C 30.D 三、解答题 31.解：依题意得：（1） BC=3AB，AC=AB+BC AC=4AB（2） DA=2AB DB=DA+AB DB=2AB+AB =3AB因此，AB=DB（3） DB=DA+AB=3AB 又 DC=DA+AB+BC =2AB+AB+3AB =6AB DC=2DB DB=DC32.解：180-1103735=1795960-1103735 =6922253