2.3两角和与差的正切函数.docx

南阳市五中高一数学 郭娜2.3两角和与差的正切函数学习目标1.知识目标：（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ；（3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决问题；（4）正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明. （5）能将简单的几何问题化归为三角函数问题2.能力目标：培养学生的数学转换能力及分析问题的能力.3.情感目标：（1）培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；（2）通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识.4.重点：公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法.5.难点：公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能.课时安排1课时教学过程导入新课 复习两角和、差的正弦公式，两角和、差的余弦公式如何计算sin75 cos15的值？(问题导入)如何计算tan75的值？思路1 利用所学两角和的正弦与余弦公式思路2 怎样直接利用tan30和tan45来求出tan15呢？公式推导当cos(+)0时,tan(+)=.若coscos0,即cos0且cos0时,分子分母同除以coscos,得tan(+)=.思考如何推导两角差的正切公式？思路1 利用所学两角差的正弦与余弦公式思路2根据角、的任意性,在上面的式子中,用-代之,则有tan(-)=.由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T-、T+”.tan(+)=;(T+)tan(-)=.(T-)我们把公式T+,T-分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道、,有一定的取值范围,即+k(kZ),+k(kZ),+k(kZ),这样才能保证tan()与tan,tan都有意义.思考：如何化简tan(-)？因为tan的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(-)=来处理.公式的逆用与变形应用例1 求值：(1) tan 10tan 50tan 10tan 50；(2) (3) 变式训练11.求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan44)(1+tan45)的值.2.计算:tan15+tan30+tan15tan30.公式的综合应用例2 已知tan=2,tan=-,其中0,.(1)求tan(-);(2)求+的值.变式1 若tan(+)=,tan(-)=,求tan(+)的值.变式2 已知tan()，tan ，(0，)，求2的值变式3如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，(1)求tan()的值；(2)求的值课堂总结备用习题1.已知A、B、C是斜ABC的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)tantan+tantan+tantan=1.2.设关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan与tan,求tan(+)的取值范围.3.求tan70+tan50-tan50tan70的值.4.已知sin=msin(2+),求证:tan(+)=tan.5.化简-2cos(A+B).6.已知5sin=sin(2+).求证:2tan(+)=3tan.参考答案:1.解:(1)A、B、C是斜ABC的内角,A+B+C=,即A+B=-C.由题意可知,A、B、C都不为,因此有tan(A+B)=tan(-C)=-tanC.=-tanC,去分母,移项,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)+=,+=-.tan(+)=tan(-).去分母,移项,整理可得tantan+tantan+tantan=1.2.解:由题设可知m0,且=(2m-1)2-4m(m+1)0.由解得m(-,0)(0,.根据韦达定理可得则tan(+)=2m-1.m(-,0)(0,2m-12-1=-,且2m-1-1.tan(+)的取值范围为(-,-1)(-1,-.3.解:原式=tan(70+50)(1-tan70tan50)-tan50tan70=-(1-tan70tan50)-tan50tan70=-+3tan70tan50-tan50tan70=-.原式的值为-.4.证明:由sin=sin(2+)sin(+)-=sin(+)+sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin(1-)sin(+)cos=(1+)cos(+)sintan(+)=tan.点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2+可化为结论式中的+与的和,不妨将+作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.5.解:原式=点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:=(+)-,2+=(+)+,5sin(+)-=sin(+)+,即5sin(+)cos-5cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.2sin(+)cos=3cos(+)sin.2tan(+)=3tan.点评:注意到条件式的角是和2+,求证式中的角是+和,显然“不要”的角和2+应由要保留下来的角+与来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此