3.1基本不等式.doc

基本不等式习题课一、学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题二、自主学习知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：211bab(a0，b0)，并说明什么时候等号成立答案a0，b0，1a1b21ab)0，111bab)2，即211bab(a0，b0)，当且仅当1a1b，即ab时，等号成立梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件当a0，b0时，有211babab2 a2b22)；当且仅当ab时，以上三个等号同时成立知识点二用基本不等式求最值思考因为x212x，当且仅当x1时取等号所以当x1时，(x21)min2.以上说法对吗？为什么？答案错显然(x21)min1.x212x，当且仅当x1时取等号仅说明抛物线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错梳理基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足三、合作探究 探究一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx4x的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x4x2的最小值；(4)已知x0，y0，且 1x9y1，求xy的最小值解(1)当x0时，x4x2 4x)4，当且仅当x4x，即x24，x2时取等号函数yx4x(x0)在x2时取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)2f(2x(32x)2)292.当且仅当2x32x，即x34时，等号成立34avs4alco1(0，f(32).函数y4x(32x)(0x2，x20，x4x2x24x222 4x2)26，当且仅当x24x2，即x4时，等号成立x4x2的最小值为6.(4)方法一x0，y0，1x9y1，xyavs4alco1(f(19y)(xy)yx9xy1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1x9y1，得(x1)(y9)9(定值)由1x9y1可知x1，y9，xy(x1)(y9)102(x1)(y9)1016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备探究二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.由xy2xy，可得xy2100，2(xy)40.当且仅当xy10时等号成立所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.由xyxy21829，可得xy81，当且仅当xy9时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件命题角度2生活中的最优化问题例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y1x9x(x1)90061 8009x900x10 8092 900x)10 80910 989(元)，当且仅当9x900x，即x10时，等号成立所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2.则(9x1900x110 809)(9x2900x210 809)9(x1x2)900(1x11x2)(x1x2)avs4alco1(9f(900x1x2)(x1x2)avs4alco1(f(9x1x2900x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)avs4alco1(f(9x1x2900x1x2)0，即y9x900x10 809在15，)上为增函数当x15，即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解四、跟踪训练训练1(1)已知x0，求f(x)12x3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值解(1)x0，f(x)12x3x212x)3x12，当且仅当3x12x，即x2时取等号，f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y2xx8，xyx2xx8x(2x16)16x8(x8)16x8102 16x8)1018.当且仅当x816x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得8x2y1.xy(xy)avs4alco1(f(82y)8yx2xy102 8y2xy1018.当且仅当8yx2xy，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y1504 8003120(23x234 8003x)240 000720avs4alco1(xf(1 600x)240 0007202 1 600x)297 600(元)，当且仅当x1 600x，即x40时，y取得最小值297 600.所以当水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于avs4alco1(f(v20)2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则trc20)v400v16v4002 40016v4008(小时)，当且仅当400v16v400，即v100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时五、自主小测1已知0x0，b0，且不等式1a1bkab0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2 参考答案1.答案225解析当0x1时，log2x0，所以f(x)2log2x5log2x2(log2x)f(5log2x)225.当且仅当log2x5log2x，即(log2x)25，即x时，等号成立2.答案D解析f(x)x24x52x4(x2)212(x2)12(x2)f(1x2)1.当且仅当x21x2，即x3时等号成立3.答案C解析设两直角边分别