2012河南专升本高数教材(云飞)版第一章 函数 极限 连续.doc

河南专升本（云飞）版高数教材课后习题答案第一章 函数 极限 连续同步练习一一、 选择题1、 答案：C解：偶次根号下不能取负值，又在分母上，不能为0，可有；反三角函数的定义域是，可得.解这个题目只需解不等式组，因此选C.2、 答案：D解：函数相同要求定义域和对应法则都相同. A中的对应法则不同，表示任意实数，而则只是正实数；B、C定义域不同. D只是一个函数的两种不同表达形式.3、 答案：D解：三角函数都是周期函数，所以A、C一定是周期函数，对于B有，显然是周期函数.4、 答案：D解：求一函数的反函数就是反解出x即可.对于本题就是由解得，再将x，y互换即可.5、 答案：B解：首先反三角函数的定义域是，因此，可得，即，从而可知x的取值范围是.二、 填空题6、 答案：解：的定义域是，即，那么对来说，有，由此可解得x的范围是.7、 答案：解：由题目中，可知函数.再用来替换，即就可得到结果了.8、 答案：解：要求的表达式，可令，即.由可知，所以=.9、 答案：解：本题已知的表达式，求得表达式.所以只需把函数式中的自变量换成即可.10、答案：解：正弦函数的周期是，则是将正弦函数图像中在轴以下的部分翻到上面去，具体图形如下由图可知，其周期是.11、解：在真数的位置，故有，又在分母上，故.由此可解得且.12、答案：解：求反函数就是将原函数中的x反解出来.由，再将x和y互换位置即可.三、解答题13、求下列函数的定义域.（1）解：由题意可知：；从而解得， 所以该函数的定义域就是.（2）解：由题意可知：；从而解得， 所以该函数的定义域是.（3）解：由题意可知：；从而解得， 所以该函数的定义域就是.（4）解：由题意可知：；从而解得， 所以该函数的定义域就是.14、解：因为的定义域是，所以对来说就有，解得有；对来说就有，解得有. 所以的定义域就是，的定义域是.15、解：的定义域是，也就是说，从而有，所以的定义域就是.16、解：因为，所以，所以，整理后也就是.17、解：令，即，则，所以.18、解：当时，所以，；当时，所以，；当时，所以.19、证明：是奇函数，是偶函数，其定义域都是D，则对任意的，都有，. ，也就是说在定义域内是奇函数.20、解：因为是内的奇函数，所以对任意的，都有.从而有，所以可知在内是奇函数.21、解：当时，对应的反函数是，此时；当时，对应的反函数是，此时有；当，对应的反函数是，此时有.所以的反函数就是.22、将下列复合函数分解成几个简单函数或者基本初等函数.（1）解：.（2）解：.23、解：设圆锥的底半径是R，高是h.由题意可知：，所以有，根据实际情况，可知该函数的定义域是.同步练习二一、 选择题1、 答案：D解：当时，不存在（即），无穷小量乘以有界变量极限是0.2、 答案：C解：当时，.3、答案：B 解：当时，与等价，又因为 ，由定义可知是比低阶的无穷小量，即时，是比低阶的无穷小量.4、答案：C 解：无论取何值，函数、都是有界函数，当时，、都是无穷小量乘以有界变量还是无穷小量，显然是无穷大量，A、B、D都正确.5、答案：D 解：本题考查两个重要极限中的一个，有和这两种形式，通过对照可知答案是D.二、 填空题6、答案：0 解：.7、答案： 解：由题上已知的极限可知，当时，与是同阶无穷小，故可知，又，可知.8、答案：6 解：由题意知：，即，所以可知.9、答案： 解：.10、答案： 解：.11、答案：解：利用重要极限中的第一个，.12、答案：同阶非等价解：当时，与等价，故，所以与是同阶非等价的无穷小量.三、 计算题13、求下列极限.（1）解： .（2）解：.（3）解：.（4）解：.（5）解：.（6）解：.（7）解：.（8）解：.（9）解：.（10）解：.（11）解： .（12）解：.（13）解：.（14）解：.（15）解：.（16）解：.（17）解：.（18）解：.（19）解：.（20）解： .14、解：因为 ，所以.15、解：当时，所以，即得.16、解：由题中极限可知，和是同阶无穷小量，即当时，都是无穷小量，故有，所以可以解得.17、解：极限值是b，可知当时，与是同阶无穷小量，即有，故得.又，即得.18、解：当时，从而有；当时，从而有.也就是说，.19、解：当时，所以；当时，所以有.同步训练三一、 选择题1、 答案：A解：在处连续需满足三个条件：在处有定义；在处极限存在；在处的极限值等于该点处得函数值.显然可知存在是在处连续的必要而非充分条件.2、 答案：A解：显然不在函数的定义域内，故一定是间断点.又，也即满足左右极限存在且相等，对照定义可知是的可去间断点.二、 填空题3、 答案：充分必要解：在处连续需满足三个条件：在处有定义；在处极限存在；在处的极限值等于该点处得函数值.存在就表明在处有定义，等式成立又满足后两条，所以是充分必要条件.4、 答案：，一，跳跃解：对已知的函数没有定义的点是，而，显然，所以由定义可知是的第一类间断点，并且是跳跃间断点.5、 答案：一，可去解：.6、 答案：一解：，由定义可知是的第一类间断点.7、答案：， 解：的定义域是，又该函数是初等函数复合成的，所以在定义域内是连续的，因此连续区间就是，.8、答案： 解：在处连续，所以有，所以.9、答案：2解：函数在处连续，所以有，所以.10、答案：-2解：函数在处连续，因此有，所以.11、答案：解：函数在处连续，所以有，因此可得到关系式.三、 解答题12、解：函数在处连续，所以.13、解：由题意可知，需构造一个分段函数，使其在时的表达式就是.因此构造的连续函数.14、解：显然已知函数在每个分段区间内是连续的，关键是区间端点.先考虑点处，在该点处有定义且，所以是的连续点.再看点，所以是的第一类间断点，并且是跳跃间断点. 因此，在内连续，是的第一类间断点，并且是跳跃间断点.15、解：显然已知函数在每个分段区间内函数都是连续的，关键是区间端点.先考虑在点处，所以是函数的第一类间断点，并且是跳跃间断点.再看点，函数在该点处无定义，显然是间断点，并且，所以是函数的第一类间断点，并且是可去间断点. 因此可知在上连续；是函数的第一类间断点，并且是跳跃间断点；是函数的第一类间断点，并且是可去间断点.16、解：因为在内是连续的，所以在处也是连续的.，也就是解等式和，从而有，.17、求下列函数的间断点，并指出间断点的类型.（1）解：是的无定义点，又因为，所以是的第二类间断点，并且是无穷间断点.（2）解： 在处无定义，又因为，所以是的第一类间断点，并且是可去间断点.（3）解：是的无定义点，又因为，所以是的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（4）解：是的无定义点，又因为，所以是第一类间断点，并且是可去间断点；是第二类间断点，并且是无穷间断点.18、下列函数在处是否连续？（1）解：，所以是的连续点.（2）解：，所以是的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（3）解：，所以是的连续点.19、求下列极限。（1）解：.（2）解：.四、证明题20、证明：令，显然在区间上连续，又，由零点定理知，方程在1和2之间至少有一实根.21、证明：令，显然在区间上连续，又，由零点定理知，方程再0和2之间至少有一实根，也就是说至少存在一个正实根.22、证明：令，显然在上连续，又，由零点定理可知，方程在0和1之间至少存在一个实根，也就是说至少有一个小于1的正根.23、证明：令，由已知条件可知，在区间上连续，又有，由零点定理可知在区间内至少存在一个实根，也即在内至少存在一个实根.模拟训练一、 单项选择题1、 答案：B解：求定义域解方程组，可解得，即定义域是.2、 答案：D解：根据周期函数的定义，不是周期函数，故A不正确；根据函数的图像可知不是单调函数；又，因此是无界函数，D正确.3、 答案：C解：题目中要找关于y轴对称的函数，也就是找出偶函数的个数。根据偶函数的定义可知（2）、（3）、（4）都是偶函数，而（1）是否是偶函数跟的表达式有关，例如当时，y就不是偶函数，所以答案为3个.4、 答案：B解：A选项中，B选项中，C选项中，D选项不存在.5、 答案：D解：，所以当时，是的同阶但非等价无穷小量.6、 答案：D解：，所以答案选D.7、 答案：C解：.8、 答案：C解：，从而可知左极限存在，右极限不存在.9、 答案：B解：，所以是第二类间断点，是第一类间断点，并且是可去间断点.10、答案：D 解：令，将端点值代入该函数可得，根据零点定理要求两端点值异号，所以选D.11、答案：A解：，所以是第一类间断点，并且是可去间断点.12、答案：D解：无穷大量减去无穷大量就是未定式的一种，其结果不定，需经过计算才能确定.13、答案：C解：主要根据奇函数的定义：.A、选项显然是偶函数；中，是奇函数；中，当即时，当即时，也即，所以是偶函数.14、答案：D解：的定义域是，显然在定义域内都连续，所以答案是D.15、答案：D解：，因此极限不存在但不是无穷大.二、 填空题16、答案：解：由题意可知，所以.17、答案：解：因为的定义域是，所以对函数来说就有：，从而解得.18、答案：e解：.19、答案：1解：.20、答案：4解：极限的极限存在，所以一定是型的未定式，所以有方程在时成立，可得.21、答案：-2解：因为函数在处连续，所以有，所以.22、答案：3解：