工科54线代复习题三及解答.pdf

武汉大学数学与统计学院武汉大学数学与统计学院2009 20102009 2010第一学期 第一学期 线性代数 线性代数 B 复习题三 复习题三 学院学院 专业专业 学号学号 姓名姓名 注 所有答题均须有详细过程 内容必须写在答题纸上 凡写在其它地方一律无效 注 所有答题均须有详细过程 内容必须写在答题纸上 凡写在其它地方一律无效 一 10 分 设一 10 分 设A A是三阶实对称矩阵 对应的二次型的正负惯性指数均为 1 满足是三阶实对称矩阵 对应的二次型的正负惯性指数均为 1 满足0 EAE A 计算 计算AI32 3 二 10 分 设阶向量 矩阵 且 求实数 二 10 分 设阶向量 矩阵 且 求实数n T xx 00 T n IA T n xIA 1 x 三 10 分 设 且 三 10 分 设 且 101 020 16 A a 2R A 满足满足 求和 求和a 四 15 分 已知方程组 其中 四 15 分 已知方程组 其中 AXb 222 254 245 A 1 2 1 b 就方程组有唯一解 无解 有无穷多解诸情形 对 就方程组有唯一解 无解 有无穷多解诸情形 对 值进行讨论 并在有解时 求出方程组的解 五 15 分 设二次型 值进行讨论 并在有解时 求出方程组的解 五 15 分 设二次型 222 12312312233 222 1 f x xxxxxx xx xx x 1 求出二次型 1 求出二次型f的矩阵的矩阵A的全部特征值 2 求可逆矩阵 使 的全部特征值 2 求可逆矩阵 使PAPP 1 成为对角阵 3 计算 成为对角阵 3 计算 m A m m是正整数 六 20 分 对线性空间 是正整数 六 20 分 对线性空间 3 R中的向量组中的向量组A 123 和和B 123 讨论下面的问题 1 向量组 讨论下面的问题 1 向量组B是否能成为是否能成为 3 R中的基 能否用中的基 能否用A线性表示线性表示B 如果可以 试求出由 如果可以 试求出由 123 到到 123 的过渡矩阵 其中 的过渡矩阵 其中 P 1 1 0 0 2 1 1 0 3 1 1 1 1 1 1 a 2 1 1 2 a 3 1 1 0 且为实数 且为实数 a 2 若 2 若 112321233123 22 22 22 kkkk 3 是非零实数 a 给出向量组 是非零实数 a 给出向量组 12 线性无关的一个充要条件 并证明之 b 给出矩阵 线性无关的一个充要条件 并证明之 b 给出矩阵 123 为正交阵的一个充要条件 并证明之 七 20 分 1 当 为正交阵的一个充要条件 并证明之 七 20 分 1 当为奇数且为奇数且IAAT 及及时 证明 时 证明 0 AI 2 当 2 当 m m为给定任意正整数且时 证明 为给定任意正整数且时 证明 A A可逆 可逆 OIA m 武汉大学数学与统计学院武汉大学数学与统计学院2009 20102009 2010第一学期 第一学期 线性代数 线性代数 B 复习三简答 复习三简答 一 一 10 二 1 二 1 三 解 由初等变换求得 1 记三 解 由初等变换求得 1 记aEI 下同 由 下同 由0 EA 因此 因此 可逆 且可逆 且 四 解 经计算 四 解 经计算 因此方程组有唯一解因此方程组有唯一解 时 对增广矩阵作行变换化为阶梯形 时 对增广矩阵作行变换化为阶梯形 因 因 即 即时无解 时无解 时 同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形 时 同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形 因 因 所以 所以时有无穷多解 等价方程组为 时有无穷多解 等价方程组为 令 令 得通解为 得通解为 五 解 五 解 1 二次型的矩阵为二次型的矩阵为A A E AE A 1 1 2 2 所以 所以A A的全部特征值为 的全部特征值为 1 1 2 对 2 对 1 解 1 解 E AE A X X 0 0 得基础解系为 得基础解系为 1 1 1 1 1 1 对 对 2 解 2 2 解 2E E A A X X 0 得基础解系为 0 得基础解系为 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 2 令 2 令P P 123 即为所求可逆阵 此时 即为所求可逆阵 此时APAP 3 3 1 1 2 1 2 m mmmm m APP4m 六 解 解 设六 解 解 设 123 A 123 B 1 易知 1 易知 111 011 001 A 111 111 20 B aa 1 a时 时 123 能成为能成为 3 R中的基 即有 中的基 即有 ABQ 且 且0 Q 令 令 1 1 BAQAPPQ 故能用 故能用A线性表示线性表示B 由初等行变换 求得 则所求过渡矩阵为 由初等行变换 求得 则所求过渡矩阵为 1 110 011 001 A 2 1 00 111 20 PA Baa aa 2 由题设 其中 且由题设 其中 且CBA 221 C 212 122 k 3 270 Ck 如果如果0 A 即 即 123 线性无关 则有线性无关 则有CC0 BAA 得 得 123 线性无关 反之如果 线性无关 反之如果 12 3 线性无关 则由线性无关 则由C0 AB 得到 得到0 A 可见可见 123 线性无关是线性无关是 123 线性无关的一个充分必要条件 如果 线性无关的一个充分必要条件 如果 123 A是正交阵 即是正交阵 即 A AE 则 则 22 221221 2122129 122122 B BC A ACC Ckk E 可见 可见 1 3 k时 是 正交阵 时 是 正交阵 B 反之是正交阵时 反之是正交阵时 B 2 9 BBAC CAk AAE 即即 AA 2 1 9 E k 可见可见 1 3 k时 时 A是 正交阵 综上 为正交阵的一个充要条件是 是 正交阵 综上 为正交阵的一个充要条件是B 1 3 k且且A为正交阵 七 1 为正交阵 七 1 所以 所以 2 由 由 12 121 mmmm m AEAk Ak AkAEo 其中 其中 均为 组合系数 均为 组合系数 得得 1 2 1 i k im 123 121 0 mmm m A Ak Ak AkEE 从而从而0 A即即可逆可逆 另证 设 另证 设 为为A A的任意一个特征值 的任意一个特征值 X X为对应的特征向量 则为对应的特征向量 则AX AX X X 注意 注意EX XEX X 两式相加 两式相加 A A E E X X 1 1 X X 两边左乘矩阵 两边左乘矩阵A A E E 得得 A EA E X X 1 1