第十一章 振动he波动习题训练_2014.pdf

2013 10 29 1 2013 10 29 2 mq Q R 0 Rr r Q Rr R rQ E 2 0 3 0 1 4 4 EqF 3 0 4 qQ Frkr R 2 2 d d x krmam t 2 2 d 0 d rk r tm mR qQ m k 3 0 4 qQ mR T 3 0 4 2 2 根据上式 负电荷将作简谐运动 其周期为 根据上式 负电荷将作简谐运动 其周期为 负电荷运动方程为 负电荷运动方程为 t mR qQ Ax 3 0 4 cos 2013 10 29 华中科技大学 Lin king 3 欲证明欲证明 M 物体做简谐振动 必须证明物体做简谐振动 必须证明 物体受到回复力作用物体受到回复力作用 M x x M 振子的位置 子弹击中后为初态振子的位置 子弹击中后为初态 造成的振子伸长造成的振子伸长 kxMgxxkF MM 2 2 d d x kxM t M k 2 结论 结论 M 作简谐振动作简谐振动 当子弹和当子弹和m脱离后任意时刻脱离后任意时刻M受到的合力受到的合力 1 M m 0 m 0 l 弹弹 簧簧 原原 长长 x M x M xx M k xMg cosxAt 2013 10 29 华中科技大学 Lin king 4 M m 0 m 0 l 弹弹 簧簧 原原 长长 x M x 2初始条件 初始条件 000 0 mm tt xxv 0 m m x M xx mm x 0 造成的振子伸长造成的振子伸长 0 mm 0 0mm k xmm g 初始态旋转矢量的位置 初始态旋转矢量的位置 M k 2 0 cos 0sin mm gA k A g k mm A 0 cosxAt 0t 0 coscos mm gk xAtt kM 2013 10 29 5 M 0 l M x m 0 v h mM k 2 油灰击中油灰击中M后的平衡位置后的平衡位置 gmMxxk mM M m 0 l M x m x h 向下为正方向向下为正方向 固有圆频率固有圆频率 M m 0 l M x m x h x x 振子在运动振子在运动 中某一瞬间中某一瞬间 油灰击中油灰击中M O O O 2013 10 29 6 M m 0 l M x m x h x x gmMxxk mM 振子在运动中某一瞬间受到的合力振子在运动中某一瞬间受到的合力 kxgmMxxxkF mM 符合简谐振动的受力条件 符合简谐振动的受力条件 A和和B系统是简谐振动 系统是简谐振动 1 以小物体击中以小物体击中M为时间零点 由旋转矢量图 为时间零点 由旋转矢量图 2 第二象限第二象限 0 m t mg xx k mM ghvm v t 2 2 0 0 O mM k 2 2013 10 29 7 M m 0 l M x m x h x x 2 cosxAt 2 0 cos 1 2 sin 2 mg A k m vgh A Mm 时 时 0t 2 0 2 0 2 2 tan m vgh k vgh Mm mg g Mm k mMg ghvk k mg A 2 2 0 2 1 解得 解得 22 00 2 22 1 1cosarctan k vghk vgh mgk xt kgMmMmgMm mM k 2 O 2013 10 29 8 M m 0 l M x m x h x x 22 00 2 22 1 1cosarctan k vghk vgh mgk xt kgMmMmgMm 2 4 47 10cos 102 034mxt 2 3 O mM xxAl max gmMkAklF maxmax 振子的最大伸长振子的最大伸长 max 72 4 NFkAMm g 2013 10 29 9 x 0 x x 欲证明欲证明m物体做简谐振动 必须证明物体做简谐振动 必须证明 物体受到回复力作用物体受到回复力作用 R J k m o 1 T 2 T mg 2 T 12 TT 2m FmgTkx 隔离体动力学方程 隔离体动力学方程 2 12 t t mgTma a T RT RJJ R 10 Tk xx 0 kxmg 解动力学方程得到 解动力学方程得到 222 2 2 mR kxm R gJmg T mRJ 2 2 2 m mR k FmgTxk x mRJ 物体受到回复力作用 物体受到回复力作用 物体简谐振动角频率 物体简谐振动角频率 2 2 kR k mmRJ 2 2 2 2 mRJ T R k 2013 10 29 10 M 0 l M x M 0 x 2 2 2 4 TM k 0 0 cos t xxAt 0 cosxA 0 arccos x A 0 2 cosarccos x xAt TA 0 0 12m 4 0s 0 24m x T A 1 选取向上选取向上 为正方向为正方向 初始态旋初始态旋 转矢量转矢量 4 0 24cos 23 xt 0 0 12m 4 0s 0 24m x T A 选取向下选取向下 为正方向为正方向 初始态旋初始态旋 转矢量转矢量 M 0 l M x M 0 x 0 24cos 23 xt 0 2 cosarccos x xAt TA 2013 10 29 11 2 M 0 l M x M 0 x 从初始位置到平衡位置上方从初始位置到平衡位置上方x0初的最短时间初的最短时间 t 0 4 22 A xT 如果如果 o 0 o 2 120 3 60 3 t 0 3 t 2 s 3 t 42 coscos 2323 xAtAt 0 0 12m 4 0s 0 24m x T A 旋转矢量变化旋转矢量变化 t 2013 10 29 12 M 0 l M x M 0 x 3 42 coscos 2323 xAtAt 0 0 12m 4 0s 0 24m x T A 2 ax 2 22 0 12m 0 12m 0 120 03m 4 x x ax 0 4 22 A xT 负号表示加速度与坐标正方向相反 加速度向下负号表示加速度与坐标正方向相反 加速度向下 此时质点受力 此时质点受力 力的方向向下力的方向向下 1 0kgm 2 1 0 0 030 29 NFma 2013 10 29 13 s8 T 22 84T 4 由图和旋转矢量得到初始条件 由图和旋转矢量得到初始条件 利用初始条件 利用初始条件 0 cos t xAt 44 cos108 2 tx 1234567891011 0 0 0565 x m time s O mx st s8 T 2 0 5 65 10 m t x m108 cos 0 2 x A 质点位移 质点位移 质点速度 质点速度 质点加速度 质点加速度 22 2 10sin2 10cos 44442 vtt 2 32 5 10cos 4416 atx 求导数得到 求导数得到 旋转矢量每旋转矢量每 秒旋转角度秒旋转角度 1s 转到水平用了转到水平用了1s1s 2013 10 29 14 2 cos sin xAt vAt ax 2 cos 2 sin2 3 cos20 A xA vA aA 2 3 104 0 mA 3 2 10cos4 0 tx 2121 50 radtttt 初始态旋转矢量的位置 初始态旋转矢量的位置 1 2 2013 10 29 15 Hz25 0 24 0 01 010 mAkggm m12 0102 1 1 0 t x 得到小球运动方程 得到小球运动方程 32 cos24 0 tx 2 2 3 初始态向平衡位置运动初始态向平衡位置运动 旋转矢量的位置 旋转矢量的位置 4 s5 0 t 1 2 22 0 5 0 5 0 5 0 15 m s 4 t t t axx 0 5 sin0 24sin0 062m 4612 t xA 0t x 0 0015 NFma 方向指向平衡位置方向指向平衡位置 x 3 2 2013 10 29 16 从初始态到反向振幅一半处的最短时间 从初始态到反向振幅一半处的最短时间 32 cos24 0 tx 3 t s 3 2 t 22 2 0 296m s 3 ax 此时振子的速度 加速度 此时振子的速度 加速度 旋转矢量旋转一周 振子系统总机械能 旋转矢量旋转一周 振子系统总机械能 s4 t 2224 2224 24 11 7 10 10J 22 1 sin5 33 10J 223 7 105 3310 J1 77 10J pk k p EEEkAmA EmAt E m k 2 3 4 2 3 0 12m t x 5 2 0 12 sin0 326 m s 323 vt 2013 10 29 17 将题目中的简谐振动表达式写成标准式 将题目中的简谐振动表达式写成标准式 2 1 2 2 3 5 00 10cos 10 4 6 00 10cos 10 2 xt xt 1 x 2 x 3 4 合成极小的状态合成极小的状态 1 x 2 x 3 4 合成极大的状态合成极大的状态 0t 0t 由于旋转矢量的分析得到 由于旋转矢量的分析得到 min 210 1 2kk 合成极小条件 合成极小条件 合成极大条件 合成极大条件 max 20 1 2kk max 3 21 2 3 24 kk max 5 21 2 3 4 kk min 3 211 2 3 24 kk 合成极大合成极大 min 5 211 2 3 4 kk 合成极小合成极小 21 3 24 2013 10 29 18 1 2 4cos 2 6 5 3cos 2 6 xt xt 1 x 1 2 6 5 6 1 2 位相差满足合成极小条件 位相差满足合成极小条件 合成简谐振动为 合成简谐振动为 1 cos 2 6 xt 12 2013 10 29 19 1221 2 2 2 1 cos2 AAAAA cmA20 cmA3 17 1 2 A 22 211 2cos610cmAAAAA 21 2 2211 coscos tAxtAx 利用余弦定律利用余弦定律 2 A 6 2013 10 29 20 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 7 4 202 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 Y Y振动振动超前超前X X振动振动 质点右旋质点右旋 当当Y Y振动振动超前超前X X振动的位相大于振动的位相大于 视为视为X X振动振动超前超前Y Y振动振动 质点左旋质点左旋 同样当同样当x x振动振动超前超前Y Y振动的位相大于振动的位相大于 视为视为Y Y振动振动超前超前X X振动振动 质点右旋质点右旋 2 333 yx Y Y振动振动超前超前X X振动合成图振动合成图 X X振动振动超前超前Y Y振动 对照下排图形得到右图振动 对照下排图形得到右图 质点左旋质点左旋 x y 34 2 4 2013 10 29 21 2 m su x y O 0 0 6cosyt A B 1 5m 1m 22 24 muTu 1 2 2 x 求波线上任意点的振动位相落后求波线上任意点的振动位相落后 2 0 6cos0 6cos 2 x ytxt 以原点为波源 波函数为 以原点为波源 波函数为 3距离原点为距离原点为x x0 0的任意点 不同时间的位相差的任意点 不同时间的位相差 110 220 2 2 ttx ttx 2121 ttttt 距离原点为不同的两点 同一时刻的位相差距离原点为不同的两点 同一时刻的位相差 4 101 202 2 2 xtx xtx 2 0 5 24 BABA xxxxx 2013 10 29 22 300 m su x y O 4 5 10 cos 60001 2m p yt 1m p 2 x 位相落后法写出波线上任意点的振动方程即为波函数位相落后法写出波线上任意点的振动方程即为波函数 44 2 5 10cos 60001 215 10cos 60002021 2mytxtx 44 2 5 10cos 60001 215 10cos 60002018 8mytxtx 22 300 600010 uTu 正向波函数正向波函数 负向波函数负向波函数 1mpO 2013 10 29 23 22 0 0 04cos0 04cos 252 yttt T 222 0 04cos0 04cos5 5252 y x ttxtx 22 0 04cos50 04cos 5252 P yttt uT 与与O点同步点同步 1 0 08m s0 4m5suTu 2 3 P点的振动方程点的振动方程 2013 10 29 24 323 0 2cos0 44 y OTT T 2 0 2cos 2 y O tt T 22 0 2cos 2 y x ttx T 3 0 4m0 4m 1801 90 4 tTuTT 0 2cos 1805 2 y x ttx 关键在于时间非零 写出此时质点位置关键在于时间非零 写出此时质点位置 3 4 tT 0t 180 旋转矢量每秒转旋转矢量每秒转9090圈圈 1 90T 旋转矢量转一圈的时间旋转矢量转一圈的时间 233 42 tT T 3 4 tT 旋转矢量转过的角度旋转矢量转过的角度 1 2 0 10 20 30 40 51 0 2 0 0 2 y m x m 29 Sep 2007 fts m 2013 10 29 25 3 0 4m0 4m 1801 90 4 tTuTT 2 0 2cos 1805 2 y x ttx Tt 4 3 0 t 4 3 4 3 Tux 2 0 y x 0 0 2cos5 2 y x tx 0t 34tT u 2013 10 29 26 kxtAy cos tkxAy cos 22 k uTu 能量密度能量密度 平均能量密度平均能量密度 pk WkxtVA t y mW 222 2 sin 2 1 2 1 kxtkuVAkxtVAW 2222222 sinsin 能量能量 kxtkuAkxtkuA V W w 2cos1 2 1 sin 2222222 222 1 2 wA u k 能流密度能流密度 kxtkuAwui 2232 sin 平均能流密度平均能流密度 232 1 2 Iw uA u k 波强度波强度 2013 10 29 27 W u u s u 3121 z 9 00 10 J sm300m s300HIu 波函数波函数 xtAy 2 cos 2222222 1 sin1 cos2 2 W wA u ktkxA u ktkx V 能量密度能量密度 3 22253 19 00 10 3 10 Jm 2 I wA u k uu 53 max 6 10 Jmw 2323 1 9 00 10 2 Iw uA u k 平均能流平均能流 4 2 d s cos21tkx 时 能量密度有最大值时 能量密度有最大值 当当 2 7 4 62 10 J 4 wd WwVwsu 1 2 2013 10 29 28 r 92 2 4 98 10W m 4 PP I Sr 1 483 1 00 10 W3 0 10 m s400 10 mPur 2Iw u 173 2 1 66 10J m 4 IP w ur u 2013 10 29 29 1 10cmr 2 4cmr P2 S 1 S 1 0 6cm 2 4cm 2013 10 29 12 cos 10yyAt 11 22 2 cos 10 2 cos 10 p p yAtr yAtr 121 106 cmrr AA2 max 3 4 3210cos 1 tAy p 3 4 1210cos 2 tAy p 3 2 10cos2 tAyp 符合干涉加强的条件符合干涉加强的条件 2013 10 29 30 2 12 6cm3 2 rr 0 min A 510cos 1 tAy p 210cos 2 tAy p 0 p y 11 22 2 cos 10 2 cos 10 p p yAtr yAtr 符合干涉减弱的条件符合干涉减弱的条件 1 10cmr 2 4cmr P2 S 1 S 1 0 6cm 2 4cm 12 cos 10yyAt 2013 10 29 31 Q O l cos0 Q yAt cos O yAt 负向波在负向波在Q点的振动方程 点的振动方程 正向波在正向波在O点的振动方程 点的振动方程 超前于负向波此刻在超前于负向波此刻在Q点的振动点的振动 正向波函数正向波函数 2 cosyAtx 负向波函数负向波函数 2 cosyAtlx OQ间驻波波函数间驻波波函数 2 2 coscos 22 ll yAxt 2013 10 29 32 Q O l 2 2 coscos 22 ll yAxt 2 2 l xk 波腹波腹 210 1 2 42 l xkk 波节波节 2 21 22 l xk 10 1 2 22 l xkk 2013 10 29 33 x x o 43 u p N M 波源波源 tAyo cos 1 正向波 正向波 0 2 coscos xxtA u x tAy 反向波 反向波 23 coscos0 4 x yAtAtxx u 反射波 反射波 2333 cos 444 yAtxx 3 2 cosxtAy 半波损失半波损失 xtAy 2 cos 正向传播正向传播 2013 10 29 34 x x o 43 u p N M 在在MN OY 区域形成驻波区域形成驻波 2 cos0 23 cos0 4 23 cos 4 yAtxx yAtxx yAtxx 0 4 3 cos2cos2 xt x Ay x 0 0的区域 的区域 2 cos0 23 cos 4 yAtxx yAtxx x点同相点同相 xtAy 2 cos20 x 0 0点全部加强点全部加强 2013 10 29 35 0 cosytAt 正向波源的初位相未知正向波源的初位相未知 正向波函数 正向波函数 2 cosyx tAtx 反射波源振动方程 反射波源振动方程 3 cos 42 P ytAt O D y u P x 6 34 C 反射面反射面 B 质点在平衡的位置向质点在平衡的位置向y y 负方向运动负方向运动 2013 10 29 36 质点在平衡的位置向质点在平衡的位置向y y 负方向运动负方向运动 O D y u P x 6 34 C 反射面反射面 B 反射波函数 反射波函数 23 cos 24 yx tAtx 2 cosyx tAtx 2 cosyx tAtx 0 cosytAt 也可以直接写出反射波函数 也可以直接写出反射波函数 2332 coscos 44 yx tAtxAtx 半波损失半波损失 半波损失半波损失 2013 10 29 37 质点在平衡的位置向质点在平衡的位置向y y 负方向运动负方向运动 O D y u P x 6 34 C 反射面反射面 B 2 cos 2 cos yx tAtx yx tAtx 驻波波函数 驻波波函数 23 2coscos0 4 y x tAxtx O点合振动方程 点合振动方程 0 2cos0ytAtx 0 02cosyA 2 0t 反射波函数 反射波函数 正向波函数 正向波函数 原点原点O合振动合振动 初态的旋转矢初态的旋转矢 量量 23 2coscos0 24 y x tAxtx 驻波波函数 驻波波函数 确定正向波源的初相位确定正向波源的初相位 2013 10 29 38 O D y u P x 6 34 C 反射面反射面 B 驻波波函数 驻波波函数 2 2coscos 2 y x tAxt 2 2cossiny x tAxt 2 1 0 2 kkx 3 2 1 0 4 12 kkx 或者写成 或者写成 波节坐标波节坐标 波腹坐标波腹坐标 2013 10 29 39 2cos 2sin D HD x yxAt 波函数中令波函数中令x 为定点为定点 7 2cossin3 sin 6 HD yxAtAt O D y u P x 6 34 反射面反射面 D点即非波节又非波腹点即非波节又非波腹 37 4612 D x O D y u P x 34 6 7 12 D x 3A 3 0 0 24 33 0 444 xx xx 波节坐标波节坐标 波腹坐标波腹坐标 2013 10 29 40 O D y u P x 6 34 C 反射面反射面 B 讨论 非半波损失的条件讨论 非半波损失的条件 反射波函数 反射波函数 2 cos 2 cos yx tAtx yx tAtx 正向波函数 正向波函数 驻波波函数 驻波波函数 2 2coscos 22 y x tAxt 0 02coscos2cossin0 222 yAA 0 cosytAt 2 cos 2 cos yx tAtx yx tAtx 有半波损失有半波损失 可以取任何可以取任何 值 波节和波值 波节和波 腹的位置不变腹的位置不变 波腹 波腹 2 210 1 2 24 2 210 1 2 222 xkxkk xkxkk 波节 波节 2013 10 29 41 波腹波腹 波节 波节 210 1 2 4 xkk 0 1 2 2 xkk O D y u P x 34 A 6 2 2coscos 22 y x tAxt 33 0 444 xx 3 0 0 24 xx D点合振动方程点合振动方程 77 2sinsinsin 126 ytAtAt 37 461