划艇比赛的成绩.doc

佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学建模 上机项目 划艇比赛的成绩 专业班级 一、问题提出赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。T.A.McMathon比较了各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表1第1至第6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。艇种200m成绩（min）艇长(m)艇宽（m）1234平均单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.356270413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7 表1 各种艇的比赛成绩和规格二、问题分析 赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。船靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分的动力。建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩（航行一定距离所需时间）之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的。为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和重量如表5。观察第7至10列给出的这些数据，可以看出，桨手数增加时，艇的尺寸,及艇重都随之增加，但比值和变化不大若假定是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。三、模型假设1.各种艇的几何形状相同，艇的尺寸,，为常数；艇重与桨手数成正比。这是艇的静态特性。2.艇速是常数，前进时受的阻力与成正比(是艇浸没部分面积)。这是艇的动态特性。3.所有桨手的体重都相同，记作，在比赛中每个桨手的划桨功率保持不变，且与成正比。这是桨手的特征。假设的合理性说明：假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化。根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力符合假设2中与成正比的情况。假设3中，,为常数属于必要的简化，而与成正比可解释为：与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重成正比。四、模型建立有名桨手的划艇的总功率与阻力和速度的乘积成正比，即 （1）由假设2,3， 代入（1）式可得 （2）由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积与艇的某特征尺寸的平方成正比，则艇排水量体积必与的立方成正比,于是有 （3）又根据艇重U与桨手数目成正比，所以艇和桨手的总重量也与成正比，即 （4）而由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量成正比，即 （5）（3），（4），（5）式给出 （6）将（6）式代入（2）式，当是常数时得到 （7）因为比赛成绩(时间)与成反比，所以 （8）（8）式就是根据模型假设和几条物理规律得到的各种艇的比赛成绩与桨手数之间的关系。为了用表1中各种艇的平均成绩检验（8）式，设与的关系为 （9）其中，为待定常数。由（9）式 （10）求、的值。把它作为一次项多项式用polyfit函数进行运算五、模型求解n=1,2,4,8; t=7.17,6.77,6.13,5.73; t1=7.21,6.88,6.32,5.84; p=polyfit(log(n),log(t),1);p1=polyfit(log(n),log(t1),1); a=exp(p(2) b=p(1) a1=exp(p1(2) b1=p1(1) t1=a*n.b; plot(n,t,+,n,t1,-)解得: a = 7.2146b = -0.1114a1 = 7.2842b1 = -0.1035书中给出的实验结果是用第四列的时间来计算得到的，再利用第五列的平均