在职工程硕士GCT 数学 第3章 集合映射和函数.ppt

第3章集合 映射和函数 一 集合 二 映射 三 函数 一次函数 二次函数 函数的性质 奇偶性 周期性 第3章集合 映射和函数 一 集合 1 集合的基本概念 把某些确定的对象集在一起 就形成了一个集合 元素与集合的关系 集合常用表示 集合的元素常用表示 集合的分类 有限集 空集 无限集 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 2 集合的表示法 列举法 描述法 a 列举法 b 描述法 把集合的元素一一列举出来 并写在 大括号内 把集合中元素的共同特性描述出来 并 写在大括号内 一般形式为 如 3 几种常见的数集的表示符号 自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 4 集合与集合之间的关系 三种符号 三种关系 子集 真子集 相等 如 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 任意集合是它本身的一个子集 区别五种符号 例集合的子集的个数为 P32第1题 07年 B A B C D 含有个元素的有限集 共有个子集 证明 设 则其子集有 个 5 集合的运算 且 或 设则 且 例已知 P32第2题 C A B C D 则 解 例设 P33第3题 A A B C D 则 且 解 补 设集合 则的元素个数为 A A B C D 解 先解方程 故 因此中最多有2个元素 排除C D 把代入集合中 二 映射 实际上是两个集合之间的对应 关系 映射 设是两个集合 如果按照某个对应 法则 对于中的任何一个元素 在中 都有惟一的元素与之对应 则这样的对应称为 集合到的映射 记作 一一映射 若映射满足 中不同的元素在中有不同的象 中每个元素都有原象 则称是到上的一一映射 例映射是一种对应 对于这种对应关系 以下的说法错误的是 A B C D 中每一个元素都存在中元素与它对应 中每个元素不能对应中一个以上的元素 中可以有两个或两个以上的元素对应中一个元素 中不可有多余元素 D 三 函数 定义 设是的非空子集 则 则称映射为到的一个函数 记作 函数的三要素 定义域 对应法则 值域 决定要素 几种常见的函数 1 一次函数 定义 图像 性质 直线 定义域和值域均为 的含义 直线的斜率 锐角 增函数 钝角 减函数 直线在轴上的截距 正比例函数 例如果图1中给出了平面直角坐标系中直线 的图像 那么坐标为的点在 B 2010年 A B C D 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 图1 解 由图像知y x一三 点在第 象限 例某人从家到工厂的路程为米 有一天 他从家 去工厂 先以每分钟米的速度走了米后 A B C D 他加快了速度 以每分钟米的速度走完了剩下的 路程 记该人在分钟走过的路程为米 那么 函数的图像是 分 米 分 米 分 米 D 分 米 P34第13题 08年 反比例函数 定义域 值域 图像 双曲线 2 二次函数 定义 图像 性质 抛物线 抛物线 1 开口朝向a 0开口上a 0开口下 2 顶点 3 对称轴 函数的性质 1 单调性 2 最值 3 值域 与开口 对称轴有关 在顶点处取得 1 开口朝向 求抛物线的顶点 二次函数的最值 方法 公式法 配方法 例 顶点为 最小值为 补 在同一直角坐标系中 一次函数 和二次函数的图像大致为 A B C D B 例若图3中给出的函数的图像与 轴相切 则 D 2010年 A B C D 图3 解 由题知 法一 即 舍 法二 由题知 即 舍 例设二次函数图像的对称轴 为 其图像过点 则 D P33第11题 06年 A B C D 解 由题意得 代入得 故 因此 例函数在上 单调增的充分必要条件是 C P33第10题 03年 解 由题意得 A B C D 且 且 且 且 排除A B 又 若区间改为 呢 则 例下图直角坐标系中的曲线是二次函数 的图像 则 B 09年 A B C D 解 由图知 排除A C 又点在抛物线上 将其代入B D中 选B 法一 法二 又由图知 对称轴为 按检验后 B正确 反函数 如果映射是一一映射 则可确定 记作 一个到的一个映射 称此映射为函数 的反函数 与的定义域和值域相反 与的图像关于直线 对称 关于反函数的存在性 若函数在某区间内是严格单调增 减 则它一定存在反函数 若函数在 则在 上不存在反函数 例 在内不存在反函数 但在内存在反函数 求的反函数的步骤 从中解出 调换的位置 确定的值域 即反函数的定义域 例设如果的反函数的图像经过 B P33第8题 点 那么 A B C D 解 由题意得 两边同时次方得 例函数的反函数是 D P33第9题 A B C D 解 由 得 又 故反函数为 排除A B 由图可知原函数的值域为 选D 函数的性质 单调性 奇偶性 周期性 1 单调性 若对 当 时 都有 则称 在 内单调增加 的单调增加区间 具有单调性的函数图像的特点 增函数的图像是一条上升的曲线 减函数的图像是一条下降的曲线 2 奇偶性 关于原点对称 若对 都有 偶函数 奇函数 的奇偶性 奇偶函数图像的特点 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 画图时可利用 奇偶函数的性质 1 奇函数奇函数 奇函数 偶函数偶函数 偶函数 2 奇函数奇函数 偶函数 偶函数偶函数 偶函数 奇函数偶函数 奇函数 2 利用已知函数的奇偶性和奇偶函数的性质判断 判断函数奇偶性的方法 1 利用奇偶性的定义判断 D P97第7题 A B C D 解 观察图像知 需判断函数的奇偶性 例函数的部分图像是 是奇函数 可排除A C B 例若奇函数在上是增函数 又 P33第6题 则可表述为 解 画图即可 是奇函数 且 A B C D 由图知 选B 3 周期性 若存在非零常数 使对 定义域 都有 均为周期函数 周期函数图像的特点 若的周期为 则也是 的周期 即 C 例函数是定义在上的周期为3的 09年 周期函数 下图表示的是该函数在上的图像 则的值等于 A B C D 解 由图知 又 的周期为3 故 A 例函数是奇函数 是以4为周期的周期函数 2010年 且若 则 A B C D 解 是奇函数 又 是周期为4的周期函数 故 A 例若函数是周期为6的奇函数 则 2011年 的值等于 A B C D 解 由题知 又 D 定义在上的函数既是偶函数又是 周期函数 若的最小正周期是且当 时 则的值为 A B C D 补 解 又 的周期为 即 偶函数 3 幂函数 指数函数和对数函数 a 指数 指数满足的规律 P28 b 对数 若 对数恒等式 则叫以为底的对数 记作 指数 对数的互换 特别地 对数满足的规律 式中 P29 换底公式 补 补 设且 则 A B C D 解 先排除A C 关键是求 故 B 幂函数 幂函数的定义域随的不同而不同 但有一 公共定义域为 且在内 会画几种常见幂函数的图像 定义 形如 的函数 指数函数与对数函数 互为反函数 a 指数函数定义 b 对数函数定义 定义域 值域 单调性 性质 图像 性质 图像 定义域 值域 单调性 问题 在内是否为增函数 指数函数 对数函数 y O x y O x 1 1 1 1 复合函数的单调性 同增异减 原理 内层函数 外层函数 若内层函数 则复合函数 的单调性与外层函数的单调性相同 若内层函数 则复合函数 的单调性与外层函数的单调性相反 例 解 外层函数 内层函数 在内单调减少 B 例已知函数在区