新祥旭北大经济学院考研辅导-习题1.pdf

2007 10 14第一次习题课高级宏观习题课焦健著版权所有1 J JJ J 高级宏观经济学习题课高级宏观经济学习题课 第一章第一章 助教 焦健助教 焦健 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 2 2 J JJ J 宏观经济模型的分析方法宏观经济模型的分析方法宏观经济模型的分析方法宏观经济模型的分析方法 1 1 静态分析 静态分析 静态分析 静态分析 2 2 比较静态分析 比较静态分析 比较静态分析 比较静态分析 3 3 动态分析 动态分析 动态分析 动态分析 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 3 3 J JJ J 设定模型 对模型的均衡解进行分析 设定模型 对模型的均衡解进行分析 分为三个方面 分为三个方面 通过这样的分析建立起一个模型 通过这样的分析建立起一个模型 模型均衡解的存在性模型均衡解的存在性 模型均衡解的稳定性模型均衡解的稳定性 模型均衡解的唯一性模型均衡解的唯一性 1 1 静态分析 静态分析 t0 t0时点时点 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 4 4 J JJ J 分析模型的参数变化时 分析模型的参数变化时 即模型的外生变量发生变化 模型最终的均衡解如何变化 通过这样的分析给出一定的政策建议 即模型的外生变量发生变化 模型最终的均衡解如何变化 通过这样的分析给出一定的政策建议 2 2 比较静态分析 比较静态分析 比较静态分析 比较静态分析 t0 t0时点和时点和时点和时点和t1t1时点时点时点时点 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 5 5 J JJ J 分析模型在参数变化时 从原来均衡解趋 向新的均衡解的过程 分析模型在参数变化时 从原来均衡解趋 向新的均衡解的过程 离散时期分析 就是把变化过程分成很多 的时期 离散时期分析 就是把变化过程分成很多 的时期 t来分析 和比较静态分析比较相 似 来分析 和比较静态分析比较相 似 连续时期分析 就是将 连续时期分析 就是将 t无穷小化 利用 微积分数学工具来分析 无穷小化 利用 微积分数学工具来分析 动态分析主要是应用于经济增长理论中 因为增长本身就涉及到变化的过程 动态分析主要是应用于经济增长理论中 因为增长本身就涉及到变化的过程 3 动态分析 动态分析 t0时点到时点到t1时点时点 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 6 6 J JJ J 本章内容回顾本章内容回顾 生产函数的假定生产函数的假定 关键方程的推导关键方程的推导 平衡增长路径分析平衡增长路径分析 卡尔多特征事实检验卡尔多特征事实检验 收敛速度的讨论收敛速度的讨论 储蓄率的变化储蓄率的变化 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 7 7 J JJ J 1 生产函数的假设 生产函数的假设 Y t F K t A t L t 三种投入要素三种投入要素 K t A t L t 劳动增进型劳动增进型 规模报酬不变规模报酬不变 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 8 8 J JJ J Y t F K t A t L t Y t A t L t F K t A t L t 1 y t f k t 生产函数的密集形式 以单位有效劳动的资本存量为讨论对象 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有 9 9 J JJ J 密集形式的生产函数满足以下条件 从原点出发 f 0 0 凹函数 f k 0 f k n K Y K Y n g n g 0 Y L Y L Y Y L L g K L K L K K L L g 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有1818 J JJ J 在总产量的构成中 工资和利润的分配份 额相当稳定 在总产量的构成中 工资和利润的分配份 额相当稳定 w F K AL L ALf k L A f k k f k wL Y wL Y w w L L Y Y 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有1919 J JJ J r F K AL K ALf k K f k rK Y rK Y r r K K Y Y 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2020 J JJ J Y wL rK AL f k k f k K f k 两边同除以AL y f k k f k k f k f k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2121 J JJ J k y O sf k f k y n g k k 劳动的报酬 劳动的报酬 f k k f k 资本的报酬 资本的报酬 k f k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2222 J JJ J 5 收敛速度的讨论 收敛速度的讨论 泰勒级数展开 f x f x f x x x x x k 在k k 处泰勒级数展开 k k k k k k k k k k k k k sf k n g k 0 k k k k k s f k n g 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2323 J JJ J k k k k k k k k k k k s f k n g k k n g k f k f k 1 k k n g k k 1 k k k k k k k k k k k k n g 1 k k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2424 J JJ J 6 储蓄率的变化 储蓄率的变化 k y O soldf k snewf k n g k k oldk new 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2525 J JJ J t0 t0t1 t s k y O O t 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2626 J JJ J O O Y L增长率增长率 t t t0 t0t1 t1 ln Y L 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2727 J JJ J c O t t0t1 2007 10 14第一次习题课高级宏观习题课焦健著版权所有28 J JJ J 习题讲解习题讲解 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有2929 J JJ J 习题习题1 1 人口增长率人口增长率n 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济 为了简 单 假定无技术进步 现在假定人口增长率下降 a 处于平衡增长路径上的每工人平均资本 每工人 平均产量和每工人平均消费将发生什么变化 画 出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变 量的路径 b 说明人口增长率下降对产量路径 总产量 而非每 工人平均产量 的影响 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3030 J JJ J a 1 k sf k n k 假设经济在初始时处于平衡增长路径上 即满足 k sf k n k 0 此时 经济中的实际投资 等于持平投资 两条线相交于 k y 2 在t0时刻 当人口增长率由n下降到nnew后 实际投资线不变 持平投资线发生偏转 此时 k sf k nnew k 0 实际投资超过 持平投资 每个人平均资本开始增加 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3131 J JJ J 3 在t1时刻之后 经济重新达到平衡增 长路径后 k new sf k new nnew k new 0 单位有效劳动 由于没有技术进步 相当于 每人 实际投资等处持平投资 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3232 J JJ J 4 在t0时刻到t1时刻之间 由于k 0 所 以每个人平均资本逐步增长 而由于生产 函数固定 所以每个人平均产出伴随每个 人平均资本的增加而增加 每个人平均消 费也将随之逐步增加 c 1 s f k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3333 J JJ J k y O sf k f k n k nnew k k y k new y new 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3434 J JJ J t0t1 y t0t n O O t O O t t t0 t0t1 t1 c k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3535 J JJ J b 根据每个人平均产量与总产量的关系式 y Y L可得 Y Y y y L L 1 在t0时刻之前 y y 0 L L n 所以 Y Y y y L L n 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3636 J JJ J 2 在t0时刻瞬间 劳动的增长率变为L L n new 但资本 的增长率仍然维持不变 这时 总产出的 增长率会逐步往下调整 3 在t0时刻到t1时刻之间 资本的增长率会逐步往下调整 而总产出 的增长率也会逐步下调 一直到t1时刻 总 产出 总资本 劳动力三者的增长率均达 到n new为止 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3737 J JJ J 4 在t1时刻之后 经济重新达到平衡增长路径后 k new sf k new nnew k new 0 每 个人实际投资等处持平投资 所以 Y Y y new y new L L n new n 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3838 J JJ J lny Ott0t1 slope n slope nnew 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有3939 J JJ J 习题习题1 2 C D生产函数生产函数 假定生产函数为柯布 道格拉斯函数 a 将k y 和 c 表示为模型的参数s n g 和 a 的函数 b k黄金律值是多少 c 为得到黄金律资本存量 所需的储蓄率是 多少 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4040 J JJ J a 1 Y K AL 1 2 y k 3 k sk n g k 4 k s n g 1 1 5 y s n g 1 6 c 1 s s n g 1 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4141 J JJ J b 我们定义黄金率为每个人有效劳动平均 消费最大点 即 c k 0 在平衡增长路径上 c f k n g k c k 0 f k n g 实际上 该式反映的是持平投资线与每单位 有效劳动平均产出切线的效率相等 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4242 J JJ J 将 2 代入 可得 k 1 n g 由上式可以求解出黄金率上的每单位有效 劳动的平均资本 7 k GR n g 1 1 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4343 J JJ J c 此时 由于黄金律的要求必须同时是在 平衡增长路径上 所以可以根据 3 求得黄 金率上的储蓄率的表达式 8 s n g k 1 将 8 代入 6 中 我们就可以得到黄金率上 的每单位有效劳动平均消费额 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4444 J JJ J 9 c 1 n g k 1 n g k 1 n g 1 s GR n g k GR 1 n g n g 1 1 1 简化即可以得到 10 sGR 这就是说 在柯布 道格拉斯的生产函数条件 下 要使经济维持在黄金律的平衡增长路径上 必须满足的条件是储蓄率等与资本的产出弹性 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4545 J JJ J 习题习题1 3 CES 生产函数生产函数 考虑不变替代弹性 CES 生产函数 Y K 1 AL 1 1 其中0 0 f 0 所以存在f k 0 对 2 式两边对k求导数 可得到 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有4949 J JJ J 3 f k 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 由于k 0存在f k 1时 1 0 此时 limk 0 f k limk 0 1 k 1 1 1 limk f k limk 1 k 1 1 1 1 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5151 J JJ J 当 0 1 1 1时 limk f k limk 1 k 1 1 1 0 当 1时 所以稻田条件在这里不能得到满足 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5353 J JJ J 习题习题1 4 人口一次上升人口一次上升 若一经济中有技术进步但无人口增长 且处于 平衡增长路径上 现在假定工人数有一次性上 升 a 在上升之时 每单位有效劳动的平均产量是 上升 下降 还是不变 为什么 b 当新工人出现 在每单位有效劳动的平均产量 的初始变动 如果有 之后 每单位有效劳动的 平均产量是否会进一步变化 如果会 是上升 还是下降 为什么 c 一旦经济重新回到一平衡增长路径 每单位有 效劳动的平均产量是高于 低于还是等于新工 人出现前的水平 为什么 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5454 J JJ J a 在t0时刻 工人数量的一次性上升 不 改变生产函数的密集形式 也不改变持平 投资线 根据k K AL t0时刻 总资本K 不发生 变化 由于人口有一个跳升 所以每单位 有效劳动的平均资本水平k从k 下降到knew 根据y Y AL t0时刻 总产量Y不发生变 化 由于人口有一个跳升 所以每单位有 效劳动的平均产出水平y从y 下降到ynew 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5555 J JJ J b 在t0时刻之后 新的knew g k k 0 这时 经济中的储蓄投资额足以抵消折旧与技术 进步所需的资本额 每单位有效劳动的平均资本 额必然上升 即从knew朝着k 增进 同时 伴随k 的变化 每单位有效劳动的平均产出随之上升 即从ynew朝着y 增进 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5656 J JJ J c 当经济重新回到平均路径时 由于每单 位有效劳动平均实际投资线和持平投资线 与工人数量一次性变化之前相比 均未发 生变化 所以这时每单位有效劳动的平均资本等于 新工人出现前的水平 每单位有效劳动的 平均产出等于新工人出现前的水平 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5757 J JJ J k y O sf k f k n g k k k new g k y y new 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5858 J JJ J 习题习题1 5 精确计算精确计算 平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产 量y 对人口增长率n的弹性 如果 k k 1 3 g 2 3 则当n从2 降至1 时 y 上升多少 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有5959 J JJ J 对密集形式的生产函数y f k 两边对n求偏导 数 可得 1 y n f k k n 现在的主要问题是求出 k n 根据关键方程k sf k n g k 在平衡增长路径上 我们可以有k 0 即 sf k n g k 将该式两边对n求偏导 数 可得 sf k k n n g k n k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6060 J JJ J 对上式进行调整可得 2 k n k sf k n g 将 2 代入 1 可得 3 y n f k k sf k n g 据此 我们可以求得每单位有效劳动的平均产量 y 对人口增长率n的弹性的表达式 4 n y y n n f k k f k sf k n g 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6161 J JJ J 根据sf k n g k 可知 s n g k f k 并令 k k f k k f k 5 n y y n n n g k k k k 1 此时 将aK k 1 3 g 2 3 n 2 1 2 1 5 代入 5 可求得每单位有效劳动的平均产量y 对人口 增长率n的弹性 n y y n 0 12 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6262 J JJ J 于是 当n从2 降至1 时 每单位有效劳 动的平均产量y 的变化率为 50 0 12 6 注意 此题在计算中代入数据时 n的数据 用的是劳动增长率前后的平均值 这种算 法所得到的结果应该比直接代劳动增长率 变化前的数据或者变化后的数据更为准确 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6363 J JJ J 习题习题1 6 趋近速度趋近速度 a 与赤字不下降的情形相比 产量最终上升大约 多少 与赤字不下降的情形相比 产量最终上升大约 多少 分析 美国赤字下降意味着投资的增加 进而导 致产量的上升 分析 美国赤字下降意味着投资的增加 进而导 致产量的上升 由题目可知 由题目可知 s 0 15 k k 1 3 由索洛模型关键方程式 由索洛模型关键方程式 在在BGP上存在 上存在 0ksf kngk 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6464 J JJ J 对对s求偏导得到 求偏导得到 将代入将代入 0 kk sfkf kng ss ngk s f k kf k sngsfk 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6565 J JJ J 由由 对对s求偏导得到 求偏导得到 计算产出对储蓄率的弹性 计算产出对储蓄率的弹性 ykfkf k fk ssngsfk yf k 1 2 1 K K kys s yk yssfkfk f k s yngsfk fk k 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6666 J JJ J 单位有效劳动的平均产出对储蓄率的弹性 是 单位有效劳动的平均产出对储蓄率的弹性 是1 2 赤字下降赤字下降3 投资上升 投资上升3 这一意味着储蓄率上升这一意味着储蓄率上升0 03 sN 0 18 于是 储蓄率上升的比例为于是 储蓄率上升的比例为20 产量最终上升大约产量最终上升大约10 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6767 J JJ J b 赤字不下降的情形 消费上升多少 赤字不下降的情形 消费上升多少 消费等于产出减去储蓄消费等于产出减去储蓄 消费消费c对储蓄率求偏导对储蓄率求偏导 1 cs y 1 cy ys ss 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6868 J JJ J 计算消费对储蓄率的弹性计算消费对储蓄率的弹性 s取中点值取中点值0 165 所以储蓄率上升所以储蓄率上升20 消费上升了 消费上升了6 0 30 cs s c 1 1 csys ys s css y 1 cssys s css y 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有6969 J JJ J c 趋近速度 趋近速度 C的收敛速度取决于的收敛速度取决于y收敛的速度 收敛的速度 而而y的收敛速度取决于的收敛速度取决于k的收敛速度 的收敛速度 1 0 K kn gt c tccc e 1 0 K kn gt c tc e cc 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7070 J JJ J 初始 初始 在赤字下降的时候 在赤字下降的时候 s由由0 15上升到上升到 0 18 而 而y 并没有发生变化并没有发生变化 因为因为 所以消费由占收入的所以消费由占收入的85 下降到了下降到了82 下降的比例为 下降的比例为 85 82 85 3 5 在初始的时候赤字下降使得消费下降了在初始的时候赤字下降使得消费下降了3 5 1 cs y 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7171 J JJ J 长期 长期 随着随着y不断上升 不断上升 s的上升使得消费最终上 升了 的上升使得消费最终上 升了6 ctc0c 3 5 6 6 c tc 0 9 5 cc 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7272 J JJ J 要消费回到原来水平需要要消费回到原来水平需要11 5年年 6 63 2 0 9 5 c tc cc 0 04 63 2 t e 11 5t 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7373 J JJ J 习题习题1 7 索罗模型中的要素收入索罗模型中的要素收入 a 定义w F K AL L 则根据F K AL ALf k 存在 1 w F K AL L ALf k L A f k AL f k K A 1 L2 A f k k f k 这实际上就是劳动的边际产量 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7474 J JJ J b 定义r F K AL K 则根据F K AL ALf k 存在 2 r F K AL K ALf k K A L f k 1 AL f k 这就是资本的边际产量 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7575 J JJ J 这样 每种要素按边际产量取得报酬 即 工资 w Y L A f k k f k 利润 r Y K f k 合并 1 2 两式 可得 3 wL Rk AL f k k f k K f k AL f k F K AL 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7676 J JJ J c w L r K Y 两边同时除以Y 得到 wL Y rK Y 1 wL Y 劳动报酬占总产量的份额 rK Y 资本报酬占总产量的份额 在平衡增长路径上 k f k f k 均保持不变 所以根据 1 劳动报酬所占的份额的增长率为 4 wL Y wL Y w w L L Y Y w w n n g 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7777 J JJ J w A f k k f k w w A A f k k f k f k k f k A A f k k f k k k f k k f k k f k A A k f k k f k k f k 在平衡增长路径上 k 0 w w A A g wL Y wL Y w w g 0 劳动报酬所占的份额的增长率为0 意味着劳动报 酬所占的份额不随时间变动 wL Y 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7878 J JJ J 同理 根据 2 可得 5 rK Y rK Y r r K K Y Y r r r f k r r f k f k f k k f k 在平衡增长路径上 k 0 r r f k k f k 0 rK Y rK Y r r 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有7979 J JJ J 资本报酬所占的份额的增长率为0 资本报酬所占的份额的增长率为0 意味着 资本报酬所占的份额不随时间变动 rK Y 0 结论 处于平衡增长路径上的索洛经济 体现出总产量中分配向资本和劳动的份额 各自不变的特征 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有8080 J JJ J d 在k k 时 由于k 0 f k 0 根据 1 有 6 w w A A f k k f k f k k f k g k f k k f k k f k g 即在经济开始时 k k w 的增长率高于其在 平衡增长路径上的增长率 由于k 0 f k 0 f k 0 根据 2 可得 7 r r f k k f k 0 f k 0 f k 0时 假设还未达到下一个潜在均衡 点 由于f k 0 f k 0 k会进一步上升 所以 k 0并不是一个稳定增长点 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有9090 J JJ J 对于f k n g 由于f k 0 f k 0 以及稻田条件 limk 0 f k limk f k 0的存 在 当k0 k上升 当k k 时 k cL e gtL t cL e gtL t 并且1 u 0 所以有u 0 劳动失业率增加 或者也可以通过直接求u 来获得这一结果 u du dt 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有9999 J JJ J c 如果cKK t 的增长快于cLe gtL t 的增长 则 此时的资本需求为 cLe gtL t cK 定义资本利 用率为r 则r cLe gtL t cKK t 这样我们可以得到 6 r r cLe gtL t cLe gtL t cKK t cKK t 0 即 r 0资本的利用效率下降 或者也可以通过直接求r 来获得这一结果 r dr dt 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有100100 J JJ J 1 10 可持续增长问题可持续增长问题 a 根据题意 我们可以得到 A t A t g L t L t n 和 R t R t 0 所以我们只需要讨论Y t Y t 和K t K t 定义gk K t K t 根据K t s Y t K t 1 gk K t K t sY t K t 根据生产函数Y K AL R1 可得 2 Y t Y t gk n g 只要K t K t 保持稳定 Y t Y t 必然保持稳定 gk 不等于0时 由 1 式可得 3 gk gk Y t Y t K t K t 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有101101 J JJ J 根据 1 2 3 可得 gk gk n g 1 gk 注意 这里我们也可以直接将gk对t求 导数来求出gk 的表达式 这样 我们可以得到两个可能的稳定 点 gk 和gk n g 1 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有102102 J JJ J 将gk gk n g 1 gk 两边对gk求 一阶和二阶导数 gk gk n g 1 gk 1 gk 2 1 gk n g 1 gk n g 1 gk n g 1 2 1 2gk gk2 2 1 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有103103 J JJ J 据此可以近似得到gk 曲线 对于gk 来说 在gk 时 gk gk 时 gk 0 在g 时 gk 0 所以gk 不稳定 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有104104 J JJ J 对于gk n g 1 来说 在 gk0 在 gk n g 1 gk 0 在 r 就能实现 经济的持续增长 用经济学语言讲 虽然土地存量保持不变 但只 要技术增长率足够快 在生产中土地不是太重 要 那么经济仍然可以实现持续增长 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有107107 J JJ J 习题习题1 11 技术进步技术进步 a 资本增进型 资本增进型 生产函数的密集形式为生产函数的密集形式为 1 Y tA t K tL t 生产函数 1 令 kK A L yYA L 1 Y tA t K tL t 1 1 1 yk AL y tk t 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有108108 J JJ J 动态学 其中 动态学 其中 k LA KKK K LA k A LA L KsYK KsYK sYKKnK k A L ksf knk 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有109109 J JJ J 均衡的存在性和唯一性均衡的存在性和唯一性 当经济处于当经济处于BGP时 时 0k 0 kfk Q 0sf knk 0kfk sf knk 与必定存在一个交点 k 存在 平衡增长路径存在而且唯一 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有110110 J JJ J 均衡的稳定性均衡的稳定性 k会上升会上升 k会下降会下降 k不变不变 所以是所以是BGP是一个稳态均衡是一个稳态均衡 0sf knk kk kk 当时 0sf knk kk 当时 0sf knk 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有111111 J JJ J Y的增长率和的增长率和K的增长率的增长率 1 1 0 0 tnt Y tAKt eLe 1 1 0 0 n t Y tALKt e 1 0 0 BAL 令 1 n t Y tBKt e 1 n t K tsY tK tsBKt eK t 1 1 n t K K t sBKt e K t 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有112112 J JJ J 当经济处于当经济处于BGP时 增长率保持不变 也就意味 着增长率的增长率为零 所以 时 增长率保持不变 也就意味 着增长率的增长率为零 所以K的增长率随时间变 化为 的增长率随时间变 化为0 0 K 1 1 1 1 n t KK sBKt en 1 1 0 K n 1 1 K n K n 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有113113 J JJ J 同理 同理 1 Y YKAL YKAL Y n 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有114114 J JJ J b 体现技术进步 体现技术进步 已知 已知 1 Y tJt Lt J tsA t Y tJ t T tJ tA t 令 J tT t A t 则 1 T tY t t ty t A t L tA t L t 令 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有115115 J JJ J 计算模型的关键方程计算模型的关键方程 TTn t A L JsAYJ Q 2 JAJA T A 2 sAYJ AJA T A 2 sAYTA AJA TsYTT A tsynt 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有116116 J JJ J 在经济处于在经济处于BGP时 时 0tstnt st t y t 0 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有117117 J JJ J 在经济处于在经济处于BGP时 时 和必定存在一个交点和必定存在一个交点 因此因此t 存在 而且唯一存在 而且唯一 同时 可以容易证明此均衡是一个稳态均衡同时 可以容易证明此均衡是一个稳态均衡 任何偏离任何偏离t 都回向都回向t 趋近趋近 经济收敛于经济收敛于BGP st nt 20072007 1010 1414第一次习题课第一次习题课 高级宏观习题课高级宏观习题课焦健著焦健著版权所有版权所有118118 J JJ J 计算增长率计算增长率 1 J J n J Y Y n Y 20072007 1010 1414